Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Übung im Sommersemester 2004 J. Seyfried Tel.: (0721) Zimmer 107, Geb

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Übung? Übungsblätter –Aufgaben zur Wiederholung und Verdeutlichung –Aufgaben zur Vertiefung –alte Klausuraufgaben Fragen !!!!!!! (?) Wiederholung unklarer Sachverhalte

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Übung? Übungsblätter –Aufgaben zur Wiederholung... –Aufgaben zur Vertiefung –alte Klausuraufgaben Fragen !!!!!!! (?) Wiederholung unklarer Sachverhalte !

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Informatik I + II Informatik I Informatik II Informatik II Grundlagen -mathematische -logische -informationstheoretische Algorithmen

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Vorbereitung auf die Klausur Stoff verstehen Aufgabenblätter rechnen –ohne in die Musterlösung zu schielen alte Klausuren rechnen sich „durchbeißen“, auch wenn man nicht gleich auf die Lösung kommt!

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 1 Mengenbegriff: –Grundmenge wichtig: Komplementbildung {1, 2, 3, 4} C = ? IN - {1, 2, 3, 4} {5, 6, 7, 8, 9} auf Grundmenge {1,...9}

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 1 Mengenbegriff: –Grundmenge wichtig A B C D

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 1 Venn-Diagramme Vereinigung: Komplement: Subtraktion: Durchschnitt: AB A AB AB A  B A - B A  B ACAC

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 Relationen Uns geläufige Relationen: > <     ... „neue“ Relationen analog: statt 3<4: 3 R 4 Relationen kann man schreiben als: Matrix Tabelle formal...

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Relationen – wofür? Ein Beispiel: 3 R 4 ? SELECT * FROM session WHERE session_id='f09f8733c8b898ced7ca8f f00' Relationale Datenbanken (MySQL,...) werden heute häufig für Webpräsentationen mit dynamischem Inhalt (Content Management Systeme - „CMS“) verwendet

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 Relationen kann man schreiben als: –Matrix –Tabelle –formal –... 1R3 1R5 2R1 2R5 4R1 4R3 4R5 5R3 Andere Schreibweise: (1, 3)  R

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 {x: 3Rx} = {} {x: (4, x)  R} ={1, 3, 5} {x: xR5} = {1, 2, 4}

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 3 Vorbereich: –alle Zeilen, in denen ein „Böbbel“ ist {1, 2, 4, 5} Nachbereich: –alle Spalten, in denen ein „Böbbel“ ist {1, 3, 5}

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 4 Eigenschaften von Relationen spezielle Relationen reflexiv, irreflexiv symmetrisch, asymmetrisch antisymmetrisch transitiv intransitiv Äquivalenzrelation Ordnungsrelation (totale,...) Lernen!

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen reflexiv 1 () an allen Knoten MatrixdarstellungGraphendarstellung

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen irreflexiv 0 () an keinem Knoten MatrixdarstellungGraphendarstellung

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen symmetrisch w 1. 1 x. 0.. y 0 z () Nur bidirektionale Kanten, Schleifen erlaubt MatrixdarstellungGraphendarstellung Matrix spiegelsymmetrisch

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen asymmetrisch... Nur unidirektionale Kanten, keine Schleifen MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij  a ji  i, j=1..n, i  j a ii  1  i=1..n

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen antisymmetrisch... Nur unidirektionale Kanten, Schleifen erlaubt MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij  a ji  i  j

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen transitiv... Zu 2 benachbarten Kanten gibt es auch eine direkte MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij =a jk =1  a ik =1  i, j, k=1..n

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 b) Eigenschaften von Relationen intransitiv... Zu 2 benachbarten Kanten gibt es keine direkte MatrixdarstellungGraphendarstellung a ij =a jk =1  a ik =0  i, j, k=1..n

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg Pfeilrichtungen implizit

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed Reflexivitäts-Kanten: weg Transitivitäts-Kanten: weg Pfeilrichtungen implizit

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen a bc ed a bc ed Hasse-Diagramm

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 5 c) Ordnungsrelationen Darstellung als Hasse-Diagramm: Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben Pfeile aus Transitivität werden weggelassen Totalordnungen: Ketten a bc ed Hasse-Diagramm

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 8 In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert? Menge der Bücher B Menge der Kunden K b R k  k hat b gelesen  b  B, k  K Vorbereich: V(R) = {x:  k  K mit xRk} Menge der Bücher, die mindestens einmal gelesen wurden Nachbereich: N(R) = {x:  b  B mit bRx} Kunden der Bibliothek, die mindestens ein Buch gelesen haben

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 8 In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert? Menge der Bücher B Menge der Kunden K b R k  k hat b gelesen  b  B, k  K Ist R Funktion? Zu prüfen: Rechtseindeutigkeit V(R) = B Anschaulich: Funktion f: M  N f(m) definiert  m  M f(m) ist eindeutig g: M  N MN G ist keine Funktion!

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 8 In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert? Menge der Bücher B Menge der Kunden K b R k  k hat b gelesen  b  B, k  K Ist R Funktion? Zu prüfen: Rechtseindeutigkeit V(R) = B R ist nicht rechtseindeutig (mehrmals gelesene Bücher) V(R) muss nicht gleich B sein (noch nie gelesene Bücher)

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Surjektivität Kein Element des Nachbereichs ist ohne Pfeil

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Surjektivität Kein Element des Nachbereichs ist ohne Pfeil Nicht surjektiv

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Injektivität Auf kein Element des Nachbereichs wird zwei Mal gezeigt

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen auf abzählbaren Mengen: Injektivität Auf kein Element des Nachbereichs wird zwei Mal gezeigt Nicht injektiv

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Komposition von Abbildungen f  g wird gesprochen: f nach g g f

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Komposition von Abbildungen f  g wird gesprochen: f nach g g f f  g

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 Komposition von Abbildungen Zusammengefasst: fgfg

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 9 b) Komposition von Abbildungen Bei unterschiedlichen Wertebereichen: h  g zuletzt ausgeführte Abbildung (hier: h) gibt den Wertebereich an h f

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 10 Monoton steigend  injektiv  surjektiv  bijektiv

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 10  surjektiv f(x 1 )=f(x 2 )  x 1 =x 2 /  nicht injektiv  nicht bjektiv

Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. Seyfried Institut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) Aufgabe 10  surjektiv f(x 1 )=f(x 2 )  x 1 =x 2 /  nicht injektiv  nicht bjektiv