Karl-Franzens Universität Graz, Inst. f. Psychologie, Abt. f

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1 Karl-Franzens Universität Graz, Inst. f. Psychologie, Abt. f
Karl-Franzens Universität Graz, Inst. f. Psychologie, Abt. f. Allgemeine Psychologie, Diplomandenseminar SS02 Eigenschaften von Relationen und deren Überprüfung; Definition von Ordnung Garnier, R. & Taylor, J. (1997). Discrete Mathematics for New Technology. Bristol: Institute of Physics Publishing Daniel Macher

2 Definition von Relation
Die binäre Relation R von A nach B (oder zwischen A und B) ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes A  B. Man schreibt aRb, wenn (a, b)  R.

3 Beispiel R = {(a, b): a ist Hauptstadt von b}
Karl-Franzens Universität Graz, Inst. f. Psychologie, Abt. f. Allgemeine Psychologie, Diplomandenseminar SS02 Beispiel R = {(a, b): a ist Hauptstadt von b} A = {Rom, Paris, Berlin, Wien}; B = {I, F, D, A} A  B = {(Rom, I), (Rom, F), (Rom, D), (Rom, A) … } R = {(Rom, I), (Paris, F), (Berlin, D), (Wien, A)} (Rom)R(I), (Paris)R(F), (Berlin)R(D), (Wien)R(A) Daniel Macher

4 Darstellung von Relationen I
Koordinatengitter R = {(a, b): a < b} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

5 Darstellung von Relationen II
Gerichtete Graphen R = {(a, b): a < b} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

6 Darstellung von Relationen III
Binäre Matrix R = {(a, b): a < b} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

7 Eigenschaften von Relationen
Reflexivität aRa für alle a, b, c  A Irreflexivität aRa Symmetrie aRb  bRa Asymmetrie aRb  bRa Antisymmetrie aRb  bRa  a=b Transitivität aRb  bRc  aRc Neg. Trans. aRb  bRc  aRc Konnektivität aRb  bRa Schw. Konn. aRb  bRa  a=b

8 Überprüfung der Reflexivität
aRa gerichteter Graph Pfeil zu sich selbst binäre Matrix Zellen der Haupt-diagonale mit 1 besetzt

9 Überprüfung der Symmetrie
aRb  bRa gerichteter Graph nur bidirektionale Pfeile binäre Matrix symmetrisch entlang der Hauptdiagonale

10 Überprüfung der Antisymmetrie
aRb  bRa  a=b gerichteter Graph nur unidirektionale Pfeile binäre Matrix Wenn eine beliebige Zelle (i, j) 1 enthält, muss die Zelle (j, i) 0 enthalten.

11 Überprüfung der Transitivität
aRb  bRc  aRc

12 Definition von Ordnung
Als Ordnung oder Ordnungsrelation wird jede transitive Relation bezeichnet.

13 Danke Folien, Text und Handout des Referats stehen auf der Homepage zum Download bereit.