Faltungscodes Vorteile NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 22 Vorteile einfache Encodierung und relativ einfache Dekodierung vergleichbare / höhere Performance als äquivalente Block-Codes soft-decision decoding einfach realisierbar (N,K,m) bzw. Rate R=K/N Faltungscode mit Gedächtnis m K Infobits => N Codebits, abhängig von m+1 letzten K-Bit-Blöcken Encoder ist eine „finite state machine“, N,K,m typischerweise klein Beispiel: Rate R=1/2 Faltungscode mit m=2 Infosequenz: u[n] = [1 0 1 1 0 0 ... ] Codesequenz: x[n] = [1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 ...] u[n] u[n-2] TBit x[2n] = u[n]+u[n-1]+u[n-2] x[2n+1] = u[n]+u[n-2] => Faltung von u[n] mit [1 1 1] und [1 0 1] (mod 2)

Trellisdiagramm Trellis: baumartige Struktur mit Zweigen, NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 23 10 11 11 Trellis: baumartige Struktur mit Zweigen, die verschmelzen 01 01 Zustand u[n-1] u[n-2] 01 01 Codewörter => Trellispfade 10 10 10 10 u[n]=1 10 10 00 u[n]=0 01 01 01 11 11 11 11 11 11 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 u 1 1 1 0 0 x 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 tail bits

Zustandsdiagramm 1 / 10 11 1 / 01 0 / 01 0 / 10 10 01 1 / 00 1 / 11 NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 24 1 / 10 11 1 / 01 0 / 01 0 / 10 10 01 1 / 00 1 / 11 0 / 11 00 u[n] / x[2n] x[2n+1] 0 / 00

Distanzspektrum Faltungscodes sind linear NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 25 Faltungscodes sind linear z.B. xi+xj = [11 01 10 01 11] + [00 11 10 11 00] = [11 10 00 10 11] = xk Distanzen zwischen 0-Codewort und anderen CW x≠0 wichtig freie Distanz dfree = minimale dH(0,Umweg) Analyse der Umwege (detours) => Distanzprofil x 00 00 D Transferfunktion T(D) = D5 / (1-2D) = D5 + 2·D6 + … => 1 Umweg mit dfree = 5 => 2 Umwege mit dH = 6 11 D D D 10 01 1=D0 D2 D2 => Pfad mit 2 Einer 00

Maximum dfree-Codes NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 26 Codetabellen mit maximalem dfree für Parameter R und m dfree ist wichtigster Parameter für Fehlerkorrekturfähigkeit kleine Anzahl dfree-Umwege ist zweitwichtigstes Kriterium Rate R=1/2 Rate R=1/3 m Generatoren dfree Generatoren (oktal) dfree 2 5 7 5 5 7 7 8 3 15 17 6 13 15 17 10 4 23 35 7 25 33 37 12 5 53 75 8 47 53 75 13 6 133 171 10 133 145 175 15 7 247 371 10 225 331 367 16 8 561 753 12 557 663 711 18 R=1/2, m=3 Code 15 => [1 1 0 1] 17 => [1 1 1 1]

Viterbi-Dekoder (BSC) NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 27 survivor minimiere Metrik m[n+1] = m[n] + dH(x,y) m=1 m=1 10 man kann sich auch hier schon für u[n-5m] entscheiden ! 11 11 01 01 m=0 m=2 01 m=2 01 10 10 10 10 10 10 m=1 00 m=2 m=1 01 01 01 11 11 11 11 11 11 freie Wahl m=2 m=4 m=2 m=3 m=1 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 u 1 1 1 0 0 u decoded y 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

Soft-Decision Decoding NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 28 AWGN-Kanal (Basisband-Darstellung) im Entscheider geht Information verloren (Quantisierung!) besser real-Werte als Dekoder-Inputs verwenden ca. 2 dB zusätzlicher Gewinn durch soft-decision decoding Viterbi-Dekoder für soft-decision decoding anpassbar Algorithmus bleibt gleich neue Metrik: maximiere m[n+1] = m[n] + x·yT real-Werte n(t) y[n] x[n] p(t) p(-t) Tb Pulsform Matched Filter Entscheider

Soft-Decision Decoding NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 29 maximiere Metrik m[n+1] = m[n] + x·yT m=4.5 m=7 -11 11 11 1-1 1-1 1-1 1-1 m=2.5 m=-2.6 m=0.5 10 10 10 -11 -11 -11 11 m=0.5 m=2 m=9.25 01 01 01 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 m=-2.5 m=-2.4 m=0.5 m=1.75 m=11.10 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 u 1 1 1 0 0 u decoded y -1.10 -1.40 1.05 -0.95 -1.25 1.25 1.25 -1.00 -0.90 -0.95

Performance BPSK-Datenübertragung über AWGN-Kanal Kodierungsgewinn NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 30 BPSK-Datenübertragung über AWGN-Kanal uncodiert R=1/2, m=2 Faltungscode (soft-decision decoding) G Kodierungsgewinn G ≈ 10·log10(R·dfree) = 4 dB Tb ohne Kodierung: 1 Infobit der Dauer Tb und Energie Eb R=1/2 Kodierung: 2 Codebits je mit Dauer RTb und Energie REb N0: Rauschleistungsdichte (Energie) RTb

Kombinationen Concatenated Coding NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 31 Concatenated Coding Faltungscodes produzieren burstartige Fehler (Umweg im Trellis) zyklische (N,K) Block-Codes können „gut“ Fehlerbursts korrigieren „aussen“ „innen“ linearer, zyklischer (N,K)-Block-Code Faltungscode Rate R, Memory m „Modulator“ Detektion oder Korrektur z.B. K/N=0.8 soft-decision decoding z.B. R=1/2 Trellis Coded Modulation (TCM) Kombination von Kanalkodierung und Modulation Nettorate wird nicht reduziert, z.B. QPSK mit 2 Bit / Symbol oder TCM R=2/3 Faltungscode 8-PSK Mapper/Mod. „Sender“

Beispiel TCM x1 u1 TBit TBit x2 √Es u2 x3 00 00 NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 32 x1,x2,x3 x1 100 001 010 u1 TBit TBit 111 110 x2 √Es u2 000 x3 011 101 000 00 001 00 110 111 kürzester Umweg 2√Es (gegenüberliegende Punkte) Abstand √2 mal grösser als bei QPSK 3 dB Gewinn @ QPSK-Rate ! 10 110 10 111 000 001 010 01 011 01 100 101 100 101 11 010 11 011

Anhang: Maximum-Likelihood-Metrik NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 33 AWGN z[n] u[n] Encoder Dekoder ue[n] x[n] y[n] Annahme: Quelle produziert alle möglichen 01-Folgen u[n] Annahme trifft gut zu, wenn die Quelle komprimiert ist ML-Dekoder dekodiert höchstwahrscheinliche Quellenfolge ue[n] bzw. minimiert BER bzw. ist optimal ML-Dekoder: maximiere Wahrscheinlichkeit pYIX(yIx) über alle x aber pYIX(yIx) = pZ(y-x) = Konstante·exp(-Σn(y[n]-x[n])2/2σ2) ML-Dekoder: minimiere Σn(y[n]-x[n])2 über alle möglichen Codes x d.h. minimiere quadratische Abweichung zwischen y und x aber Σn(y[n]-x[n])2 = Σn y2[n] - 2·y[n]·x[n] + x2[n], nur der mittlere Term ist über x optimierbar ML-Dekoder: maximiere additive Metrik Σn y[n]·x[n] über alle x

Anhang: Performance-Beispiele NTM, 2006/06, 9.4 Kanalcodierung, Rur, 34 Übertragung kurzer Text über AWGN-Kanal mit Eb/N0 = 3 dB keine Fehlerschutz-Kodierung, BER=0.02: Dc3 iyt ein Tesu mit einem kurzen Text von&e4!jeichen/ R=1/2, m=2 Faltungscode, W=2 Bit Quantisierung, BER=0.008: Das ist ein Test mit einem i5rzen Text von 54 Zeichen. Faltungsdekoder macht Burstfehler: R=1/2, m=2 Faltungscode, W=4 Bit Quantisierung, BER=0.0025: Das ist ein Test mit einem kurzen Text von 54!Zeichen. abs(ue-u)