Verkettung von zwei Funktionen … und ihre Auswirkungen auf Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit
Verkettung von Funktionen „Bei einer Funktion f steht anstelle der Variablen x eine Funktion g der Variablen x“ h(x) = f(g(x)) oder f◦g f(x) = äußere Funktion g(x) = innere Funktion Beispiel f(x) = x³ g(x) = 5x²-6 h(x) = (5x²-6)³
Stetigkeit „Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, wenn gilt: “ Also muss: f an der Stelle x0 definiert sein Der Grenzwert f(x) existieren Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen
Stetigkeit
Stetigkeit verketteter Funktionen 1. Funktionen f und g sind stetig Ist die Funktionen f in xo und g bei f(xo) stetig, dann ist auch die Verkettung f◦g in xo stetig Beispiel f(x) = ex g(x) = -3x h(x) =e -3x
Stetigkeit verketteter Funktionen 2. Funktionen f ist unstetig Ist die Funktion f unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = g(x) = 3x+2 h(x) =
Stetigkeit verketteter Funktionen 3. Funktionen g ist unstetig Ist die Funktion g unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = 3x+2 g(x) = h(x) =
Stetigkeit verketteter Funktionen 4. Funktionen f und g sind unstetig Sind die Funktionen f und g unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = 1/x g(x) = h(x) =
Differenzierbarkeit (x;f(x)) f(x)-f(c) (c;f(c)) x-c c x
Differenzierbarkeit (x;f(x)) f(x)-f(c) (c;f(c)) x-c c x
Merksätze Funktion ableitbar an x=c Funktion stetig an x=c Differenzierbarkeit bedeutet Stetigkeit. Funktion stetig an x=c Funktion an x=c nicht unbedingt differenzierbar Stetigkeit bedeutet nicht Differenzierbarkeit.
Beispiel: nicht stetig und nicht differenzierbar an c=6
Beispiel: stetig und differenzierbar an c=2
Integrierbarkeit Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist. Im Intervall [a,c] a b c