Magnetfelder und Teilchenfokussierung Kapitel 7 Magnetfelder und Teilchenfokussierung Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2

Vom Quadrupole zur Stahloptik Übersicht Magnete Warum Fokussierung? Geometrische (schwache) Fokussierung Dispersionsbahn im homogenen Magnetfeld Magnettypen Maxwellgleichungen für Magnetostatik Fokussierung mit Quadrupolen Vom Quadrupole zur Stahloptik Fokussierung mit einem Linsensystem in einer Ebene Transformationsmatrizen Fokussierung mit einem Linsensystem in beiden Ebenen

Warum Strahloptik und Fokussierung? Teilchen haben unterschiedliche Anfangsparameter (Position, Winkel) und laufen mit der Zeit auseinander Mit der Annahme, dass zwei Teilchen eine Winkeldifferenz von 10-6 rad haben, würden die Teilchen nach einer Strecke von 106 m um 1 m auseinanderlaufen. Bei LHC, mit einer Länge von 26860 m, wäre das nach 50 Umläufen (5 ms !) Teilchen würden durch die Gravitation „herunterfallen“ An verschiedenen Stellen des Beschleunigers soll der Strahl eine definierte Dimension haben am Kollisionspunkt im Speicherring sollen die Strahlen klein sein Teilchen mit unterschiedlicher Energie sollen nicht auseinanderlaufen

Geometrische „Fokussierung“ im homogenen Dipolfeld z s B v B F x Teilchen B Teilchen A Zwei Teilchen, die mit gleicher Energie von der gleichen Position mit leicht unterschiedlichem Anfangswinkel starten, treffen sich nach jedem halben Umlauf. Sollbahn

Geometrische - Schwache - Fokussierung Annahme: der Winkel zwischen beiden Teilchen beträgt  = 1 mrad. Der maximale Abstand zur Sollbahn ist: xmax =   R Bei einem Radius von 1 m wäre dieser Abstand xmax = 1 mm Bei einem Radius von 1000 m wäre dieser Abstand xmax = 1 m xmax Die schwache Fokussierung gilt nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld. In der anderen Ebene laufen zwei Teilchen mit unterschiedlichen Anfangswinkel kontinuierlich auseinander. Es wird eine fokussierende Kraft benötigt.

Dispersionsbahn im homogenen Dipolfeld Zwei Teilchen, die mit unterschiedlicher Energie und gleichen Winkel von der gleichen Position starten, kommen nach jedem Umlauf zur gleichen Position zurück. Sollbahn Teilchen rot mit Impuls p0 B Teilchen blau mit Impuls p1 auf Dispersionsbahn

Magnettypen z z x x Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur Feldlinien für Dipolmagnetfeld Feldlinien für Quadrupolmagnetfeld Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend (entspricht einer Linse in Lichtoptik) Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend

Dipolmagnet Quadrupolmagnet Eisenjoch Spule N N Parallele Eisenpole Bz Vakuum- kammer z Spulen Quadrupolmagnet Eisenjoch z S N S N x x N S S N Hyperbolische Polflächen Vakuum- kammer

Quadrupolmagnet Rende Steerenberg (CERN) Magnetfeld Hyperbolische Fläche x · y = constant Rende Steerenberg (CERN)

Dipolmagnet

Dipolmagnet und Quadrupolmagnet: Realisierung

Magnet für SNS Beam’s eye view of an SNS half cell Magnet für SNS Beam’s eye view of an SNS half cell. From front to back: corrector, quad polefaces, sextupole faces, and last the dipole

Magnetostatik Magnetfeld gemessen in A/m Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig: In einem isotropen Material mit der Permeabilität  gilt : Im allgemeinen ist  etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist  in der Grössenordung von einigen tausend.

Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers z x s v B F

Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum

z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld Quadrupol: Fokussierung in einer Ebene, Defokussierung in der anderen Ebene Annahme im 2-dimensionalem Fall (keine Feldkomponente in Richtung der Teilchenbewegung) : z x und daher: z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld auf der x-Achse Typischer Wert:

Teilchenablenkung in einem Quadrupolmagnet Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung in die Tafelebene hinein z z Sicht entlang der Teilchenbahn x x x z Sicht von der Seite fokussierend Sicht von oben defokussierend s s

Strahloptik Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2

Fokussierung eines Linsensystems in einer Ebene d f1 f2 F

Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen Horizontale Ebene d = 50 m Vertikale Ebene

Transformationsmatrizen L f s1 s0 s2 s s0 … beim Eintritt in die dünne Linse s1 … beim Austritt aus der dünnen Linse s2 … nach einer Strecke L Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x0 und Winkel x0’ Wie in der Lichtoptik lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizen berechnen

Transformationsmatrix für eine dünne Linse

Transformationsmatrix für eine feldfreie Strecke: „Driftstrecke“

Anhang Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2007, version 2.0

Anhang: Maxwellgleichungen

Maxwellgleichungen: Zeitlich konstant, im Vakuum