Herleitung DFT Spektrum zeitdiskretes Signal (periodisch) DFT IDFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 1 Spektrum zeitdiskretes Signal (periodisch) N Werte im Zeitfenster [0,N·Ts] N Werte X( f=m·fs/N ) im Frequenzbereich [0,fs]: DFT IDFT

Eigenschaften DFT: Auflösung DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 2 Zeitbereich xa(t)=(1/t0)·e-t/to t0=RC=10s Ts = 1s TDFT = 32s Frequenzbereich IXa(f)I = I1/(1+j2πf·t0)I Δf =1/TDFT= 1/32 Hz fs =1/Ts= 1 Hz

Eigenschaften DFT: diskret/periodisch DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 3 Zeitbereich diskret (abgetastet) periodisch Frequenzbereich periodisch diskret DFT Zeitfenster-Sequenz Die DFT berechnet das Spektrum der periodisch fortgesetzten, diskreten Zeitfenster-Sequenz.

Filterfunktion DFT Δf = fs/N = 200 Hz Nullstellen bei n·Δf DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 4 Δf = fs/N = 200 Hz Nullstellen bei n·Δf

Leakage bei DFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 5 Unpassende Fensterlänge => Sprungstellen durch period. Fortsetzung 5 x 50Hz-Perioden 4.75 x 50Hz-Perioden Hanning-Fenster nicht normiert 4.75 x 50Hz-Perioden

Windowing: 68Hz-Signal, fs = 1000Hz, N = 50 Demo: dsv1kap3_dftfft_windowing.m DSV 1, 2006/01, Rur&Hrt, DFT/FFT, 6 Fensterlänge für FFT ≠ Vielfaches der Signal-Periodendauer => Sprungstelle => Leakage => Windowing verbessert => Kompromiss?

Windowing: 80Hz-Signal, fs = 1000Hz, N = 50 Demo: dsv1kap3_dftfft_windowing.m DSV 1, 2006/01, Rur&Hrt, DFT/FFT, 7 Fensterlänge für FFT = Vielfaches der Signal-Periodendauer => Keine Sprungstelle => Kein Leakage => Windowing ist hier nachteilig!

FFT twiddle factor WN=e-j2π/N hat Symmetrie: WN2mn = WN/2mn DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 8 twiddle factor WN=e-j2π/N hat Symmetrie: WN2mn = WN/2mn N/2-Punkt DFT N/2-Punkt DFT x[0] 00 => 00 x[2] 10 => 01 x[1] 01 => 10 x[3] 11 => 11 X[0] X[1] X[2] X[3] -1 -j Bit-reversed-Adressierung -1 -1 j

Real-time Signalverarbeitung mit FFT DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 9 Real-time Berechnung der Ausgangsfolge eines LDIS im Zeitbereich mit diskreter Faltung bzw. Differenzengleichung mit Hilfe von FFT und IFFT im Frequenzbereich X[m] Y[m] FFT IFFT x[n] y[n] H[m] = FFT{ h[n] } Multiplikation DFT-Spektren => zyklische Faltung der Zeitfolgen Erklärung: x[n] und y[n] müssen als periodisch betrachtet werden Zyklische Faltung: für real-time Verarbeitung braucht es aber die lineare Faltung Trick: x- und h-Vektor mit Nullen auffüllen

Overlap-Add-Methode Segmente mit M Abtastwerten x[n] M M M M xN[n] M DSV 1, 2005/01, Rur, DFT/FFT, 10 Segmente mit M Abtastwerten x[n] M M M M xN[n] M L-M Nullen L > M+N h[n] N+1 L-N-1 Nullen L-Punkt-FFT, Multiplikation XL[m]·HL[m], L-Punkt-IFFT yL[n] L L L overlap! y[n] M M M M