Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2 AR(1)-Modell: Schätzer für Für das AR(1)-Modell Y t = Y t-1 +u t gelte: | | < 1, u t ist Weißes Rauschen; verletzte Annahme 4 (Exogenität der Regressoren) OLS-Schätzer: Aus Y t = i i u t-i sieht man, dass der Erwartungswert von t Y t-i u t nicht den Wert Null hat: Der OLS-Schätzer für ist nicht erwartungstreu! Es lässt sich zeigen: der OLS-Schätzer für ist konsistent Ist asymptotisch normalverteilt

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 3 Schätzverfahren für dynamische Modelle Themen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen ADL-Modell Modell mit Koyckscher Lagstruktur

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 4 DL(s)-Modell Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells Y t = + 0 X t + … + s X t-s + u t sind: Verlust von Beobachtungen: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt Zusätzliches Problem kann sein: korrelierte Störgrößen, z.B. AR(1)-Prozess u t = u t-1 + t mit Weißem Rauschen (Varianz 2 )

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 5 DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell: Y t = + 0 X t + … + s X t-s + u t mit u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) Alternative Darstellungen (mit Störgrößen ) ADL-Form Y t = + Y t X t + … + s+1 X t-s-1 + t mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, …, s+1 = – s ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen: Y* t = + 0 X* t + … + s X* t-s + t mit Y* t = Y t – Y t-1, X* t = X t – X t-1

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 6 Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + u t mit Störgrößen u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) ADL(1,2)-Form: Y t = + Y t X t + 1 X t X t-2 + t mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, 2 = – 1 ADL(1,2)-Modell Modell in Quasi-Differenzen: Y* t = + 0 X* t + 1 X* t-1 + t mit Y* t = Y t – Y t-1, X* t = X t – X t-1

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 7 Beispiel: Konsumfunktion Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2) In logarithmierten Differenzen: Ĉ = Y mit t(Y) = 5.94, adj.R 2 = 0.326; r = ADL(1,1)-Form: Ĉ = C Y – 0.131Y -1 mit t(C -1 ) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y -1 ) = -0.87, adj.R 2 = 0.386; r = Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.344C -1, Y* = …): Ĉ* = Y* mit t(Y*) = 5.42, adj.R 2 = 0.288; r = 0.051

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 8 DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: Schätzer Eigenschaften der OLS-Schätzer: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: erwartungstreu und konsistent nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler (unterschätzt, wenn > 0) ADL-Form: Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer nicht-lineare Normalgleichungen ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form: Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung nicht-lineare Normalgleichungen

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 9 Schätzen der ADL-Form Y t = + Y t X t + … + s+1 X t-s-1 + t Konsequenzen des Summanden Y t-1 : OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben) Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung konsistent von der Wahl der Instrumente abhängig

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 10 Beispiel: DL(0)-Modell Modell: Y t = + X t + u t mit u t = u t-1 + t ( Weißes Rauschen) ADL(1,1)-Modell: Y t = + Y t-1 + X t + 1 X t-1 + t mit = (1 – ), 1 = - IV-Schätzung 1.Hilfsvariable: Ŷ t = c 0 + c 1 X t-1 + c 2 X t-2 + … Ordnung der Lagstruktur: z.B. AIC 2.Ersetzen von Y t-1 im ADL(1,1)-Modell durch Ŷ t-1 und OLS- Anpassung

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 11 Schätzen der Quasi-Differenzen- Form Modell: Y* t = + 0 X* t + 1 X* t-1 + t mit Y* t = Y t – Y t-1, X* t = X t – X t-1 Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLS- Schätzung) 1.OLS-Schätzer für, Berechnung der Quasi-Differenzen 2.OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 12 Beispiel: DL(1)-Modell Modell: Y t = + X t + X t-1 + u t mit u t = u t-1 + t ( Weißes Rauschen) Cochrane-Orcutt-Schätzer: 1.OLS-Schätzer a, b 0, b 1 (unter Annahme, dass = 0); Berechnung der Residuen e t = Y t – (a + b 0 X t + b 1 X t-1 ) und Berechnung der Quasi-Differenzen Y* t = Y t – rY t-1, X t * = … 2.OLS-Schätzung der Koeffizienten aus Y* t = + X* t + X* t-1 + t

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 13 Schätzen von Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion OLS-Residuen IV-Residuen r ist konsistenter Schätzer Iteratives Berechnen: 1.Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme = 0, Berechnen von r (1) und der Quasi-Differenzen 2.Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form, Berechnen von r (2) und verbesserter Quasi-Differenzen 3.Wiederholung, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 14 ADL-Modell: korrelierte Störgrößen ADL(1,1)-Modell Y t = + Y t X t + 1 X t-1 + u t mit u t = u t-1 + t Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z.B.: Schätzer r für ist nicht konsistent) Schätzverfahren: 1.IV-Schätzung 2.FGLS-Schätzung 3.Direkte Schätzung (nicht-lineare Optimierung)

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 15 Konsumfunktion, Forts. ADL(1,1)-Form: Ĉ = C Y – 0.131Y -1 mit t(C -1 ) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y -1 ) = -0.87, adj.R 2 = 0.386; r = Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent! Hilfsvariable: C IV = Y Y -1 IV-Schätzung Ĉ = – C IV Y – 1.197Y -1 mit t(C IV0 -1 ) = 2.11, t(Y) = 3.79, t(Y -1 ) = -1.88, adj.R 2 = 0.342

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 16 IV-Schätzung ADL(1,1)-Modell Y t = + Y t X t + 1 X t-1 + u t mit u t = u t-1 + t ( Weißes Rauschen) Instrumente: X -j, j > 1 Verfahrens-Schritte: 1.Bestimmen der Hilfsvariablen Ŷ t = c 0 + c 1 X t-1 + c 2 X t-2 + … mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur 2.Ersetzen von Y t-1 durch Ŷ t-1 ; OLS-Anpassung IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 17 Konsumfunktion, Forts. DL(1)-Modell: Ĉ = Y Y -1 mit t(Y) = 4.07, t(Y -1 ) = 0.97, adj.R 2 = 0.316; r = FGLS-Schätzung: Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.276C -1, Y* = …): Ĉ* = Y* Y* -1 mit t(Y*) = 5.08, t(Y* -1 ) = 0.16, adj.R 2 = 0.282

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 18 Nicht-lineare OLS-Schätzung ADL(1,0)-Modell Y t = Y t-1 + X t + u t mit u t = u t-1 + t Einsetzen liefert Y t = ( )Y t-1 – Y t-2 + X t – X t-1 + t Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen 1.Wahl von Startwerten für,, 2.Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter 3.Wiederholen von 2., bis Korrekturen sehr klein

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 19 Nicht-lineare OLS-Schätzung EViews bietet nicht-lineare OLS-Schätzung als Option; dabei werden alle Parameter simultan geschätzt Schätzen von durch Intervallschachtelung: 1.Wahl von drei Werten von ; für jedes : Berechnen von W t = X t + X t-1 + … + t-1 X 1 und t OLS-Anpassung liefert Schätzer für, 0, * Berechnen der Summe der quadrierten Residuen 2.Ausscheiden des mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues : Mittelwert der anderen beiden, Wiederholen des Schrittes 1. 3.Abbruch, wenn mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 20 Koycksche Lagstruktur: Schätzen der Parameter DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Y t = + i i X t-i + u t Schätz-Problem: Historische Werte X 0, X -1, X -2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Y t = (1- )(X t + X t-1 + … + t-1 X 1 + * t + u t mit * = (1- )(X 0 + X -1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten) AR (autoregressive)-Form Y t = + Y t-1 + X t + v t mit v t = u t – u t-1 : ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss- Newton)

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 21 Koycksche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Y t = + i i X t-i + u t Näherungsweise äquivalentes Modell ist Y t = + (1- )(X t + X t-1 + … + t-1 X 1 ) + * t + u t = + 0 W t + * t + u t mit 0 = (1- ) * = (1- )(X 0 + X -1 + … ) W t = X t + X t-1 + … + t-1 X 1 Nicht-lineares Schätzproblem!

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 22 Tests auf Autokorrelation Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: Durbins h LM-Test von Breusch-Godfrey andere

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 23 Durbins h ADL(1,0)-Modell Y t = Y t X t + u t mit u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) Nullhypothese H 0 : = 0 d: Durbin-Watson-Statistik Unter H 0 : h ~ N(0,1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)

© 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 24 Breusch-Godfrey-Test ADL(1,0)-Modell Y t = Y t X t + u t mit u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) Nullhypothese H 0 : = 0 1.Regression der OLS-Residuen e t auf Y t-1, X t und e t-1 ; R e 2 2.Teststatistik LM(A) = n R e 2 Unter H 0 : LM(A) ~ (1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)