Annahmen des lineare Regressionsmodells Ökonometrie I Annahmen des lineare Regressionsmodells

Liste der Annahmen A1 A2 A3 A4 A5 A6 A61 A62 A7 lineare funktionale Form des Modells A2 r(X) = k A3 lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen Rang A4 Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität) A5 E{u} = 0 A6 Var{u} = s2I A61 Var{ut} = s2 für alle t A62 Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ s A7 ut normalverteilt für alle t 4.11.2004 Ökonometrie I

Linearität (A1) Die Beobachtung Yt ist eine lineare Funktion Yt = xt' b + ut der Beobachtungen der erklärenden Variablen Xti, i=1, …, k und der Störgröße ut Ist Linearität eine Einschränkung? Linearität bringt Vorteile für die statistische Analyse in vielen Situationen sind lineare Modelle adäquat oder zumindest näherungsweise adäquat Beispiele für lineare Modelle: Y = a + bX + u Y = a + b X2 + u Y = a + b log X + u Y = a + b/X + u 4.11.2004 Ökonometrie I

Linearisieren Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Y = g Ka Lb eu Logarithmieren ergibt lineares Modell log Y = g* + a log K + b log L + u Log-lineare Form log Y = b1 + b2 log X2 + … + bk log Xk + u liefert konstante Elastizitäten (relative Änderung von Y bei einer relativen Änderung von X um eine Einheit): 4.11.2004 Ökonometrie I

Regressoren (A2, A3, A4) Voller Rang von X Spalten sind linear unabhängig Spalten sind nicht hoch korreliert Reguläre Matrix Q = lim Xn‘Xn/n Das durchschnittliche Quadrat der beobachteten Werte der Xi bleibt endlich Meist problemlos Bei Trends zu streng Exogenität: jede Beobachtung ist unabhängig von aktuellen, vergangenen und künftigen Störgrößen 4.11.2004 Ökonometrie I

Störgrößen (A6, A7) Die Annahme E{u} = 0 bedeutet: Y wird modelliert als Summe aus systematischer Komponente x'b plus Störgröße u Var{u} = s2I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit Mit der Annahme normalverteilter Störgrößen schreiben wir u ~ N(0, s2I) 4.11.2004 Ökonometrie I

Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR 200 400 600 800 1000 1200 70 75 80 85 90 95 00 PYR PCR PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis 4.11.2004 Ökonometrie I

Einkommen und Konsum: Zuwachsraten 4.11.2004 Ökonometrie I

Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 4.11.2004 Ökonometrie I

Konsumfunktion, Forts. 4.11.2004 Ökonometrie I

Residuen y = x‘b + u = x‘b + e = ŷ + e Residuen: e = y - x‘b = y – ŷ = y – X(X‘X)-1X‘y = y - Py = [I – X(X’X)-1X’]y = My P: Projektionsmatrix M: residuenerzeugende Matrix Eigenschaften: iei = 0 Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression voraus! 4.11.2004 Ökonometrie I

Schätzer der Varianz s2 ist ein erwartungstreuer Schätzer Der ML-Schätzer unterschätzt; der Bias beträgt 4.11.2004 Ökonometrie I