Einfache und multiple Regression Ökonometrie I Einfache und multiple Regression

Ein Beispiel Konsumtheorie nach Keynes Ökonometrisches Modell Ct = f(Yt) Ökonometrisches Modell Ct = b1 + b2Yt + ut Aufgaben der ökonometrischen Analyse Schätzen der Parameter Testen von Hypothesen Überprüfen des Modells 22.10.2004 Ökonometrie I

Einfache, lineare Regression Yt = b1 + b2Xt + ut Y: abhängige oder endogene Variable X: unabhängige oder exogene oder erklärende Variable, auch Regressor u: Zufallsfehler, Störgröße, Noise nicht berücksichtigte erklärende Variable Messfehler Verteilungsgesetz E{ut}=0 Var{ut}=s2 Cov{us,ut}=0, s≠t b: Regressionskoeffizienten 22.10.2004 Ökonometrie I

Einkommen und Konsum PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis 22.10.2004 Ökonometrie I

Einkommen und Konsum, Forts. PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis 22.10.2004 Ökonometrie I

Matrixschreibweise Modell: Yt = b1 + b2Xt + ut, t=1,…,n oder n Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Modell: Yt = b1 + b2Xt + ut, t=1,…,n oder y = Xb + u mit 22.10.2004 Ökonometrie I

Matrixschreibweise, Forts. n Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Modell: Yt = xt‘b + ut, t=1,…,n, mit 22.10.2004 Ökonometrie I

Schätzen der Koeffizienten b1, b2: „wahre“ Regressionskoeffizienten Störgrößen: ut = Yt - (b1 + b2Xt) Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt) Schätzer von bi: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t=1,…,n. Summe der Fehlerquadrate S(b1, b2) = St ut2= St [Yt - (b1 + b2Xt)]2 Prinzip der Kleinsten Quadrate: bi = arg minb1, b2 S(b1, b2) 22.10.2004 Ökonometrie I

Ableiten der Normalgleichungen Partielles Ableiten von S(b1, b2) = St [Yt - (b1 + b2Xt)]2 liefert Nullsetzen: ergibt die Normalgleichungen 22.10.2004 Ökonometrie I

Normalgleichungen Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer mit 22.10.2004 Ökonometrie I

Multiple, lineare Regression Modell Yt = xt‘b + ut = b1+b2X2t+…+bkXkt+ut Normalgleichungen SjbjStXjtXit = StXitYt, i=1,…,k 22.10.2004 Ökonometrie I

OLS-Schätzung in Matrixform Yt = xt‘b + ut, t=1,…,n oder y = Xb + u Summe der Fehlerquadrate S(b) = (y-Xb)‘(y-Xb) = y‘y -2y‘Xb+b‘X‘Xb OLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y 22.10.2004 Ökonometrie I