Kapitel 11 Heteroskedastizität

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Der Sachverhalt Modell y = Xb + u, Ordnung von X: nxk Annahme A6: Var{u} = s2I Annahme 6 impliziert konstante Varianz der Störgrößen (Homoskedastizität): Var{ut} = s2, t = 1,…,n In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von Heteroskedastizität; Var{u} = diag(s12, …, sn2) = s2W = s2 diag(w1, …, wn) Fragestellungen: Konsequenzen von Heteroskedastizität Möglichkeiten zum Identifizieren von Heteroskedastizität Alternative Verfahren, die bei Heteroskedastizität verwendet werden können Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Ein Beispiel 70 Haushalte (HH): Monatliches HH-Einkommen und Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Ein Beispiel, Forts. Residuen e = y- ŷ aus Ŷ = 44.18 + 0.17 X X: Monatliches HH-Einkommen Y: Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums Je größer das Einkommen, umso mehr streuen die Residuen! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Typische Situationen für Heteroskedastizität Heteroskedastizität tritt typischerweise auf bei Querschnittserhebungen, etwa von Haushaltsdaten (siehe obiges Beispiel) oder in verschiedenen Regionen Modell mit stochastischen Regressionskoeffizienten Daten sind mit einem Messfehler behaftet, wobei der Messfehler einen Trend aufweist Daten aus dem Bereich der Finanzmärkte wie Wechselkurse oder Renditen von Wertpapieren Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Stochastische Regressionskoeffizienten Im Modell Yt = a + bt Xt + ut gelte bt = b + et et ist eine für alle t identisch und unabhängig verteilte Variable mit Varianz se2 Das Modell kann geschrieben werden als Yt = a + b Xt + vt mit Störgrößen vt = ut + Xt et Achtung! Die Varianz der vt ergibt sich zu Var{vt} = su2 + Xt2 se2 und ist nicht konstant Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Modetrend im Konsum Bereitschaft, einen Modetrend mitzumachen, hängt vom Einkommen ab: Konsum folgt Modetrends eher in Haushalten mit hohen Einkommen Konsumfunktion enthält keinen Regressor, der diese Bereitschaft repräsentiert: Daher steckt diese Information in der Störgröße Da die Bereitschaft zum Mitmachen mit dem Regressor Einkommen hoch korreliert, müssen wir mit Heteroskedastizität rechnen: Bei kleinen Einkommen allgemein geringe Bereitschaft; bei hohen Einkommen streut Bereitschaft stärker Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie OLS-Schätzer b Für b = (X‘X)-1 X‘y = b + (X‘X)-1 X‘u ergibt sich mit E{u} = 0, dass b erwartungstreu ist Mit Var{u} = s2 W = s2 diag(w1, … , wn) findet man Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 b ist nicht effizient (nach Gauss-Markov ist Var{b} = s2(X'X)-1 die minimale Varianz von b) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Konsequenzen von Heteroskedastizität Die OLS-Schätzer b für b sind erwartungstreu sind konsistent haben die Kovarianzmatrix Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 sind keine effizienten Schätzer sind unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch normalverteilt Der Schätzer s2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen s2 ist verzerrt (e: Vektor der OLS-Residuen) Aus s2(X'X)-1 bestimmte Standardfehler sind verzerrt Achtung! Richtung der Verzerrung kann nicht angegeben werden! Achtung! t- und F-Test liefern irreführende Ergebnisse Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Tests auf Heteroskedastizität Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Heteroskedastizität anzeigen Tests auf Basis der Residuen Goldfeld-Quandt-Test Glejser-Test Breusch-Pagan-Test White-Test Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Goldfeld-Quandt-Test Nullhypothese: Homoskedastizität Alternative: Zwei Regime mit s12 und s22 als Varianz der Störgrößen; Zugehörigkeit zu Regimen wird durch Variable Z angezeigt Beispiel: y1 = X1b1 + u1, Var{u1} = s12In1 (Regime 1) y2 = X2b2 + u2, Var{u2} = s22In2 (Regime 2) Nullhypothese: s12 = s22 F-Test: Si: Summe der quadrierten Residuen für i-tes Regime Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Goldfeld-Quandt-Test, Forts. Das Testverfahren läuft in folgenden Schritten ab: Sortieren der Beobachtungen nach steigenden Werten von Z Entfernen von 2c Beobachtungen in der Mitte der sortierten Beobachtungen Getrennte OLS-Anpassung an die ersten n1 und die letzten n2 Beobachtungen [typischerweise n1 = n2 = (n-c)/2] und Bestimmung der OLS-Schätzer bi und der Summen der quadrierten Residuen Si (i = 1,2) Berechnen der Teststatistik F; sie ist unter H0 exakt oder näherungsweise F-verteilt mit n2-c-k und n1-c-k Freiheitsgraden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Test, ob zwei Regime: (1) X<4000 und (2) X>4000; Modelle: A: gemeinsam (n = 70): Ŷ = 44.18 + 0.17 X, S = 2,094.511, s = 175.5 B(1): X < 4000 (n1 = 48): Ŷ = 119.71 + 0.13 X, S1 = 627.648, s1 = 117 B(2): X > 4000 (n2 = 22): Ŷ = -155.34 + 0.20 X, S2 = 1,331.777, s2 = 258 F-Teststatistik: p-Wert: 0.000004; Nullhypothese kann nicht gehalten werden Achtung! Ursache für Ablehnung kann sein: s12 ≠ s12; aber auch b1 ≠ b2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Glejser-Test Modell für Heteroskedastizität mit p-Vektoren zt und d, Interzept d1, p-1 Variablen Z2, …, Zp zu prüfende Nullhypothese: H0: d2 = … = dp = 0 also st2 = f(d1) für alle t, d.h. Homoskedastizität Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Glejser-Test, ob st2 = d1 + Xtd2 Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X Anpassen der Residuen: e2 = -6385 + 10.9 X t-Test: t = 4.3, p-Wert: 0.0001 Nullhypothese kann nicht gehalten werden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Glejser-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: Ermitteln der OLS-Residuen et durch OLS-Anpassung des zu prüfenden Modells Regression einer dem funktionalen Zusammenhang f entsprechenden Funktion der Residuen auf die Variablen Z2, …, Zp Test der Nullhypothese: d2 = … = dp = 0 mittels Wald-Test bzw. t-Test (wenn p = 2) Funktionaler Zusammenhang f und Residuen-Modell Regression von et2 auf (zt' d) zum Test von st2 = s2 (zt' d) Regression von log et2 auf (zt' d) für st2 = s2 exp{zt' d} Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Breusch-Pagan-Test Modell für Heteroskedastizität mit p-Vektoren zt und d, Interzept d1, p-1 Variablen Z2, …, Zp zu prüfende Nullhypothese: H0: d2 = … = dp = 0 also st2 = f(d1) für alle t, d.h. Homoskedastizität Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Breusch-Pagan-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: Ermitteln der OLS-Residuen et durch Anpassen des zu prüfenden Modells Berechnung des Schätzers se2 = e'e/n und Transformation der quadrierten Residuen et2 in die Größen gt = et2/ se2 Regression der gt auf die Variablen Z2, …, Zp Berechnen der Lagrange-Multiplier Teststatistik LM(H) = 1/2 [g'Z(Z'Z)-1Z'g], die unter H0 asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit p-1 Freiheitsgraden folgt Berechnung von LM(H) = nRg2 mit dem Bestimmtheitsmaß Rg2 der Regression der transformierten Residuen gt auf die Variablen Z2, …, Zp Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Breusch-Pagan-Test, ob st2 = d1 + Xtd2 Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X Berechnen von gt = et2/ se2 Anpassen der transf. Residuen: g = -0.213 + 0.0004 X Rg2 = 0.2143, LM(H) = 70 (0.2143) = 15.0, p-Wert: 0.0001 Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie White-Test Test der Nullhypothese: H0: st2 = s2 für alle t gegen die unspezifizierte Alternative, H0 sei unrichtig Test vergleicht die Kovarianzmatrix (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 und ihr Pendant bei Homoskedastizität, (X'X)-1 Teststatistik: n-faches Bestimmtheitsmaß Re2 der Hilfsregression der quadrierten Residuen et2 auf die Regressoren des Modells, ihre Quadrate und gegebenenfalls auch auf ihre Produkte W = n Re2 W folgt asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung; Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Anzahl der geschätzten Koeffizienten weniger Eins Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. White-Test, ob st2 = s2 für alle t Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X Anpassen der Residuen: e2 = -18185 + 18.4 X – 0.0008 X2 Re2 = 0.226, W = 70 (0.226) = 15.82, p-Wert: 0.0004 Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Inferenz bei Heteroskedastizität Kovarianzmatrix von b: Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 Verwendung von (X'X)-1 führt zu verfälschten Ergebnissen Vermeidung von Fehlern durch Verwendung der korrekten Varianzen Transformation des Modells so, dass die Störgrößen homoskedast sind Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Schätzen von Var{b} Nach White: heteroskedasticity consistent Kovarianzmatrix statt Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 Daraus erhält man die „White-Standardfehler“ für die bi Achtung: Simulationen zeigen, dass die White-Standardfehler die tatsächlichen Standardfehler unterschätzen! EViews verwendet White-Standardfehler als Option der OLS-Schätzung Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X Der Standardfehler des Koeffizienten von X beträgt 0.0091 Der White-Standardfehler beträgt 0.0120 Der nicht korrigierte Standardfehler unterschätzt um mehr als 30% Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Variablen-Transformation Bei bekannter funktionaler Form der Abhängigkeit der st2: Transformation so, dass die Störgrößen des transformierten Modells homoskedast sind Beispiel: Modell Yt = a + b Xt + ut hat heteroskedaste Störgrößen: st2 = d Zt2 für t = 1, …, n; oder Var{u} = s2 W = s2 diag(Z12, …, Zn2) Mit vt = ut/Zt ergibt sich Var{vt} = Var{ut}/Zt2 = s2 Transformiertes Modell erfüllt Annahme 6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Gewichtete LS-Schätzer Minimieren der Summe der Abweichungsquadrate für transformiertes und nicht-transformiertes sind verschieden! Beispiel: Modell Yt = a + b Xt + ut mit Var{ut} = st2 = d Zt2 Beim nicht-transformierten Modell wird minimiert: St (Yt – a – b Xt)2 Beim transformierten Modell wird minimiert: St wt (Yt – a – b Xt)2 mit Gewichten wt = Zt-2 Achtung! wt = wt-1/2 mit wt aus W; Var{u} = s2 W = s2 diag(Z12, …, Zn2) Diese Gewichtete LS-Schätzung ist ein Fall der GLS-Schätzung (generalized LS-Schätzung) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Transformation von Yt = a + b Xt + ut durch Division durch √Xt Entspricht den Gewichten wt = Xt-1/2 Die angepasste Funktion ist Achtung! R2 der Schätzungen mit und ohne Gewichtung sind nicht vergleichbar! EViews erlaubt gewichtete LS-Schätzung als Option der Modellanpassung Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie GLS-Schätzer Transformation von Yt = xt‘ b + ut mit Var{ut} = st2 durch Dividieren durch st ergibt das Modell Yt/st = Yt* = xt/st b + ut/st = xt/st b + vt mit Var{vt} = 1 Die Annahme 6 der Homoskedastizität ist für das Modell in transformierten Variablen erfüllt, die OLS-Schätzer sind beste Schätzer. Das Schätzen der Parameter des Modells in transformierten Variablen entspricht der gewichteten OLS- oder GLS-Schätzung. Achtung! In den meisten Fällen sind die st2 nicht bekannt! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie FGLS-Schätzer Bei unbekannten Parametern in den Gewichten st: 2-stufiges Verfahren Anpassen des Modells ohne Gewichtung und Schätzen der Varianzen st2 (Regression von et2) Transformation der Variablen: Division durch geschätzte st Anpassen des Modells in transformierten Variablen Man spricht von einem FGLS-Schätzer (feasible GLS-Schätzer), auch vom „anwendbaren“ oder „geschätzten GLS-Schätzer“ Hackl, Einführung in die Ökonometrie