Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

AR(1)-Modell: Schätzer für j Für das AR(1)-Modell Yt = jYt-1+ut gelte: |j| < 1, ut ist Weißes Rauschen OLS-Schätzer: Aus Yt = Sijiut-i sieht man, dass der Erwartungswert von StYt-iut nicht den Wert Null hat: Der OLS-Schätzer für j ist nicht erwartungstreu! Es lässt sich zeigen: der OLS-Schätzer für j ist konsistent Ist asymptotisch normalverteilt Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Schätzverfahren für dynamische Modelle Themen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen ADL-Modell Modell mit Koyck‘scher Lagstruktur Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie DL(s)-Modell Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells Yt = a + b0Xt + … + bsXt-s + ut sind: „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt Zusätzliches Problem kann sein: korrelierte Störgrößen, z.B. AR(1)-Prozess ut = rut-1+ et mit Weißem Rauschen e (Varianz s2) EViews: n=100; series y1 = nrnd; y2 = y2(-1)+y1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen Yt = a + b0Xt + … + bsXt-s + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) Alternative Darstellungen (mit Störgrößen e) ADL-Form Yt = ar + rYt-1 + br0Xt + … + br,s+1Xt-s-1 + et mit ar = a(1 – r), br0 = b0, br1 = b1 – rb0, …, br,s+1 = – rbs ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen: Y*t = a + b0X*t + … + bsX*t-s + et mit Y*t = Yt – rYt-1, X*t = Xt – rXt-1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten Störgrößen Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit Störgrößen ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) ADL(1,2)-Form: Yt = d + rYt-1 + d0Xt + d1Xt-1 + d2Xt-2 + et mit d = a(1 – r), d0 = b0, d1 = b1 – rb0, d2 = – rb1 ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen: Y*t = a + b0X*t + b1X*t-1 + et mit Y*t = Yt – rYt-1, X*t = Xt – rXt-1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Konsumfunktion Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2) In logarithmierten Differenzen: Ĉ = 0.009 + 0.621Y mit t(Y) = 5.94, adj.R2 = 0.326; r = 0.344 ADL(1,1)-Form: Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1 mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024 Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.344C-1, Y* = …): Ĉ* = 0.006 + 0.651Y* mit t(Y*) = 5.42, adj.R2 = 0.288; r = 0.051 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: Schätzer Eigenschaften der OLS-Schätzer: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: erwartungstreu und konsistent nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler (unterschätzt, wenn r > 0) ADL-Form: Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer nicht-lineare Normalgleichungen ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form: Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Schätzen der ADL-Form Yt = ar + rYt-1 + br0Xt + … + br,s+1Xt-s-1 + et Konsequenzen des Summenden rYt-1: OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben) Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung konsistent von der Wahl der Instrumente abhängig Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: DL(0)-Modell Yt = a + bXt + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) ADL(1,1)-Modell: Yt = d + rYt-1 + bXt + d1Xt-1 + et mit d = a(1 – r), d1 = - rb IV-Schätzung Hilfsvariable: Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + … Ordnung der Lagstruktur: z.B. AIC Ersetzen von Yt-1 im ADL(1,1)-Modell durch Ŷt-1 und OLS-Anpassung Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Schätzen der Quasi-Differenzen-Form Modell: Y*t = a + b0X*t + b1X*t-1 + et mit Y*t = Yt – rYt-1, X*t = Xt – rXt-1 Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für r Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLS-Schätzung) OLS-Schätzer für r, Berechnung der Quasi-Differenzen OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: DL(1)-Modell Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) Cochrane-Orcutt-Schätzer: OLS-Schätzer a, b0, b1 (unter Annahme, dass r = 0); Berechnung der Residuen et = Yt – (a + b0Xt + b1Xt-1) und Berechnung der Quasi-Differenzen Y*t = Yt – rYt-1, Xt* = … OLS-Schätzung der Koeffizienten aus Y*t = a + b0X*t + b1X*t-1 + et Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Schätzen von r Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion OLS-Residuen IV-Residuen r ist konsistenter Schätzer Iteratives Berechnen: Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme r = 0, Berechnen von r(1) und der Quasi-Differenzen Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form, Berechnen von r(2) und verbesserter Quasi-Differenzen Wiederholung, bis Abbruchkriterium erfüllt ist Hackl, Einführung in die Ökonometrie

ADL-Modell: korrelierte Störgrößen Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit ut = rut-1 + et Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z.B.: Schätzer r für r ist nicht konsistent) Schätzverfahren: IV-Schätzung FGLS-Schätzung Direktes Schätzung (nicht-lineare Optimierung) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. ADL(1,1)-Form: Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1 mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024 Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent! Hilfsvariable: CIV = 0.008 + 0.545Y + 0.127Y-1 IV-Schätzung Ĉ = – 0.011 + 2.149CIV-1 + 0.504Y – 1.197Y-1 mit t(C IV0-1) = 2.11, t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -1.88, adj.R2 = 0.342 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie IV-Schätzung ADL(1,1)-Modell Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit ut = rut-1 + et (e Weißes Rauschen) Instrumente: X-j, j > 1 Verfahrens-Schritte: Bestimmen der Hilfsvariablen Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + … mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur Ersetzen von Yt-1 durch Ŷt-1; OLS-Anpassung IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. DL(1)-Modell: Ĉ = 0.007 + 0.545Y + 0.127Y-1 mit t(Y) = 4.07, t(Y-1) = 0.97, adj.R2 = 0.316; r = 0.276 FGLS-Schätzung: Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.276C-1, Y* = …): Ĉ* = 0.006 + 0.634Y* + 0.020Y*-1 mit t(Y*) = 5.08, t(Y*-1) = 0.16, adj.R2 = 0.282 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Nicht-lineare OLS-Schätzung ADL(1,0)-Modell Yt = jYt-1 + bXt + ut mit ut = rut-1 + et Einsetzen liefert Yt = (j+r)Yt-1 – rjYt-2 + bXt – rbXt-1 + et Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen Wahl von Startwerten für r, j, b Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter Wiederholen von 2., bis Korrekturen sehr klein Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der Parameter DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Yt = a + b(1-l) SiliXt-i + ut Schätz-Problem: Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = b(1-l)(Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 + b*lt + ut mit b* = b(1-l)(X0 + lX-1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten) AR (autoregressive)-Form Yt = a(1-l) + lYt-1 + b(1-l) Xt + vt mit vt = ut – lut-1: ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss-Newton) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Yt = a + b(1-l) SiliXt-i + ut Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = b(1-l)(Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 + b*lt + ut = a + b0Wt + b*lt + ut mit b0 = b(1-l) b* = b(1-l)(X0 + lX-1 + … ) Wt = Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 Nicht-lineares Schätzproblem! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Nicht-lineare OLS-Schätzung Iteratives Verfahren: Wahl von drei Werten von l; für jedes l: Berechnen von Wt = Xt + lXt-1 + … + lt-1X1 und lt OLS-Anpassung liefert Schätzer für a, b0, b* Berechnen der Summe der quadrierten Residuen Ausscheiden des l mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues l: Mittelwert der anderen beiden l, Wiederholen des Schrittes 1. Abbruch, wenn l mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Tests auf Autokorrelation Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: Durbin‘s h LM-Test von Breusch-Godfrey andere Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Durbin‘s h ADL(1,0)-Modell Yt = jYt-1 + b0Xt + ut mit ut = rut-1 + et (e: Weißes Rauschen) Nullhypothese H0: r = 0 d: Durbin-Watson-Statistik Unter H0: h ~ N(0,1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Breusch-Godfrey-Test ADL(1,0)-Modell Yt = jYt-1 + b0Xt + ut mit ut = rut-1 + et (e: Weißes Rauschen) Nullhypothese H0: r = 0 Regression der OLS-Residuen et auf Yt-1, Xt und et-1; Re2 Teststatistik LM(A) = n Re2 Unter H0: LM(A) ~ c2(1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n) EViews: n=100; series u = nrnd; y1 = y1(-1)+u; y2 = 0.1+y2(-1)+u; y3 = 0.2+0.7*y3(-1)+u; Hackl, Einführung in die Ökonometrie