Grundmodelle für Peak Oil a.o.Univ.-Prof. Stephen Keeling Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Präsentation verlinkt auf …/dokumentation.html Modelle für: Ölentdeckung Ölproduktion Kopplung mit Nachfrage, Angebot, Kapital Entropie/Komplexität & Energie Spiele für Kooperation

Ölentdeckung □=Leer Wir suchen Öl in einem Gitter (der Welt): Zu Beginn: Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Entdeckung = N/(N+M). X X=Ressource □=Leer N=Anzahl der Ölzellen M=Anzahl der Leerzellen

Ölentdeckung Was sind die Wahrscheinlichkeiten der ersten paar Erfolge? Gleiche Erfolgs- und Ausfallsverhältnisse bedeutet: Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs:

Ölentdeckung Beispiel: P(5 Kinder heute) = P(5->5) * P(5 Kinder gestern) + P(4->5) * P(4 Kinder gestern) Ähnlicherweise: P(n in t+dt) = P(n->n) * P(n in t) + P(n-1->n) * P(n-1 in t) oder: wobei: pn(t) = Wahrscheinlichkeit in Zeit t, dass n Ölzellen schon gefunden.

Ölentdeckung Alles zusammen: oder:

Ölentdeckung Anfangswertproblem: Ergebnis: Mittelwert erfüllt:

Ölentdeckung Realistischere Wahrscheinlichkeiten der Erfolge? Statt: Nimm:

Ölentdeckung Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs (…logistisch aussehend!): Alles zusammen: oder:

Ölentdeckung Anfangswertproblem: Ergebnis: Mittelwert ist ungefähr logistisch: beweisbar.

Ölentdeckung Das resultierende Modell der Entdeckung: E(t) = (Erwartungswert der) Entdeckung in Zeit t Logistisches Modell:

Ölproduktion Das einfachste Modell der Produktion: Ein Brunnen Bernoulli-Poiseuille:

Ölproduktion Bernoulli-Poiseuille: Fluss: Volumenänderung: Produktion nicht logistisch:

Ölproduktion Salzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille: Fluss: Volumenänderung: Produktion ohne Mischung linear!

Ölproduktion Salzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille: Fluss: Mit Mischung - Konzentrationsänderung: Produktion mit Mischung nicht logistisch!

Ölproduktion Kopplung zwischen Entdeckung und Produktion: Wenn gekoppelt sehen beide logistisch aus, Produktion zögert nach Entdeckung:

Kopplung mit Vorrat & Kapital Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa: Diskret: Ndt = Adt bestimmt Preis p

Kopplung mit Vorrat & Kapital Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa: Stetig: N´ = A´ bestimmt Preis p

Kopplung mit Vorrat & Kapital Population steigt mit V, Nachfrage fällt mit Überschuss in V, also N´ steigt schwach mit V, Angebot steigt stärker mit V: Bedingung N´ = A´ bestimmt Preis p: Produktion hört auf wegen Verschuldung, wird beschleunigt mit mehr K

Kopplung mit Vorrat & Kapital Sogar mit diesem einfachen Modell sieht man folgende Schwingungen: Am Peak steigen A´ & N´, bis V konsumiert, Verschuldung stoppt P, p steigt bis K>0 und Öl völlig produziert, A´ & N´ (Population) niedrig.

Entropie/Komplexität & Energie Was ist Entropie? TdS=dE+pdV-μdN…von der Thermodynamik… Beispiel: Unterschiedliche Kugeln verteilt in eine Box: System strebt zu Smax: Mögliche Realisierungen Ω Einige Konfigurationen ➀➁➂➃ 1 4 6 12 24 ➀ ➁➂➃ ➀➁ ➂➃ ➀ ➁ ➂➃ ➀ ➁ ➂ ➃

Entropie/Komplexität & Energie Präziser: für Systeme in Gleichgewicht. !Nun gezeigt auch für Systeme nicht in Gleichgewicht [Jaynes, 1957-1998], [Dewar, 2003]: wird maximiert, wobei Γ ein möglicher Pfad ist. System strebt zu max Entropieproduktion: wahrscheinlichster Zustand, wahrscheinlichster Weg. (vgl. Prigogine!)

Entropie/Komplexität & Energie Entropie fällt wegen Einschränkungen: Z.B. S(Eis)<S(Wasser). Eis ist komplexer. Ein Maß der Komplexität: Z.B. K(Eis)>K(Wasser). Eingeschränkte Konfiguration Mögliche Realisierungen Ω ➀ ➁ ➂ ➃ 4 24 ➀ ➁ ➂ ➃ Freie Konfiguration

Entropie/Komplexität & Energie Zwei Gefäße, ein ideales Gas, gleicher P, gleiche N, aber T1 ≠ T2. Getrennt ➾ eingeschränkt ➾ komplexer. Wenn Gefäße verbunden werden, steigt Entropie beim Gleichgewicht: Rückkehr verlangt Energie!

Entropie/Komplexität & Energie Wenn diese Energie investiert wird, Wärme Q1 stellt T1, T2 wieder her, und T1 und T2 sind für Arbeit verfügbar: wenn Q2 abgegeben wird. Verfügbare Arbeit pro Wärmeeinheit: Neue Komplexität und verfügbare Arbeit: Ein Taintersches Komplexitätsdiagramm.

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie Verschmutzung reduzieren oder nicht. Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide genießbar Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y) Selbe Struktur wie Gefangenendilemma: Gleichgewicht in (0,0). Strafe für Nichteinhaltung? Wer macht die Durchsetzung? X: Y: verschmutzen: reduzieren: (0,0) (5,-2) (-2,5) (3,3)

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Neue Bedingung, Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide Kosten wenn beide nichts tun: 4 Einheiten Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y) Selbe Struktur wie Angsthasenspiel: Gleichgewichte in (-2,5) & (5,-2). Wer bedroht, kann das Gleichgewicht entscheiden. Wer den ersten Zug hat, kann das Gleichgewicht entscheiden. X: Y: verschmutzen: reduzieren: (-4,-4) (5,-2) (-2,5) (3,3)

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie zu einem Allgemeinwohl beitragen. Kosten eines Beitrags: 8 Einheiten Gewinn: 12 Einheiten für beide, nur wenn beide beitragen. Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y) Selbe Struktur wie Sicherungsspiel: Gleichgewichte in (0,0) & (4,4). Kooperative Lösung selbstdurchsetzend, ohne Anreiz nicht zu halten. In Wiederholung des Spiels gibt es Anreiz zur kooperativen Lösung. X: Y: nicht beitragen: beitragen: (0,0) (0,-8) (-8,0) (4,4)

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Kontinuum von Strategien, z.B. wie viel will man beitragen? N Länder spielen. Land i trägt zi bei. Gesamtbeitrag is Z=Σi=1N zi. Land i hat Gewinn Bi(Z) und Kosten Ci(zi). Zu maximieren ist: Bi(Z)-Ci(zi).

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Kein reines Gleichgewicht, also X und Y spielen gemischte Strategien: P(a)=q, P(b)=1-q, P(c)=p, P(d)=1-p q*=3/4➾X-Gewinne gleich in 3/4. p*=3/8➾X-Gewinne gleich in -3/4. Y: q 1-q X: Strategie a Strategie b X-Gewinn: p Strategie c (2,-2) (-3,3) 5q-3 1-p Strategie d (0,0) (3,-3) 3-3q Y-Gewinn: -2p 6p-3

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Spiel gegen Natur, Entscheidungstheorie. k=Kosten zur Zweigbibliothek, θk=Kosten zur Zentralbibliothek K(c)<K(d) wenn 1/θ <q gilt, also geh erst zur Zweigbibliothek. Natur: q 1-q X: Möglichkeit a Möglichkeit b X-Kosten: Strategie c k (1+θ)k qk+(1-q)(1+ θ)k Strategie d θk qθk+(1-q)θk

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Evolutionär stabile Strategien. q*=7/12 ➾ Eindringlinge-Gewinne gleich in 25/4. Spezies stabil gegen Eindringlinge. Spezies: q 1-q Eindringlinge- Eindringlinge: Falke Taube Gewinne: (-25,-25) (50,0) -25q+50(1-q) (0,50) (15,15) 0q+15(1-q)

Einführung in Spieltheorie Beispiel: Wiederholtes Gefangenendilemma, T>R>U>S, R>(S+T)/2. P(1.Spiel)=1, P(2.Spiel)=p, P(3.Spiel)=p2, usw. Gewinn durch Kooperieren = R+pR+p2R+…=R/(1-p) Gewinn durch Überlaufen beim mten Zug = R+pR+p2R+…+pm-1R + pmT + pm+1U+pm+2U+… =[R(1-pm)+(1-p)pmT+pm+1U]/(1-p) Kleiner als R/(1-p) wenn p>(T-R)/(T-U), also kooperieren. X: Y: kooperieren überlaufen kooperieren: (R,R) (S,T) überlaufen: (U,U)

Modell der Ressourcenteilung [Pallage]: Zwei Länder, wählen in [t,t+1] eigene Konsum ct Kapital kt+1 Ressourcennachschub xt Transfer τt Produktion einer Ware yt=f(kt) beschädigt die Umwelt durch g(yt) Ressource at entwickelt sich so: at+1 = at + [xt1-g(yt1)] + [xt2-g(yt2)] Unter natürlichen Einschränkungen soll eigene Utilität maximiert werden: Σt=0∞βt U(ct,at+1) Länder kooperieren wenn Anfangsressource oder Anfangskapital genügend knapp sind oder wenn β groß genug ist.