Quantitative Methoden der BWL – Lineare Programmierung Prof. Dr. Steffen Fleßa Universität Greifswald

Gliederung Grundlagen Modellierung in LINGO Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung Komplexere Modelle Fallstudie 2: Personaleinsatzplanung Ausblick

1. Grundlagen Lineare Programmierung Optimierende Modelle Planungs- und Entscheidungmodelle Optimierende Modelle Prognostizierende Modelle Simulationsmodelle Arten von Optimierenden Modellen Infinitesimalrechnung Lineare Programmierung Entscheidungsbaumverfahren Spielmodelle

Grundmodell der mathematischen Programmierung Variablendefinition x Vektor der Strukturvariablen Zielfunktion Nebenbedingungen

Spezialfall: Lineare Programmierung Zielfunktion g(x) als lineare Funktion Nebenbedingungen Alle fi als lineare Funktionen Nicht-Negativitäts-Bedingung

Beispiel: Produktionsprogrammplanung Inhalt: Festlegung der Menge der zu produzierenden Produkte. Krankenhaus: Festlegung des Fallklassenprogramms Gebräuchlicher: Leistungsprogrammplanung

Beispiel Entgelt Restriktionen Spezifischer Bedarf Hüftoperation: 1600 € Deckungsbeitrag Knieoperation: 1000 € Deckungsbeitrag Restriktionen OP-Kapazität: 6 Stunden/Tag Aufwachraumkapazität: 8 Stunden/Tag Spezifischer Bedarf Hüftoperation: 2 Stunden OP-Kapazität, 2 Stunden Aufwachraumkapazität Knieoperation: 1 Stunde OP-Kapazität, 2 Stunden Aufwachraumkapazität

Optimale Lösung Produktionsprogramm Zwei Hüftoperationen (benötigt 4 Stunden OP-Kapazität, vier Stunden Aufwachraumkapazität) Zwei Knieoperationen (benötigt 2 Stunden OP-Kapazität, 4 Stunden Aufwachraumkapazität) Deckungsbeitrag: 2*1600 € + 2*1000 € = 5200 €

Charakteristika der Produktionsprogrammplanung Ressourcen: gegeben, unveränderlich Produktionsmöglichkeitsbereich, Lösungsraum: durch Restriktionen eingeschränkt Ziel: Deckungsbeitragsmaximierung Ergebnis ist die Zahl der zu produzierenden Einheiten

Lösung durch Lineare Programmierung Variablendefinition: X1 = Anzahl der Knieoperationen X2 = Anzahl der Hüftoperationen Nebenbedingungen 2 X1 + 2 X2 < 8 1 X1 + 2 X2 < 6 X1 > 0 X2 > 0 Zielfunktion Z = 1000 X1 + 1600 X2 Max!

Graphische Lösung

Konvexes Lösungspolyeder

Zielfunktion und Optimierung Z=1000X1+1600X2

2. Modellierung in LINGO Modell: Solve

Ergebnis Zielfunktionswert Zahl der Iterationen

Endliche, zulässige Lösung Zielfunktionswert

X1=2 X2=2 Zielfunktionswert

Variablen in der Basislösung haben immer „reduced cost“ von 0 Um wie viel würde der Zielfunktionswert sinken, wenn man die Variable in die Basislösung aufnehmen würde (wenn sie nicht in der Basislösung ist)

0: Restriktion voll erfüllt (links=rechts) Schlupfvariable: 0: Restriktion voll erfüllt (links=rechts) >0: ungenutzte Kapazität (Schlupf zwischen linker und rechter Seite)

Schattenpreis: Um wie viel würde der Zielfunktionswert steigen, wenn man die Kapazität um eine Einheit erhöhen würde.

Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung Lösung der Arbeitsaufgabe (Fallstudie 1) LINGO Interpretation der Ergebnisse

Ansatz

Solver Status

Ergebnisse

Analyse Entscheidungsvariable: Restriktionen: 50 Patienten von Klasse 3 100 Patienten von Klasse 4 25 Patienten von Klasse 7 Restriktionen: Pflegetage: 50 unterausgelastet Labor: 0: Engpass Röntgen: 1000: unterausgelastet Operationssaal: 0: Engpass Pflegekräfte: 0: Engpass Ärzte: 4000: unterausgelastet

Analyse Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 438.2833

Analyse: Aufgabe: Zwingen Sie das Modell, mindestens einen Patienten mit Fallklasse 1 zu behandeln. Wie verändert sich der Zielfunktionswert? dZ= 459710.0 - 459271.7=438,3 Vgl. reduced cost des Ausgangsmodells!

Analyse Row Slack or Surplus Dual Price 1 459710.0 1.000000 1 459710.0 1.000000 2 50.00000 0.000000 3 0.000000 39.12750 4 1000.000 0.000000 5 0.000000 18.62500 6 0.000000 0.4776667 7 4000.000 0.000000

Analyse Aufgabe: Sie öffnen den OP eine Minute länger länger. Wie wirkt sich das auf den Zielfunktionswert aus? OP-Zeit = 9001 min. LP: … <=9001 dZ=459728,6 – 459710 = 18,6 Vgl. Schattenpreis!

Komplexere Modelle Ganzzahlige Variable (General Integer): 0,1,2,3,… @GIN(X) Binäre Variable (Binary Integer): 0,1 @BIN(X) Nicht-Vorzeichenbeschränkte Variable @FREE(X)

SETS Ziel: Zusammenfassung von Objekten zu einer Menge, z.B. indizierte Variable X={x1, x2, x3, …, xn} SET-Section: Wir müssen die Sets definieren SETS: Set1: attribute; Set2: attribute; ENDSETS

DATA Inhalt: Liste der Konstanten für einzelne Sets DATA-Section: Definition der Konstanten DATA: Set1 = S1, S2, …, Sn; Attribut = a1, a2, …, an; ENDDATA

Summen Inhalt: Summierung über alle Elemente einer Menge 𝑖=1 𝑛 𝑐 𝑖 ∙ 𝑥 𝑖 Funktion: @SUM @SUM(Index(i): c(i)*x(i)); Voraussetzung: X und c wurden vorher als Set Index definiert, d.h. SETS: Index: c, x; ENDSETS

Personaleinsatzplanung

Personaleinsatzplanung

Kosten Schicht Kosten pro Mitarbeiter 1 1500 € 2 1000 € 3 1000 € 1 1500 € 2 1000 € 3 1000 € 4 1000 € 5 1000 € 6 1200 € 7 1200 € 8 1500 € N 1800 €

Einfacher Ansatz

Ergebnis Einfacher Ansatz

Ansatz mit SET

Ansatz mit SET

Summen ZIELFUNKTION

Summen Nebenbeding- ungen #LE#: less or equal to #GE#: greater or equal to

Ausblick For-Schleifen Einbindung von Excel For i=1..n Beispiel: @FOR( Schichten(I): @GIN(X(I))); Einbindung von Excel Eingabe Ausgabe