Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte Liouvillesches Theorem lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) normierte Emittanz Synchrotron Schwingung Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung Sektormagnet mit Strahlung Beispiel Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem natürliche Strahlemittanz Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)

Liouvillesches Theorem lineare Abbildung im Phasenraum: Volumen im Phasenraum: Liouvillesches Theorem: Volumen im Phasenraum ist invariant symplektische Abbildung TtST = S für glatte elektromagnetische Felder und kanonische Koordinaten glatte elektromagentische Felder: keine Singularitäten, keine Teilchen-Teilchen Streuung, keine inkohärente Synchrotron Strahlung kanonische Koordinaten: mit Lagrange Funktion L und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion

Liouvillesches Theorem Beschleuniger Koordinaten sind nicht kanonisch! aber die Orts- und Momentum-Koordinaten sind es, wenn das Vektorpotential des Magnetfeldes verschwindet; z.B. im feldfreien Raum (Drift) kann das V.p. verschwindend gewählt werden Koordinatentransformation für Drift:

Liouvillesches Theorem Phasenraumdichte in Beschleuniger Koordinaten: magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen: für das bisher betrachtete magnetische System bleibt die Phasenraumdichte auch in Beschleuniger Koordinaten erhalten;

Liouvillesches Theorem Konsequenz: die Phasenraumdichte kann nicht erhöht werden die Quelle bestimmt die Phasenraumdichte man kann in ein Bucket nur einmal injizieren Bilder aus [K.Wille]

erweiterter linearer Formalismus Transport mit zusätzlicher konstanter Anregung kann durch erweiterte Matrix Schreibweise berücksichtigt werden umlaufendes System stationäre Lösung Differenz Lösung dafür gilt wieder die homogene Rekursion wichtig für stationäre Lösung: Invertiebarkeit von IT wichtig für Stabilität: Eigenwerte von T

bisher magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen: keine Phasefokusierung; Probleme mit longitudinalem Phasenraum: Momentum-Abweichung wird nicht behoben, akumuliert sich bei konstanter Anregung immer weiter auf; auch ohne Anregung: die Verteilung zerflieβt longitudinal (siehe Übung 6d); wir brauchen: longitudinale Beschleunigung, also RF-Felder und Dämpfung durch inkoheränte Synchrotron Strahlung

mit Dämpfung könnte man im Phasenraum akumulieren Bilder aus [K.Wille]

lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) diskretes (sehr kurzes) Gap mit beschleunigendem Feld: gap E(t) g Strahlrohr p1 p2 relativistische Näherung (p1/m0c >>1): Linearisierung des zeitabhängigen Feldes:

lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) Strahlrohr p1 p2

lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) Strahlrohr p1 p2 gleiches Referenz-Momentum: angepaβtes Referenz-Momentum:

normierte Emittanz vor dem Gap: dahinter: relativistische Näherung (p1/m0c >>1):

Synchrotron Schwingung longitudinale Dynamik: Position l und Momentum-Abweichung  Phasenfokusierung: zeitharmonisches longitudinales Feld zwei Typen von Lösungen separatrix “Rotation” “Schwingung” wir brauchen ein rückstellende Kraft! im linearisierten Modell gibt es nur den Typ “Schwingung”

Synchrotron Schwingung magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen, ein Umlauf:  horizontale Betatron Schwingung  vertikale Betatron Schwingung wo ist die Phasenfokusierung gebleiben? wir brauchen ein zeitabhängiges longitudinales Feld: Resonator im Nulldurchgang, denn wir haben noch keine Energie-Verluste Gap im Nulldurchgang  longitudinale Synchrotron Schwingung vereinfachte Theorie: Kopplung durch D, D’, R51, R52 vernachlässigt

Synchrotron Schwingung Eigenwerte des longitudinalen Systems: mit Frequenz der Synchrotron Schwingung: mit der Umlaufdauer Tu im Gegensatz zu den transversalen (Betatron) Schwingungen ist die Wellenlänge groβ gegen die Umlauflänge; (nur ein longitudinaler Kick pro Umlauf!) bei Ringen mit starker Fokussierung enthält der transversale Phasenvorschub ein Vielfaches von 2; zur Erinnerung:

Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung courtesy T. Shintake http://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm

Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung Kausalitätskreise “retardiertes” Teilchen abgestrahlte Leistung aktuelle Position

Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung einige runde Maschinen (aus K. Wille)

kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung inkohärente Strahlung von N Teilchen: kohärente Strahlung: unabhängig von der Energie aber abhängig von der Bunchlänge voll-kohärent; Bunch strahlt wie ein Teilchen mit der Ladung (Ne)

kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung abgestrahlte Leistung Bunch Länge

Sektormagnet mit Strahlung Änderung des longitudinalen Momentums mit , und relative Momentum-Abweichung Referenz Energie

Sektormagnet mit Strahlung konstantes B-Feld: Änderung des longitudinalen Momentums Änderung der relativen Momentum-Abweichung (in 1ter Ordnung)

Sektormagnet mit Strahlung die Strahlung ist immer in Vorwärts Richtung; deswegen ändert sich nur die Gleichung für  mit das Volumen im Phasenraum ist nicht mehr konstant: das ist eine gute Nachricht, denn wir haben einen Dämpfungsmechanismus gefunden!

Dämpfungs Ringe SLC ILC

Sektormagnet mit Strahlung einfaches Modell für kurzen Sektormagnet (L/R <<1): erst Sektormagnet ohne Strahlung dann diskrete Verluste längere Magnete durch Stückelung in kurze Magnete

Beispiel (siehe auch Übungsaufgabe) an einem festen Punkt: z = z0 kompletter Umlauf stationäre Lösung stationäre Lösung entlang eines Umlaufs: Gewinn im Gap  Momentumverlust in den Magneten

100 Umläufe  Synchrotron Schwingung Beispiel (siehe auch Übungsaufgabe) an einem festen Punkt: z = z0 Differenz Lösung dafür gilt wieder die homogene Rekursion Startwert 100 Umläufe  Synchrotron Schwingung 10000 Umläufe  Dämpfung

Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem naives Modell: kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlung diskrete Strahlungsveluste des ganzen Umlaufs Ausgleich der Verluste in Gap Energieverlust pro Umlauf E

Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem naives Modell: kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlung diskrete Strahlungsveluste des ganzen Umlaufs Ausgleich der Verluste in Gap also ist die Dämpfungskonstante für transversale Schwingungen: und für longitundinale Schwingungen:

Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem das naives Modell ergibt die richtige Dämpfung y für die vertikale Ebene, da diese vollständig von entkoppelt ist; die Gesamtdämpfung x+|| für die anderen Ebenen ist auch richtig, doch teilt sie sich anders auf; (siehe Übung 9); das Robinson Theorem beschreibt die Aufteilung der Dämpfungskonstanten: mit und Dp der periodischen Dispersion

kann die Phasenraumdichte beliebig klein werden? Körnigkeit: Anregung durch Abstrahlung in Photonen (Quanten) Kohärenz: falls die Dichte gro genug ist; dafür gilt wieder Liouville! kann die Phasenraumdichte gröer werden ? Körnigkeit: … Nicht-Linearitäten: zwar bleibt die (lokale) Dichte konstant, doch die (globale) Verteilung nimmt dennoch mehr Raum ein; z.B: Filamentierung

Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung Spektrum der abgestrahlten Leistung kritische Frequenz courtesy T. Shintake http://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm

natürliche Strahlemittanz kritische Frequenz

natürliche Strahlemittanz normierte natürliche Strahlemittanz und hängt von der periodischen Dispersion und den periodischen Twiss-Parametern ab

Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) Felder = externe Felder + Selbst-Felder 1-Teilchen Dynamik kollektive Effekte Selbst-Felder Raumladungs-Effekte Modell = lineare gleichförmige Bewegung Kraft ~ 1/ 2 Wake-Felder Wechselwirkung mit geometrischen Objekten (Resonatoren, Strahlrohr, ... ) für gleichförmige Bewegung (meist v  c) kurze Reichweite: verkoppelt Teilchen im gleichen Paket lange Reichweite: multi-Bunch Effekte (auch “beam loading) kohärente Strahlung Bewegung auf gekrümmten Bahnen (meist ohne longitudinale Beschleunigung)

Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)

Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) …

Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) “Beam-Loading” Strahl-Strom