Massenmittelpunkt, „Schwerpunkt“, Drehachsen und Trägheitsmoment Begriffe der „Punktmechanik“ und „Mechanik der starren Körper“

Inhalt Definition des Massenmittelpunkts bzw. „Schwerpunkts“ Ausblick auf Drehbewegungen

Ort der Masse: Der Schwerpunkt

Bewegung ausgedehnter Objekte Bei Bewegung ohne Drehung, den „Translationen“, verhalten sich räumlich ausgedehnte oder mehrere zusammenhängende Objekte wie ein einziger Massenpunkt: Ort dieses Punktes ist der Massenmittelpunkt, auch „Schwerpunkt“ genannt Die Masse an diesem Punkt ist die Summe aller Teil-Massen Die Masse ist der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung

Schwerpunkt, Massenmittelpunkt, Kraft und Beschleunigung Vektor zum Schwerpunkt von N Massenelementen 1 m kg Mit der Masse mi gewichteter Vektor zum Element i 1 kg Gesamte Masse aller Elemente 1 N Die Masse aller Elemente ist die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung a xs Vektor zum Massenmittelpunkt in der „Punktmechanik“

Stabil liegt ein Körper im Gravitationsfeld, wenn sein Schwerpunkt zwischen Stützen oder, bei hängenden Objekten, unterhalb des Punktes der Aufhängung liegt Obacht! Im Schwerefeld der Erde kippt die Leiter, sobald das Lot des Schwerpunkts über ihren Fußpunkt wandert

Drehungen Zur Beschreibung einer Drehung ist die Kenntnis der Achse erforderlich (ein Punkt auf der Achse und ein Richtungs-Vektor) Das Drehmoment beschleunigt die Drehung Drehmoment: Produkt aus Kraft und Abstandsvektor zur Drehachse die Kraft steht senkrecht zum Abstandsvektor und zur Drehachse Proportionalitätsfaktor zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung ist das Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment ist bezüglich der Drehachse definiert Voraussetzung ist die starre Verbingung aller Massenpunkte, dieses Gebiet der Physik heißt daher „Mechanik der starren Körper“

Quelle: (FAZ 26.10.99, Seite T5) Aufgrund der unterschiedlichen Trägheitsmomente unterscheidet sich die Fahrphysik von Bus und PKW bei Drehbewegungen. Bei geradliniger Fahrt verhalten sich beide annähernd gleich.

Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt 1 kg m2 Trägheitsmoment bezüglich einer Achse X 1 m Abstand des Massenelements mi von der Drehachse 1 Nm Das Drehmoment ist proportional zum Trägheitsmoment rad / s2 Winkelbeschleunigung, dω/dx ri Abstandsvektor eines Massenpunkts von der Drehachse

Schwerpunkt, Masse und Trägheitsmoment Die erste Information zu einem Objekt aus einer beliebigen Verteilungen von Massepunkten ist Die Lage des Schwerpunkts Die Gesamtmasse Diese Information genügt zur Beschreibung von Translationsbewegungen Eine zweite, nähere Beschreibung der Verteilung liefert die Angabe Einer Achse in Form eines Vektors in Achsrichtung und definierter Lage bezüglich des Objekts Das Trägheitsmoment Diese Informationen genügen zur Beschreibung von Rotationsbewegungen

Erinnerung an Mittelwert und Varianz Die erste Information zu einer beliebigen Verteilung von Daten ist Die Angabe des Mittelwerts Die Anzahl der Datenpunkte Eine zweite, nähere Beschreibung der Verteilung zeigt die „Breite“ der Verteilung Die Varianz, bzw. die Standardabweichung

Mittelwert einer beliebigen Verteilung Mittelwert aus N Messwerten xi Messwert xi N Gesamtzahl der Messwerte

Varianz einer beliebigen Verteilung Mittelwert aus N Messwerten xi Messwert xi Mittelwert der Verteilung N Gesamtzahl der Messwerte

Zusammenfassung Bei „Translationen“, das sind Bewegungen ohne Drehung, verhalten sich räumlich ausgedehnte oder mehrere starr zusammenhängende Objekte wie ein einziger Massenpunkt: Ort dieses Punktes ist der Massenmittelpunkt, auch „Schwerpunkt“ genannt Die Masse an diesem Punkt ist die Summe aller Teil Massen Der Vektor zum Schwerpunkt ist ein Quotient Zähler: Summe über die mit der Masse gewichteten Vektoren zu den einzelnen Masse-Elementen Nenner: Summe über die Massen aller Elemente Zur Berechnung von Drehbewegungen ist weitere Information erforderlich: Lage der Drehachse Verteilung der Massen bezüglich der Drehachse: „das Trägheitsmoment“

finis Obacht! Im Schwerefeld der Erde kippt die Leiter, sobald das Lot des Schwerpunkts über ihren Fußpunkt wandert