Energiebänder im Festkörper

Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit Das Bändermodell für Isolator Halbleiter Leiter

Energieniveaus eines freien Atoms nach dem Bohrschen Atommodell Freies Atom Energieniveaus eines freien Atoms nach dem Bohrschen Atommodell Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms

Energie der Elektronen Abstand vom Kern mal 0,0529 [nm] M, n=3 L, n=2 Bindungsenergie K, n=1

Energieaufspaltung bei Annäherung von zwei Atomen M, n=3 L, n=2 K, n=1

Kristalline Festkörper Link zu einem Periodensystem mit Information zur Struktur:: http://www.chemicool.com/

Elektronen in kristallinen Materialien Die Elektronen der dicht gepackten Atome werden als ein einziger „gebundener Zustand“ aufgefasst Anstelle der lokalisierten Elektronen treten stehende Wellen im „Kasten“ Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

Wellenzahl und Energie Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ? 1/m Wellenzahlen „die in den Kasten passen“ 1 J Energie zur Welle mit Quantenzahl n Folgt aus der Lösung der Schrödingergleichung für das „Kastenpotential“

Wellenfunktionen für k=1,2,3,4 Energie En W3=9 W2=4 W1=1 Quantenzahl n Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einem Kasten für n=1,2,3,4. Die Farbstärke ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in Bereich der Abszisse anzutreffen Umrechnung der Einheiten des Modells auf atomare Größen: x = 4  0,17 nm, W = 1  13,6 eV

Das „Elektronengas“ Der Kristall bildet den „Kasten“, die Elektronen im Kristall werden als Wellen darin untergebracht

Eigenschaften der Elektronen im Kristall Es gilt die de Broglie-Beziehung: Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k Elektronen sind „Fermionen“: Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden Daraus folgt das Bauprinzip: Der Festkörper (zunächst: „lineare Kette“) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen Man beginnt mit der Wellenzahl k1 = π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu Man erhöhe die Wellenzahl bis kN = N·π/L

Energie der Elektronen im freien He-Atom Energie W L Energie-niveau des freien Atoms K

Energie der Elektronen bei Annäherung von zwei Helium Atomen Energie W L 2-fach Aufspaltung durch Kopplung an die Elektronen des Nachbar-Atoms Energie-niveau des freien Atoms K

Energie der Elektronen im Helium Kristall aus vier Zellen Energie W L 4-fach Aufspaltung durch Kopplung an 4 Atome im Kristallgitter Energie-niveau des freien Atoms K

Elektronen Dichte Wellen im Helium Kristall aus vier Zellen Energie W L Wellenzahl n Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen 5,6,7,8 Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen: Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen Kristall aus He-Atomen Kristall aus Li-Atomen Besetzung mit Atomen Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen 5,6,7,8

Energie der Elektronen im freien Li-Atom Energie W L K

Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen 8 Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Energie W 7 L 6 5 Wellenzahl n Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen „Energetisch optimiert“ 8 Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Energie W 7 L 6 5 Wellenzahl n Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Freie Energieniveaus im Lithium Kristall aus vier Zellen 8 Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Energie W 7 Diese Elektronen können Energie aufnehmen: metallische Leitung L 6 5 Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt 4 3 K 2 1

Bei vielen Zellen bilden die N (Anzahl der Zellen) Niveaus praktisch ein Kontinuum Energie W n=2 n=1

Zusammenfassung In dicht gepackten Kristallen erscheinen die Valenzelektronen aufgrund ihrer dichten Packung als quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ Elektronen sind Fermionen: Jeder Zustand kann nur einmal vergeben werden Ein „Band“ enthält 2 N Zustände, N ist die Anzahl der Elementarzellen im Kristall

finis Energie W n=2 n=1