Das Allgemeine Lineare Modell (ALM) Gliederung Begriff Verschiedene Arten von Variablen Verschiedene statistische Verfahren Grundannahmen des ALM 04_alm 1

Das Allgemeine Lineare Modell (ALM) bzw. The „General Linear Model“ (GLM) „Allgemein“: Varianzanalyse (ANOVA = „Analysis of Variance“) und Regression „Linear“: Modellgleichung entspricht einer Geraden (Lineare Regression)  eine übergeordnete Darstellungsform für verschiedene statistische Verfahren 04_alm 2

Unabhängige Variablen (UV = Prädiktor): x1, x2,…, xp Variablen im ALM Unabhängige Variablen (UV = Prädiktor): x1, x2,…, xp Anzahl der UVn (eine vs. mehrere)? ein- oder mehrfaktorielle ANOVA einfache oder multiple Regression Skalenniveau (Nominal vs. Intervall)? ANOVA mit „festen Effekten“ vs. mit „Zufallseffekten“ Logistische vs. Lineare Regression Abhängige Variablen (AV = Kriterium): y Anzahl der AVn? univariate vs. multivariate Analyse Chi² vs. ANOVA 04_alm 3

Verschiedene Verfahren im ALM Unterschiede zwischen Gruppen erklären?  Varianzanalyse (ANOVA) Vorhersage der abhängige Variable?  Regressionsanalyse 04_alm 4

Übersicht ANOVA 04_alm 5

Übersicht ANOVA 04_alm 6

Grundannahme des ALM Grundannahmen des ALM Der beobachtete Wert einer Versuchsperson in der abhängigen Variable setzt sich zusammen aus: dem Gesamtmittelwert einer Summe von gewichteten Werten der unabhängigen Variablen einem individuellen „Fehler“ 04_alm 7

yi = a0 a1 ap xi0 xi1 xip + ei · + · + … + · UVn Grundannahmen des ALM · + · + … + · Individueller Wert der AV von Person i Gewichte Fehler 04_alm 8

xi0 xi1 xip a0 a1 ap yi = + ei · + · + … + · Grundannahmen des ALM Individueller Wert der AV von Person i „Fehler“ + ei · + · + … + · UVn ANOVA: Indikatorvariablen / Faktoren Regression: Prädiktoren Gewichte ANOVA: Effekte Regression: Koeffizienten 04_alm 9

Beispiel: Gedächtnistest 10 Versuchsteilnehmer bearbeiten eine Wortliste UV/Faktor: Instruktion 5 Vpn: Konsonanten zählen (strukturelle Verarbeitung) 5 Vpn: bildlich vorstellen (bildhafte Verarbeitung) „ein Faktor mit zwei Stufen“ Freie Reproduktion AV: Anzahl der reproduzierten Wörter 04_alm 10

A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 Gesamtmittelwert A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 y32 = 8 y41 = 4 y42 = 10 y51 = 6 y52 = 13 Vorhersage aufgrund des Gesamtmittelwerts: 04_alm 11

Effekt in der Stichprobe: Effekte Der Effekt ist die Abweichung eines Gruppenmittelwerts vom Gesamtmittelwert. Effekt in der Stichprobe: Effekt in der Population: 04_alm 12

A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 Effekte A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 y32 = 8 y41 = 4 y42 = 10 y51 = 6 y52 = 13 Erweiterte Vorhersage: 04_alm 13

A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 Fehlerkomponenten A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 y32 = 8 y41 = 4 y42 = 10 y51 = 6 y52 = 13 y11 = 7.5 – 2.5 + 0 y21 = 7.5 – 2.5 + 2 y31 = 7.5 – 2.5 + (-2) y41 = 7.5 – 2.5 + (-1) y51 = 7.5 – 2.5 + 1 y12 = 7.5 + 2.5 + 2 y22 = 7.5 + 2.5 + (-3) y32 = 7.5 + 2.5 + (-2) y42 = 7.5 + 2.5 + 0 y52 = 7.5 + 2.5 + 3 04_alm 14

A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 Ein lineares Modell yij = a0 · xi0 + a1 · xi1 + a2 · xi2 + ei A1: strukturell A2: bildhaft y11 = 5 y12 = 12 y21 = 7 y22 = 7 y31 = 3 y32 = 8 y41 = 4 y42 = 10 y51 = 6 y52 = 13 5 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 0 7 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 2 3 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + (-2) 4 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + (-1) 6 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 1 12 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 2 7 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + (-3) 8 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + (-2) 10 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 0 13 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 3 04_alm 15

Das ALM in der Matrizendarstellung Y = X · a + e 5 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 0 7 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 2 3 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + (-2) 4 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + (-1) 6 = 7.5·1 + (-2.5)·1 + 2.5·0 + 1 12 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 2 7 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + (-3) 8 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + (-2) 10 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 0 13 = 7.5·1 + (-2.5)·0 + 2.5·1 + 3  04_alm 16

Das ALM in der Matrizendarstellung Daten (AV) Fehler Designmatrix (Indikatorvariablen) Effekte 04_alm 17

Das ALM in der Matrizendarstellung Y = X · a + e 04_alm 18

yi = a0·xi0 + a1·xi1 + …. ap·xip + ei ALM Zusammenfassung Grundannahme: Beobachteter Wert setzt sich zusammen aus einer gewichteten Summe von Variablen und einem Fehlerterm. Regression: Gewicht und Prädiktoren ANOVA: Effekte und Indikatorvariablen yi = a0·xi0 + a1·xi1 + …. ap·xip + ei Y = X · a + e 04_alm 19