Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/

Zeit für einen Algorithmus David Deutschs Algorithmus Setup: Input ist Black Box Funktion f:{0,1} {0, 1} unbekannt (ist die Eingabe) Zugriff: Lese f(0), Lese f(1) Entweder f(0)=f(1) oder f(0) f(1) Problem: Entscheide, welcher Fall

Deutschs Problem Wieviele Fragen müssen gestellt werden? Klassische deterministische Algorithmen ohne Fehler müssen f(0) und f(1) lesen. Randomisierte Algorithmen mit 1 Frage haben Fehlerwahrscheinlichkeit 1/2

Quantenfragen Randomisierte Fragen: Ws verteilung auf 0 oder 1 (Frage f(0) mit Ws. p und f(1) mit 1-p) Quanten Frage: Superposition Notwendig: Frage als unitäre Operation! Definition der Frageoperation: U f |i i |a i =|i i |a © f(i) i für alle i,a 2 {0,1}; © ist XOR Operation: 0 © 0=0; 0 © 1=1; 1 © 1=0 Damit ist U f auf allen Basiszuständen definiert ) U f vollständig definiert

Erste Idee: Parallele Berechnung U f : Frage an ein f-Orakel Zwei Qubits (H ­ I) |00 i I: Identität =1/2 1/2 (|00 i +|10 i ) Wende U f an Ergebnis 1/2 1/2 ( |0,f(0) i + |1,f(1) i ) Was nun?

Deutschs Algorithmus Etwas anderer Ansatz Starte mit |01 i Wende H ­ H an Ergebnis: 1/2 (|0 i +|1 i ) ­ (|0 i -|1 i ) Wende U f an Ergebnis: 1/2 ( |0,f(0) i -|0,f(0) © 1 i +|1,f(1) i -|1,f(1) © 1 i )

Deutschs Algorithmus Idee für Analyse: Effekt U f auf |x i­ 1/2 1/2 (|0 i - |1 i ): ergibt (-1) f(x) |x i ­ 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) Denn U f |0 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i ) = |0 i ­ 1/2 1/2 ( |f(0) i -|f(0) © 1 i ) = (-1) f(0) |0 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i )

Deutschs Algorithmus U f |1 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i ) = |1 i ­ 1/2 1/2 ( |f(1) i -|f(1) © 1 i ) = (-1) f(1) |1 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i ) Zweites Qubit ist nur zur Hilfe.... und kann jetzt vergessen werden

Deutschs Algorithmus Wende Hadamard an (auf verbleibendem Qubit) Zustand vorher: f(0) = f(1): § 1/2 1/2 (|0 i +|1 i ) f(0) f(1): § 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) Fall 1: f(0)=f(1): H § 1/2 1/2 (|0 i +|1 i ) = § |0 i Fall 2: f(0) F(1): H § 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) = § |1 i Messung unterscheidet Fälle sicher

Deutsch Algorithmus H UfUf H |0 i |1 i Messung H

Quantenschaltkreise Schaltkreise auf n Qubits, unitäre Transformationen als Boxen

Deutsch-Josza Algorithmus f:{0,1} n {0,1} Ist f balanciert (50% 0, 50 % 1) oder konstant? Annahme: einer der beiden Fälle, ansonsten Ausgabe egal Quantenalgorithmus : 1 Frage Deterministisch: 2 n /2+1 Fragen! Warum? Lege f abhängig von den Fragen eines Algorithmus fest, f(x 1 )=0,...,f(x l )=0 Bis l > 2 n /2 keine korrekte Entscheidung möglich Algorithmus funktioniert für f nicht Adversary Argument

Deutsch Josza Algorithmus H UfUf H ­ n |0 i n |1 i Messung H ­ n nnn

Hadamard Transformation Dabei sind x,z 2 {0,1} n und x ¢ z= x i z i x fest, H ­ n |x i = 1/2 n/2 (|0 i +(-1) x(1) |1 i ) ­ ­ (|0 i +(-1) x(n) |1 i )

U f Gatter/Black Box U f |x i |a i =|x i |a © f(x) i für alle x 2 {0,1} n,a 2 {0,1} f:{0,1} n ! {0,1} U f so vollständig definiert (durch Linearität) reversibel auf klassischen Eingaben ) unitär © ist XOR Operation: 0 © 0=0; 0 © 1=1; 1 © 1=0

Deutsch Josza Algorithmus n Qubits im Zustand |0 n i 1 Qubit im Zustand |1 i Wende H ­ n+1 an, dann U f Ergebnis: Wende H ­ n an und messe Ergebnis: 0 n iff f ist konstant

Deutsch Josza Dann Hadamard Transformation auf n Qubits Amplitude von |0 n i : f konstant ) § 1 f balanciert ) 0

Bemerkungen Deutsch Josza Problem kann effizient durch randomisierten Algorithmus mit Fehler gelöst werden (später finden wir bessere Beispiele von Quantenalgorithmen)

Deutsch-Josza Algorithmus Deterministisch: 2 n /2+1 Fragen Quantum: 1 Frage, O(n) Gatter (lokale Transformationen), kein Fehler Randomisierte Algorithmen sind ebenfalls effizient, aber nur mit Fehler

Mehr über Messungen (I) Etwas lineare Algebra: Vektorraum V (dim d) Unterräume: U µ V und U ist selbst Vektorraum (dim e < d) Es gibt orthonormale Basis: v 1,...,v e,...,v d, span(v 1,...,v e )=U Projektion auf einen Unterraum U: P U = i=1...e | v i ih v i | Beispiel: Projektor P=|v 1 ih v 1 | P |v 1 i = |v 1 ih v 1 | v 1 i = |v 1 i P ( |v 1 i + |v 2 i )= |v 1 i + |v 1 ih v 1 | v 2 i = |v 1 i

Messungen (II) A ? B iff v ? w für alle v 2 A, w 2 B A © B=V iff A ? B und für alle v 2 V: v = u + w, u 2 A, w 2 B, k u k, k v k = 1, | | 2 + | | 2 = k v k 2

Messungen (III) Hilbertraum V, dim k Observable: System l · k Unterräume S 0,...,S l-1, paarweise orthogonal S 0 © © S l-1 = V Ws des Messergebnisses i ist k Proj(S i ) | i k 2 Zustand | i kollabiert zu Proj(S i ) | i / k Proj(S i ) | ik (renormalisiert) Observable entspricht einem Messinstrument

Messungen Hilbertraum: Register Vektoren: Zustände Unitäre Transformation: Evolution der Zustände/Berechnung Observable: Messinstrument Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Unterräumen/Index der Unterräume: (probabilistisches) Messergebnis Projizierter und normalisierter Vektor: verbleibender Zustand Messergebnisse sind die einzige Möglichkeit, klassische Information aus der Berechnung zu erhalten!

Messungen: Beispiel Zwei Qubits C 4 Observable: S 0 =span(|00 i,|01 i ) S 1 =span(|10 i,|11 i ) S 0 ? S 1 Observable entspricht Messung des ersten Qubits

Messung EPR-Paar Zustand 1/2 1/2 ¢ (|00 i +|11 i ) Messe erstes Qubit Resultat: Wenn 0 gemessen wird, kollabiert Zustand zu |00 i Wenn 1 gemessen wird |11 i Jeder Fall mit Ws. ½ Kollaps von Qubit 2 instantan nach Messung Qubit 1 Sind die Qubits räumlich getrennt, dann verhalten sich Messergebnisse trotzdem wie perfekt korrelierte Münzwürfe