Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05 Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05

Organisatorisches Vorlesung: Mi. 14-16 c.t. Übung: Fr. 16-17 (ab 29.10.) Schein: Fachgespräch Zuordnung T2,T3 Voraussetzung: Vordiplom (Informatik, Mathematik oder Physik) Website: www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/~klauck/QC04.html

Literatur Nielsen/Chuang: Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge) Ebenfalls empfohlen (online): John Preskill's lecture notes Umesh Vazirani's course

Warum Quantum Computing? Quantenmechanik: physikalische Theorie (vor allem) der mikroskopischen Welt Moore’s Law: Alle ... (18 Mon?) verdoppelt sich die Rechenleistung/Anzahl der Transistoren pro mm2 Grenze: 1 Transistor pro Elektron Quantenmechanische Effekte ! (binnen <20 Jahren)

Warum Quantum Computing? Hitzeentwicklung in integrierten Schaltungen: “Löschen” von Information nur möglich durch Abstrahlen von Wärme ) Reversible Berechnungen! Quantenberechnungen sind reversibel

Warum Quantum Computing? Können Quanteneffekte sogar nützlich sein? Es gibt einen Quantenalgorithmus, der ganze Zahlen in polynomieller Zeit in Primfaktoren zerlegt, und so das RSA Kryptoverfahren bricht Es gibt Quantenkryptographische Verfahren, die sicher sind (unter der Annahme, dass QM korrekt ist)

Weitere Gründe Landauer: Information is physical Computation is physical Quantenmechanik ist ein Berechnungsmodell

Quantenmechanik

Quantenmechanik Selber Ausgang des Experimentes, wenn einzelne Elektronen/Photonen ausgestossen werden ) Wellenverhalten nicht bloss “statistisch”

Quantenmechanik

Historisches Entwicklung der Quantenmechanik: Planck 1900, Schrödinger, Heisenberg, Bohr, Einstein..... von Neumann’s Formalismus 1935: Einstein, Podolsky, Rosen beschreiben quantenmech. “Verschränkung” (entanglement) heute bestbestätigte physikalische Theorie

(Quanten) Informatik 1936: Turing schlägt universelle Berechnungsmaschine vor (Church Turing These) 1948 Shannon’s Informationstheorie 1965 Moore’s Law 1982: Feynman beobachtet, dass Quantensysteme nicht effizient auf klassischen Computern simulierbar sind, schlägt quantenmechanische Computer 1982 Wiesner: Quantenkryptographie

Quanten Informatik 1985 Deutsch: erster Quantenalgorithmus 1993 Quantum Teleportation 1994 Shor: Quantenalgorithmus zum Faktorisieren ganzer Zahlen 1996 Grovers Algorithmus: unsortierte Datenbank mit n Elementen kann Zeit durchsucht werden

Qubits Quantenmechanik ist eine Theorie von Zuständen und Transformationen Zustände: Vektoren Bits: 0 oder 1, in einem Register Zugeordnete Zustände |0i, |1i Beispiele: Weg eines Elektrons im Doppelschlitzexperiment, Polarisation Photon Quantenzustände:  |0i+ |1i, ||2 +||2=1

Qubits (II) |0i, |1i Basisvektoren im 2-dimensionalen komplexen Vektorraum C2 Qubits:  |0i+ |1i, ||2 +||2=1 ,: Amplituden Einheitsvektoren (euklidische Norm) Vergleich: Wahrscheinlichkeitsverteilungen: 0 mit Ws. p, 1 mit Ws. 1-p ) Einheitsvektoren 1-Norm Qubits: , sind (komplexe) Zahlen, möglich. negativ! Quadrate ergeben Ws. Verteilung

Quantenformalismus Quantenzustände sind Vektoren in einem Hilbertraum (Vektorraum mit innerem Produkt) Hilbertraum entspricht Qubit Register Hilbertraum hier: Ck mit Standardprodukt h (vi) | (wi) i =i=1…k vi*wi x*: komplex konjugierte Zahl

Dirac Notation h  | “BRA” Zeilen Vektor |  i “KET” (Spalten) Vektor h  |  i inneres Produkt (Produkt von Zeilenvektor und Spaltenvektor)

Mehrere Qubits Hilbertraum: Dimension 2k D.h. 2k Basisvektoren Notation |ii, i=1,...,2k Einheitsvektoren (Zustände) sind von der Form i i |ii; i=1....2k Alternativ: identifiziere i=1...2k mit x2{0,1}k Basiszustände |xi, x2 {0,1}k Basiszustände entsprechen klassischen Belegungen des “Registers” Allgemeine Zustände sind “Superposition” von 2k Strings

Tensorprodukt Hilberträume H, K, Dimension dH und dK Tensorprodukt H­K ist Raum der Dimension dH¢dK Tensorprodukt von Vektoren: (a1,..., al) ­ (b1,...,br)= (a1b1,a1b2,...,a1br,a2 b1,......,albr) Beispiel: |0i = (10)T; |1i= (01)T und |01i= |0i­|1i = (0100)T Basiszustände von H­K: |xi ­ |yi =|xyi

Was geschieht man mit Qubits? Quantensysteme evolvieren gemäss der Schrödinger Gleichung Ergebnis: Quantentransformation; entspricht unitärer Transformation auf Zuständen

Lineare Algebra Transformation in QM: unitäre Abbildung (reversibel) Lineare Abbildungen A(x+y)=Ax+Ay x,y: Vektoren in Ck, A: k £ k Matrix Reelle Zahlen: Abbildungen O orthogonal, wenn OOT=I komplexe Zahlen: U unitär, wenn UUy =I U*: Einträge komplex konjugiert Uy = (U*)T unitäre Abbildungen bewahren die Länge von Vektoren (bilden Zustände auf Zustände ab) Transformation in QM: unitäre Abbildung (reversibel)

Beispiel unitäre Transf. Auf einem Qubit: klassische Transformationen: Identität, Negation Hadamard Transformation:

Beispiel Transformation

Beispiel Transformation

Beispiel Transformation

Unitäre Transformationen U |xi definiert für alle x2 {0,1}k ) U definiert Tensorprodukt: A ­ B= Beispiel: H­n=H­  ­H: n-faches Produkt von H, Hadamard Transformation auf n Qubits H­n ( |0i )­n = ( H|0i )­n

Messungen Quantenzustände (Vektoren in Ck) werden durch unitäre Abbildungen transformiert Wie bekommt man eine Ausgabe in einer Berechnung? “Messe” i i |ii Ergebnis: i mit Wahrscheinlichkeit |i|2 i |i2|=1 Nach der Messung ist der Zustand zu |ii “kollabiert”, wenn Ausgabe i beobachtet Messprozess ist “Postulat” wie unitäre Entwicklung

Zusammenfassung Zustände: Einheitsvektoren in Hilbertraum, log Dimension entspricht Anzahl Qubits Superposition der Strings Länge k ergibt ein Register mit k Qubits, Hilbertraum dim 2k Evolution: unitäre Transformation Messung:  i |ii ergibt Ausgabe i mit Ws |i|2, Zustand kollabiert zu |ii bei Ausgabe i

Quanteninformatik Jede lokale unitäre Transformation ist berechenbar (auf 2 Qubits) Globale Transformation aus lokalen zusammensetzen (Quanten Schaltkreise)

Zeit für einen Algorithmus David Deutsch s Algorithmus Setup: Input ist Black Box Funktion f:{0,1}  {0, 1} unbekannt (Eingabe) Zugriff: Lese f(0), f(1) Entweder f(0)=f(1) oder f(0)  f(1) Problem: Welcher Fall?

Deutschs Problem Zugriff f:{0,1}{0,1} durch Lesen von f(0) oder f(1) klassische deterministische Algorithmen ohne Fehler müssen f(0) und f(1) lesen. Randomisierte Algorithmen mit 1 Frage haben Fehlerwahrscheinlichkeit 1/2

Quantenfragen randomisierte Fragen: Ws verteilung auf 0 oder 1 Quanten Frage: Superposition Notwendig: unitäre Operation! Uf |ii|ai=|ii|a© f(i) für alle i,a2{0,1}; © ist XOR Operation: 0©0=0; 0©1=1; 1©1=0 Uf auf allen Basiszuständen definiert ) Uf definiert

Idee “Parallele” Berechnung Uf: Frage an das f-Orakel Zwei Qubits (H ­ I) |00i I: Identität =1/21/2 (|00i+|10i) Wende Uf an Ergebnis 1/21/2 ( |0,f(0)i+|1,f(1)i ) f:{0,1}n {0,1}: wende Uf H­n an Ergebnis:

“Parallele” Berechnung Was kann man mit diesem Zustand anfangen? Messung ergibt nur uniforme Verteilung auf x,f(x)

Deutschs Algorithmus Starte mit |01i Wende H ­ H an Ergebnis: 1/2 (|0i +|1i)­(|0i -|1i) Wende Uf an Ergebnis: 1/2 ( |0,f(0)i-|0,f(0)©1i+|1,f(1)i-|1,f(1)©1i )

Deutschs Algorithmus Idee für Analyse: Effekt Uf auf |xi­ 1/21/2(|0i-1i): (-1)f(x) |xi ­ 1/21/2(|0i-|1i) Uf |0i ­ 1/21/2( |0i-|1i ) = |0i ­ 1/21/2 ( |f(0)i -|f(0) © 1i ) = (-1)f(0) |0i ­ 1/21/2( |0i-|1i)

Deutschs Algorithmus Idee für Analyse: Effekt Uf auf |xi­ 1/21/2(|0i-1i): (-1)f(x) |xi ­ 1/21/2(|0i-|1i) Uf |1i ­ 1/21/2( |0i-|1i ) = |1i ­ 1/21/2 ( |f(1)i -|f(1) © 1i ) = (-1)f(1) |1i ­ 1/21/2( |0i-|1i) Zweites Qubit ist nur zur Hilfe.... und kann jetzt vergessen werden

Deutschs Algorithmus Wende Hadamard an (auf verbleibendem Qubit) Zustand vorher: f(0) = f(1): § 1/21/2 (|0i+|1i) f(0)  f(1): § 1/21/2 (|0i-|1i) Fall 1: f(0)=f(1): H § 1/21/2 (|0i+|1i) = § |0i Fall 2: f(0) F(1): H § 1/21/2 (|0i-|1i) = § |1i Messung unterscheidet Fälle sicher

Deutsch Algorithmus H Uf H |0i Messung H |1i

Deutsch-Josza Algorithmus f:{0,1}n  {0,1} Ist f balanciert (50% 0, 50 % 1) oder konstant? Annahme: einer der beiden Fälle, ansonsten Ausgabe egal Quantum : 1 Frage Deterministisch: 2n/2+1 Fragen! Warum? Lege f abhängig von den Fragen eines Algorithmus’ fest, f(x1)=0,...,f(xl)=0 Bis l > 2n/2 keine korrekte Entscheidung möglich Algorithmus funktioniert für f nicht “Adversary Argument”

Deutsch Josza Algorithmus n Qubits im Zustand |0ni 1 Qubits im Zustand |1i Wende H­n+1 an, dann Uf Ergebnis: Wende H­n an und messe Ergebnis: 0n iff f ist konstant

Diskussion Deterministisch: 2n/2+1 Fragen Quantum: 1 Frage, O(n) Gatter (lokale Transformationen), kein Fehler Randomisierte Algorithmen sind ebenfalls effizient, aber nur mit Fehler