Technische Universität Dresden 1 Grundpraktikum WS 04/05 Weight-Constrained Shortes Path : Teil 1 : Preprocessing Praktikanten : Hao Li & Tingting Wang.

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1 Technische Universität Dresden 1 Grundpraktikum WS 04/05 Weight-Constrained Shortes Path : Teil 1 : Preprocessing Praktikanten : Hao Li & Tingting Wang Betreuer : Dr. Gleb Belov

2 Technische Universität Dresden 2 Überblick Problemstellung Preprocessing Algorithmus Ergebnis

3 Technische Universität Dresden 3Motivation Problem der kürzesten Wege Stadt 1 Stadt 3 Stadt 2 25 30 70 Problem der kürzesten Wege unter Ressourcenrestiktion ( RCSPP) 2h2h 3 h 4 h Anzahl der Ressourcenarten = 1 Weight Constained Shortest Path Problem Fahrtzeit <=4

4 Technische Universität Dresden 4 Teil I: Problemstellung Allgemeine Beschreibung des WCSPP Gegeben: Graph G = G (V, A) gerichtet, schleifefrei c ij : Kosten auf dem Bogen (i,j) w ij : Ressourcenverbrauch auf dem Bogen (i,j) W : maximale verfügbare Ressourcenmengen Gesucht: einen zulässigen Weg P = (i 0, i 1,..., i p ) d.h. den kürzesten Weg bezüglich der Kosten, auf dem maximal W Einheiten der Ressourcen konsumiert werden

5 Technische Universität Dresden 5 Teil I: Problemstellung WCSPP ( in Standform) : bei

6 Technische Universität Dresden 6 Komplette Preprocessing Methode zur Graphenreduzierung! Teil II: Preprocessing Algorithmus

7 Technische Universität Dresden 7 Teil II: Preprocessing Algorithmus Ablauf des Algorithmus Schritt 0 : Bestimmung von oberer Kostenschranke U; und setze die untere Schranke L=0 ein. Schritt 1 : Finde kürzesten Weg bezüglich Kosten. (Algorithmus von Dijkstra) Schritt 2 : Finde kürzesten Weg bezüglich Ressourcenverbrauch. Schritt 3 : Graphenreduzierung

8 Technische Universität Dresden 8 Ablauf des Algorithmus anhand eines Beispiel Teil II: Preprocessing Algorithmus

9 Technische Universität Dresden 9 (2, 5) (1, 3) (4, 3) (2, 4) (3, 3) (2, 2) (4, 2) (3, 4) V1V1 V2V2 V3V3 V4V4 V5V5 V6V6 KostenRessourcen Beispiel : Graph mit 6 Knoten und W = 8

10 Technische Universität Dresden 10 Bestimmung der oberen und untere Schranke für die Kosten U 0 = max Ca * ( V -1) +1 = 4 * (5 -1) +1 = 17 Wir setzen U = U 0 = 17 L = 0 4 4 Schritt 0 :

11 Technische Universität Dresden 11 Finde kürzeste Wege von V 1 nach allen Knoten ohne Berücksichtigung der Ressourcenrestriktion mittels Algorithmus von Dijkstra Bezeichnung : Summe der Kosten auf dem Weg Schritt 1 : z.B.

12 Technische Universität Dresden 12 Knoten Vi (S= V 1 ) V2V2 1 V3V3 3 V4V4 3 V5V5 5 V6V6 7 Der Algorithmus von Dijkstra liefert uns : Schritt 1 (Forts.) :

13 Technische Universität Dresden 13 * hier : Überprüfe, ob optimal ist. Schritt 1 (Forts.) : ja Nein * Optimale Lösung gefunden !! weiter suchen

14 Technische Universität Dresden 14 Finde kürzeste Wege von allen Knoten nach Endknoten t (=V 6 ) ohne Beachtung der Ressourcenrestriktion ( Dijkstra) Schritt 1 (Forts.): Knoten Vi ( t = V 6 ) V1V1 7 V2V2 6 V3V3 5 V4V4 4 V5V5 3

15 Technische Universität Dresden 15 Finde kürzeste Wege von V 1 nach allen Knoten nun bezüglich Ressourcenverbrauch (ebenfalls Dijkstra ) Bezeichnung : Gesamte Menge der Ressourcenverbrauche auf dem Weg Schritt 2 : Hier gilt Kostenoberschrank zu verbessern

16 Technische Universität Dresden 16 Untersuche die Optimalität des (zulässigen) Weges Finde kürzeste Wege von allen Knoten nach V 6 bezüglich Ressourcenverbrauch (ebenfalls Dijkstra ) Schritt 2 (Forts.) :

17 Technische Universität Dresden 17 Nachprüfen, ob wenn ja, den Knoten V i und alle mit dem inzidenten Bögen zu entfernen !! Schritt 3 : Reduzieren des Graphen Ressourcen V2V2 3710 V3V3 358 V4V4 628 V5V5 549

18 Technische Universität Dresden 18 (2, 5) (1, 3) (4, 3) (2, 4) (3, 3) (2, 2) (4, 2) (3, 4) V1V1 V2V2 V3V3 V4V4 V5V5 V6V6 Schritt 3 (Forts.) : Optimale Lösung gefunden !!!

19 Technische Universität Dresden 19 Teil III: Preprocessing Ergebnis Ergebnis für Road_graph_small.txt :

20 Technische Universität Dresden 20 Teil III: Preprocessing Ergebnis Ergebnis für die ersten 10 Knoten

21 Technische Universität Dresden 21 Teil III: Preprocessing Ergebnis Ergebnis für das gesamte Testdatei

22 Technische Universität Dresden 22 Ende !!! Danke für Ihre Aufmerksamkeit ! *^_^*