Fragen Kraft (Boden) im Einbeinstand Kraft (Sprunggelenk) im Zehenstand auf einem Bein Kraft (Achillessehne) im Zehenstand auf einem Bein Kraft (Hüftgelenk) im Einbeinstand Kraft (Ellbogen) beim horizontalen Halten eine Masse von 10 kg

Allgemeine Biomechanik Force System Analysis Benno M. Nigg University of Calgary 2006

Biomechanik Studiert Kräfte am und im menschlichen Körper und Effekte, die durch diese Kräfte erzeugt werden

Reaktionen biologischer Systeme z.B. stärkere Fasern und Materialien mechanisch Beschleunigung F = m · a Deformation F = k · Dx Bruch / Riss

Force System Analysis FSA Viele Möglichkeiten, mechanische Probleme zu lösen. FSA ist eine Möglichkeit. • systematisch • allgemein anwendbar

Force System Analysis FSA Ziel: das mechanische Verhalten eines biologischen Systems zu verstehen Prozess: (1) Definiere das System (2) Annahmen (3) Free Body Diagram (Freikörperdiagramm) (4) Bewegungsgleichungen (5) Berechnung der Unbekannten

Das System (system of interest) Vorgehen (1) Sketch Aufteilen in zwei Teile Teilen wo Kraft gesucht ist System ist einer der beiden Teile Mechanisches System für biomechanische Anwendungen Struktur and welcher die gesuchte Kraft als äussere Kraft wirkt

Kraft im rechten Hüftgelenk beim Laufen Beispiel Gesucht: Kraft im rechten Hüftgelenk beim Laufen (a) (b) (c) (d) Verschiedene Möglichkeiten

Annahmen 1-dim, 2-dim oder 3-dim Kräfte die eingeschlossen werden Grösse und Richtung der Kräfte Materialeigenschaften Strukturdaten Andere wichtige Annahmen

Free Body Diagram Das Free Body Diagram, FBD, besteht aus: • Sketch des Systems • Alle äusseren Kräfte und Momente, die am System angreifen • Koordinatensystem

Sketch Zeichne schematisch das System Nichts anderes!!!! Beispiel System = Fuss Zeichne nur den Fuss (ohne Boden und Bein) Wichtigste Aspekte

Äussere Kräfte und Momente Distanzkräfte Gravitation Elektrische Magnetische Kontaktkräfte Gelenkskraft Sehnenkraft Bandkraft Kontakt mit Umwelt Luftwiederstand

Resultierende Kräfte Fres Resultierende Kraft  Summe von verschiedenen Kräften Beispiele: • Körpergewicht • Bodenreaktionskraft

Koordinatensystem Ein Koordinatensystem muss eingeschlossen werden um die positiven Achsenrichtungen zu definieren y x

Beispiele Zeichne das FBD, welches gebraucht werden kann um die Kraft in der Achillessehen beim einbeinigen Zehenstand zu bestimmen FBD um die Kraft im Ellbogengelenk beim Halten einer Masse in der Hand • System • Annahmen • Sketch • Koordinatensystem

Newton (angepasst) Die Summe aller Kräfte, die an einem System angreifen (= resultierende Kraft) ist gleich dem Produkt von Masse und Beschleunigung des Schwerpunktes des Systems SFi = Fres = m · aKSP

Newton (angepasst) Die Summe aller Momente, die an einem System wirken (= resultierendes Moment) ist gleich dem Produkt des Trägheitsmomentes und der Winkelbeschleunigung bezüglich einer Achse durch den KSP. SMiCM = MresCM = Izz · aCM

Bewegungsgleichungen 2-d Mit Änderung des Bewegungszustandes SFx = mSI · aSIx SFy = mSI · aSIy SMCMz = Izz · az Ohne Änderung des Bewegungszustandes SFx = 0 SFy = 0 SMCMz = 0

Bewegungsgleichungen 2-d mSI = Masse des Systems Fx = Kraft in x-Achsenrichtung aSIx = Beschleuningung des Schwerpunktes des Systems in x-Achsenrichtung MCMz = Moment bezüglich der z-Achse durch den Schwerpunkt des Systems Izz = Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse durch den Schwerpunkt des Systems az = Winkelbeschleuningung bezüglich der z-Achse durch den Schwerpunkt des Systems

Beispiel Frage: Bestimme die Kraft in der Achillessehne wenn eine Person auf einem Bein im Zehenstand steht System: Fuss

Kraft in Achillessehne Annahmen: • 2-dim • Fuss starr • Gewicht Fuss vernachlässigt • Äussere Kräfte: Bodenreaktionskraft Kraft im Sprunggelenk Kraft in Achillessehne • Alle Kräfte in vertikaler Richtung

Kraft in Achillessehne y x Free Body Diagram Annahmen a = Distanz FA - Gelenk a = 5 cm b = Distanz FG - Gelenk b = 20 cm FG = 1000 N FJ FA b a FG

Kraft in Achillessehne Bewegungsgleichungen: Translation FA + FG + FJ = 0 (1) Rotation - b · FG + a · FA = 0 (2) Lösung (von Gleichung 2): FA = ( ) · FG b –– a Numerische Lösung FA = 4 · FG = 4 · Körpergewicht = 4000 N

Kraft im Gelenk Bewegungsgleichungen: Translation FA + FG + FJ = 0 (1) Rotation b · FG - a · FA = 0 (2) FA = ( ) · FG b –– a Negatives Vorzeichen: Kraft in entgegengesetzter Richtung als gezeichnet FJ = - FA - FG a + b FJ = - FG = - 5 FG = - 5000 N = - 5 BW a

Kraft im Ellbogengelenk Frage: Kraft im Ellbogengelenk. Oberarm vertikal. Unterarm und Hand horizontal. Masse von 10 kg in Hand System: Unterarm und Hand

Kraft im Ellbogengelenk Annahmen: • 2-dim • Unterarm und Hand ein starrer Körper • Masse Unterarm mA = 2 kg • Masse in Hand mW = 10 kg • äussere Kräfte FW = Gewicht der Masse in der Hand FA = Gewicht Unterarm und Hand FM = Muskelkraft Bizeps FJ = Kraft Ellbogengelenk

Kraft im Ellbogengelenk Annahmen: • Alle Kräfte in vertikaler Richtung • a = Distanz Bizepskraft und Gelenkskraft • a = 10 cm • b = Distanz Gewicht Arm und Bizepskraft • b = 10 cm • c = Distanz Gewicht Hand und Bizepskraft • c = 20 cm

Kraft im Ellbogengelenk Annahmen: • FA = ( 0 N, - 20 N, 0 N ) • FW = ( 0 N, - 100 N, 0 N )

Kraft im Ellbogengelenk Free body diagram FJ FM FW FA a b c A M C D y x

Ellbogengelenk Translation SFy: FJ + FM + FA + FW = 0 (1) FG FA a b c A M C D Ellbogengelenk Bewegungsgleichungen Translation SFy: FJ + FM + FA + FW = 0 (1)

Ellbogengelenk Translation SFy: FJ + FM + FA + FW = 0 (1) c A M C D Ellbogengelenk Bewegungsgleichungen Translation SFy: FJ + FM + FA + FW = 0 (1) Rotation (Momente bezgl. Punkt M) SMM: + c · FW + b · FA - a · FJ = 0 (2) Punkt M unbekannte Muskelkraft wird eliminiert

Ellbogengelenk Gleichungssystem mit 2 Gleichungen 1 für Translation 1 für Rotation 2 Unbekannte FJ FM

Ellbogengelenk Lösung Gleichung (2) a · FJ = c · FW + b · FA

Ellbogengelenk Gleichung (1) FJ + FM + FA + FW = 0 FM = - FA - FW - FJ (3) in (4) FM = - FA - FW - ( ) [ c · FW + b · FA ] 1 –– a FM = [ 1 + ( ) FW + [ 1 + ( ) ] FA c –– a b –– a

Ellbogengelenk Numerische Lösung FJ = - 220 N 1 –––– 0.1m FJ = { } · {0.2m · (-100N)+0.1m · (-20N)} FJ = - 220 N

Ellbogengelenk • Die Kraft im Ellbogengelenk ist 220 N. • Das Minuszeichen bedeutet dass die Kraft in entgegengesetzter Richtung zur eingezeichneten Kraft wirkt (negative y Richtung)

Allgemeine Regel Das Vorzeichen zeigt an, ob die eingezeichnete Kraft in der richtigen Richtung gezeichnet wurde

Free Body Diagram wirkliche Kräfte y x

Free Body Diagram F M W M F y x resultierende Kräfte res i(i+1) res

wirkliche & resultierende Kräfte Wirkliche Kraft FBD FaJ FaA y x z FaG

Annahmen 2-d Muskelkraft nur Achillessehne Alle Kräfte in vertikaler Richtung Gewicht des Fusses vernachlässigt a = 20 cm = Distanz Zehe bis Gelenk b = 5 cm = Distanz Achilles bis Gelenk Keine Reibung zwischen Schuh und Boden FG = ( 0N , BW , 0N )

Bewegungsgleichungen (wirklich) SFay = 0 FaG + FaJ + FaA = 0 SMaA = 0 +(a + b) FaG + b FaJ = 0

Gleichung (2) FaJ = - · FaG FaJ = - · FaG = - 5 FaG FaJ = - 5 BW FaJ = (0N, - 5 BW, 0N) a+b –––– b 25 (–––) 5

Resultierende Kraft FBD FrJy MrJ FrJx MrG y x z FrGx FrGy

Bewegungsgleichung Nur vertikale Komponente der Sprunggelenkskraft SFry = 0 FrGy + FrJy = 0 FrGy = - FrJy mit FrG = ( 0N, BW, 0N ) folglich FrJ = ( 0N, - BW, 0N )

Wirkliche und resultierende Kraft Kraft im Spunggelenk Wirkliche Kraft FaJ = - 5 BW Resultierende Kraft FrJ = - 1 BW Welche Kraft würde in Wirklichkeit gemessen?

Resultierender Ansatz Berechnung von Kräften in Gelenken, die weit weg vom Boden sind (z.B. Hüfte, Knie, ….) (1) unten anfangen (2) Segment um Segment (3) am interessierten Gelenk Kräfte und Momente verteilen.

M r 23 F W 2 21 y x z W 1 F r 12 M 10

Neue Kentnisse Force system analysis Innere Kräfte >> Äussere Kräfte Innere Kräfte = f (Hebelarme) KAchilles(stehen)  4 Körpergewicht KSprunggelenk(stehen)  5 Körpergewicht KGelenk-Fersenlandung << KGelenk-Vorfusslandung