Übungen zu Transportaufgaben Operations Research Übungen zu Transportaufgaben

Das Transportproblem Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen. Aufkommensorte Menge je Ort Bedarfsorte Bedarfsmenge je Ort Transportkosten von A nach B sind Menge von A nach B ist

Einführendes Beispiel Eine Fluggesellschaft verfügt über zwei Heimatflughäfen Wien und Innsbruck, mit Wien=4 Flugzeugen sowie Innsbruck=3 Flugzeugen. Sie soll für einen Reiseveranstalter Flugzeuge für die Flughäfen München und Frankfurt mit Franfurt=2 und München=2 Maschinen bereitstellen. Die Kosten (Sie orientieren sich an der Distanz – Faktor x 100km) für den Transport sind in folgender Kostenmatrix dargestellt:

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Anbieter Kosten/ Distanz Wien 7 4 Innsbruck 2 Frankfurt München 7 4 4 2

Beispiel Zusätzlicher Nachfrager mit 0 Kosten Anbieter Kosten/ Distanz Wien 7 4 Innsbruck 2 Frankfurt München Kosten Menge Anbieter 7 4 Wien 2 3 Innsbruck Frankfurt München fiktiver Flughafen Menge Nachfrager

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur reale Transporte 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 7 4 Wien 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen 1 Rest

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 7 4 Wien 1 Innsbruck 2 3 Frankfurt fiktiver Flughafen Menge

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 7 4 Wien 4 1 1 Innsbruck 2 3 Frankfurt fiktiver Flughafen 1 Rest

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 7 4 Wien 1 3 Frankfurt fiktiver Flughafen Menge

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 3 Rest Kosten Menge Anbieter 7 1 4 Wien 1 3 Frankfurt fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 3 Wien fiktiver Flughafen Menge

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 0 3 3 Wien fiktiver Flughafen 0 Rest

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung: Kosten Menge Anbieter 7 4 Wien 2 3 Innsbruck Frankfurt München fiktiver Flughafen Menge Z =?

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung: Kosten Menge Anbieter 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen Z =7x1+ 0x3+ 4x1+ 2x2= 15

Beispiel Suche nach dem optimalen Ergebnis Einführung von Potenzialen nach der MODI/Potenzialmethode. Für jedes Anbieter und für jeden Nachfrager werden die Potenziale u und v festgelegt. Kosten Menge Anbieter 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach ; Kosten Menge Anbieter 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach Es werden nur besetzte Felder herangezogen erstes besetztes Feld Kosten Menge Anbieter 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Transporttabelle nach Einführung der Potenziale mit der Formel: Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen Menge

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale mit Nur nichtbesetzte Felder Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale mit Nur nichtbesetzte Felder Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen Z =7x1+ 0x3+ 4x1+ 2x2= 15 Das Optimalitätskriterium ist noch nicht erfüllt, da eine Bewertungszahl noch positiv ist.

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Feld der höchsten positiven Bewertungszahl wird mit versehen. Streichen aller Zeilen und Spalten, die nur ein besetztes Feld aufweisen. Das Deltafeld wird mitgezählt. Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Feld der höchsten positiven Bewertungszahl wird mit versehen. Streichen aller Zeilen und Spalten, die nur ein besetztes Feld aufweisen. Das Deltafeld wird mitgezählt. Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen Spalte weist nur ein besetztes Feld auf

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler und in horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder) In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt. Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1 4 0 3 Wien 4 1 2 2 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler und in horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder) In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt. Kosten Menge Anbieter -2 -7 7 7 1- 4 0 3 Wien 4 1+ 2 2- 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen (1- ); (2- )  1 Dann in einsetzen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Einsetzen in Es sollten sich immer m+n-1=4 besetzte Felder ergeben Kosten Menge Anbieter 7 4 1 0 3 4 Wien 4 2 2 1 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Einfügen der neuen Potenziale und Bewertungszahlen Kosten Menge Anbieter 7 4 1 0 3 4 Wien 4 2 2 1 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Einfügen der neuen Potenziale und Bewertungszahlen Kosten Menge Anbieter -2 -6 6 7 4 1 0 3 4 Wien 4 2 2 1 3 Innsbruck 2 Frankfurt München fiktiver Flughafen Z =4x1+ 4x2+ 2x1+ 0x3= 14 Alle Bewertungszahlen sind neg.  Optimalitätskriterium

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Anbieter Kosten/ Distanz Wien 7 4 Innsbruck 2 Frankfurt München 2 Stück 1 Stück 1 Stück

Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf Grafische Darstellung der Lösung:

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen Gesamtbedarf Eine Molkereizentrale verfügt über zwei Lager L1, L2 mit l1=40l, l2=60l und hat zwei Abnehmer A1, A2 mit a1=70l und a2=50l. Die Kosten für den Transport sind in folgender Kostenmatrix dargestellt:

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf Gesamtaufkommen = 100l Gesamtbedarf = 120l Einführen eines fiktiven Anbieters L3 in Höhe der Differenz, also 20l mit Null Transportkosten. Kosten Menge Anbieter 3 4 40l Lager 1 2 6 60l Lager 2 20l Lager 3 70l 50l Abnehmer1 Abnehmer2

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl- anfangs nur echte Transporte 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 3 4 40l Lager 1 2 60 6 60l Lager 2 20l Lager 3 70l 50l Abnehmer1 Abnehmer2 10l Rest

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 30l Rest Kosten Menge Anbieter 3 10 4 40l Lager 1 20l Lager 3 10l 50l Abnehmer1 Abnehmer2

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 4 30 30l Lager 1 20l Lager 3 50l Abnehmer2 20l Rest

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Kosten Menge Anbieter 0 20 20l Lager 3 Abnehmer2 0l Rest

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung Kosten Anbieter 3 10 4 30 Lager 1 2 60 6 Lager 2 0 20 Lager 3 Abnehmer1 Abnehmer2 Z =3x10 + 4x30 + 2x60 + 0x20 = 270

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach ; nur besetzte Felder Kosten Anbieter 1 3 3 10 4 30 Lager 1 2 2 60 6 Lager 2 -1 0 20 Lager 3 Abnehmer1 Abnehmer2

Übungsbeispiel I Gesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale. Kosten Anbieter 1 3 3 10 4 30 Lager 1 2 2 60 6 Lager 2 -1 0 20 Lager 3 Abnehmer1 Abnehmer2 Alle Bewertungszahlen sind negativ  Optimaltätskriterium Z =3x10 + 4x30 + 2x60 + 0x20 = 270