06 Mathematik Lösung 2011 ZKM

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie ändern! ändern! ändern! 1. 5/8 km — 0.724 km + 4 km 321 m = 6 7/25 km —  m Alles in km 0.625 km — 0.724 km + 4.321 km = 6.280 km —  m oder in m (zuerst + (plus) rechnen!) 0.625 km + 4.321 km — 0.724 km = 6.280 km —  m 4.946 km — 0.724 km = 6.280 km —  m + 4.222 km = 6.280 km —  m dies Zahl ist positiv +  m = 6.280 km — 4.222 km 2.058 km  m = ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Wie viele Stunden dauert es vom 30. Juli 2011 10:00 Uhr abends bis am 1. September 2011 9:00 Uhr morgens? Hier wird das schrittweise Vorgehen gezeigt! a. 22:00 Uhr – 24:00 Uhr = 2 h b. 30. Juli – 31. Juli = 1 d = 32 d = 768 h 32  24h c. 1. Aug. – 31. Aug. = 31 d = 9 h d. 00:00 Uhr – 9:00 Uhr 779 h ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Ein Schüler multipliziert statt mit 69 mit 96. Das Ergebnis ist dadurch 8270.1 zu gross. Wie lautete die ursprüngliche Aufgabe und welches wäre die richtige Antwort? unbekannte Zahl unbekannte Zahl Überschuss 69   = + ( 96   ) ̶ 8270.1 Es kann nichts mehr subtrahiert werden: Minuszeichen fällt weg. (Keine negative Zahl!) ( 96   ) ̶ ( 69   ) = 8270.1 27   = 8270.1  = 8270.1 : 27  = 306.3 Ursprüngliche Aufgabe: 69  306.3 = 21134.7 ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Eine Klasse verkauft Schokoladenkäfer für einen Wohltätigkeitszweck. Zum Erlös einer Vierergruppe hat Valeria 1/4 Linda 1/3, Roger 1/5 und Laurin 65 Fr. beigesteuert. Wie viel hat die Gruppe eingenommen?  15  20  12 1/4, 1/3, 1/5 --- Gleichnamig! 15/60 + 20/60 + 12/60 47/60 =  15  20  12 Rest: 13/60 13/60 = 65 Fr. (Laurin) 13/60 ---------- 65 Fr. : 13 : 13 1/60 ---------- 5 Fr.  60  60 60/60 ---------- 300 Fr. Die Gruppe hat 300 Fr. eingenommen ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie In einem grossen Kuhstall werden 56 Kühe eingestellt. Das vorhandene Futter reicht für 105 Tage. Nach 8 Wochen und 1 Tag kommen ein paar Kühe hinzu, sodass der Vorrat nun für 6 Tage weniger ausreicht. Wie viele Kühe kamen hinzu? 8 Wochen + 1 d = 57 d 105 d – 57 d = 48 d 48 d – 6 d = 42 d 48 d ---------- 56 K : 8  8 !! 6 d ---------- 448 K  7 : 7 42 d ---------- 64 K 64 K – 56 K = 8 K Es kamen 8 Kühe dazu. ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Zwei Kanister fassen zusammen 42.25 I. Im kleineren Kanister sind 5/8 weniger drin als im grösseren. Wie viele Liter fasst jeder Kanister? 7 l grosser Kanister kleiner Kanister 7 x - 3/9 = 4/9 x = 9/9 Zusammen: 9/9 + 4/9 = 13/9 Kleiner Kanister: Man kann auch zuerst den gossen Kanister ausrechnen: 13/9 ---------- 42.25 l : 13 : 13 1/9 ---------- 3.25 l  4  4 4/9 ---------- 13.00 l 9/9 ---------- 29.25 l Grosser Kanister: 42.25 l – 13.00 l = 29.25 l 42.25 l – 29.25 l = 13.00 l Grosser Kanister = 29.25 l Kleiner Kanister = 13 l ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Auf einer Infotafel für Touristen wird der Umriss eines Wolkenkratzers gezeigt (Abbildung). Antenne: 1/7 des gesamten Gebäudes Ersichtlich sind eine Antenne, die 1/7 der gesamten Gebäudehöhe ausmacht, nur Haus: 6/7 des gesamten Gebäudes und vier Rechtecke, die halb so breit wie hoch sind ½ a ¼ b + ½ b + ¼ b = b und deren Höhe sich im Vergleich zum nächstunteren Rechteck jeweils halbiert. Gebäude total: 7/7 Der Umriss des Wolkenkratzers — ohne Antenne — beträgt 585.2 m. a = 2  b a Wie hoch ist der ganze Wolkenkratzer? b b= ½ a ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Wir betrachten nur den Umriss! Aufgaben Serie 8 Übungsserie Wir betrachten nur den Umriss! Zur Erinnerung: Die oberste Plattform ist die Einheit „x“. x Wir schreiben alle „x“ an. Antenne = 1/7 Länge immer 2  Breite! 1/2 x 2x 2x 1/2 x Es sind total x = 76 x 4x 4x Haus = 6/7 Der Umriss beträgt 585.2 m. 1x 1x Wie hoch ist der Wolkenkratzer mit Antenne? Gebäude = 7/7 Wie lang ist ein „x“? x = 585.2 m : 76 = 7.7m 8x 8x Höhe des Hauses: 2x 2x 16x + 8x + 4x + 2x = 30x 30  7.7m = 231m = 6/7 Höhe 6/7 ---------- 321.0 m 16x 16x : 6 : 6 1/7 ---------- 38.5 m  7  7 7/7 ---------- 269.5 m Die Höhe des ganzen Gebäudes mit Antenne beträgt 269.5 m. 8x ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

12 Pfosten zusätzlich Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Herr Schmitt hat als Abgrenzung zu seinem Nachbarn Schmid einen geraden Zaun von 198 m mit 25 Pfosten in regelmässigen Abständen erstellt. Da die Kinder von Herrn Schmid den Zaun regelmässig demolieren, entschliesst sich Herr Schmitt, den Zaun stärker zu bauen und verkürzt die Abstände zwischen den einzelnen Pfosten um je 1/3. Wie viele Pfosten mehr benötigt Herr Schmidt? 25 Pfosten = 198 m 1.A 2.A 3.A 4.A usw. 24 Abstände (erster Pfosten!!) 24.A 8.25 m 198 m : 24 Abstände = 8.25 m/Abstand 8.25m : 3 2.75 m = 5.5 m = 1/3 Abst. 8.25 m : 3 = 8.25 m = 2.75 m 2  2.75 m = 5.5 m 2/3 Abstand = 36 Abstände 198 m : 5.5 m/Abstand = 2/3 1/3 Bei 36 Abständen braucht es 37 Pfosten! (+ erster Pf.) 37 Pfosten — 25 Pfosten = 12 Pfosten zusätzlich diese hat er schon ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Zeichne das Dreieck ABC, Winkel α 31°, β 33°, Strecke AB 12 cm. Halbiere den Winkel γ und zeichne eine Senkrechte durch C auf AB. Zwischen der Senkrechten und der Winkelhalbierenden ist ein neuer Winkel Ω entstanden. Wie gross ist er? Auf den folgenden Folien ist das Vorgehen Schritt für Schritt erklärt und dargestellt. ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Zeichne die Strecke AB = 12 cm A 12 cm B Aufgaben Serie 8 Übungsserie Zeichne die Strecke AB = 12 cm A 12 cm B ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Miss mit dem Transporteur bei A den Winkel α = 31° ab, und zeichne durch A eine Gerade. α = 31° A B ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Miss mit dem Transporteur bei B den Winkel β = 33° ab, und zeichne durch B eine Gerade. Dies ergibt Punkt C und den Winkel γ. C γ α = 31° β = 33° A B ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Bilde die Winkelhalbierende von Winkel γ. (P1) ; (γ1) C γ Aufgaben Serie 8 Übungsserie Bilde die Winkelhalbierende von Winkel γ. (P1) ; (γ1) C γ γ1 α = 31° β = 33° A P1 B Winkelhalbierende von γ ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Zeichne mit den Geodreieck eine Senkrechte zu AB durch den Punkt C. Es entstehen die Winkel γ2 und der Winkel Ω (Omega). Bei der Strecke AB sind 2 Schnittpunkte entstanden: durch die Senkrechte der Punkt P2 und daneben von der Winkelhalbierenden der Punkt P1 Dies ergibt zwei Dreiecke: 1. Dreieck: A – P1 – C 2. Dreieck: A – P2 – C C γ γ2 γ1 α = 31° β = 33°  A P1 P2 B Winkel Ω Ω Senkrechte zu AB Winkelhalbierende von γ ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Aufgaben Serie 8 Übungsserie Du weisst: Die drei Winkel in einem Dreieck sind zusammen immer 180°. Berechne zuerst die Winkel γ: 180° - (α) 31° - (β) 33° = (γ) 116° C γ = 116° γ2 γ1 α = 31° β = 33°  A P1 P2 B Ω Senkrechte zu AB Winkelhalbierende von γ ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Die Hälfte des Winkel γ = γ1 116° : 2 = 58° C γ = 116° γ2 Aufgaben Serie 8 Übungsserie Die Hälfte des Winkel γ = γ1 116° : 2 = 58° C γ = 116° γ2 γ1 58° α = 31° β = 33°  A P2 P1 B Ω Senkrechte zu AB Winkelhalbierende von γ ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

Mathematik Winkel γ2 = 180° - 90° - 31° = 59° Der Unterschied beträgt: Aufgaben Serie 8 Übungsserie rechter Winkel bei P1 Winkel γ2 = 180° - 90° - 31° = 59° Der Unterschied beträgt: 59° - 58° = 1° = Winkel Ω Der Winkel Ω beträgt 1° C γ = 116° 59° γ2 γ1 58° α = 31° β = 33° 1°  A P2 P1 B Ω Senkrechte zu AB Winkelhalbierende von γ ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 91

ENDE