Bewegung von geladenen Teilchen im Magnetfeld Kapitel 8 Bewegung von geladenen Teilchen im Magnetfeld Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2

Übersicht Bewegung eines Teilchens im Magnetfeld Multipolentwickung des Magnetfeldes Multipolstärken Exakte Teilchenbahn im Quadrupol Transformationsgleichungen in Matrizenschreibweise Differentialgleichung für die Teilchenbewegung I FODO Zelle [slide] Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen

R x Koordinatensystem in Bezug auf die Idealbahn Nur transversale Komponenten des Magnetfeldes werden berücksichtigt: Es wird angenommen, dass die Abweichung der Teilchenbahn klein im Vergleich zum Radius ist (x,z << R) R x

Bewegung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld

Multipolentwicklung

Definition der Multipolstärken

Rechteckmodel für einen Quadrupolmagnet z Quadrupolmagnet mit k = k0 innerhalb des Magneten, und k = 0 ausserhalb s k(s) k0 s

Ableitung der Bewegungsgleichung für die vertikale Bewegung

Teilchenbewegung im Quadrupol

Transformationsgleichungen Defokussierender Quadrupol k > 0 Fokussierender Quadrupol k < 0

Transformationsgleichungen - Matrixschreibweise Defokussierender Quadrupol k > 0

Transformationsmatrizen für Teilchenkoordinaten Driftstrecke der Länge L Defokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s

Beispiel: Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol

Beispiel: Teilchenbahn im fokussierenden Quadrupol

Transformationsmatrizen – Dünne Linsennäherung Defokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k und der Länge s Fokussierende dünne Linse

Generelle Differentialgleichung für die Teilchenbewegung Differentialgleichung ohne Ablenkfeld Ableitung siehe K.Wille, S.54-58

Teilchenbewegung im Ablenkmagneten Fokussierender Quadrupol mit der Stärke k Ablenkmagnet mit dem Ablenkradius  Lösung für Ablenkmagnet ähnelt Lösung für Quadrupole Ein Ablenkmagnet bewirkt in der horizontalen Ebene eine schwache Fokussierung

Teilchentransport durch eine komplexe Struktur: F0D0 Zelle QF Dipol QD Dipol QF F0D0 Zelle lq=0.20 m lq=0.40 m lq=0.20 m lD=2.60 m lD=2.60 m MQF MD MQD MQD MD MQF

Teilchentransport durch eine komplexe Struktur: F0D0 Zelle QF Dipol QD Dipol QF F0D0 Zelle k(s) MQF MD MQD MQD MD MQF

Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird? Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt: Betatronfunktion und Betatronschwingung