Wachstumsprozess Miriam Hülmbauer 3CK 03.01.2014

Aufgabe: Nimm an, dass die Bevölkerung eines Staates mit derzeit 12 Mio. Einwohner pro Jahr um 2,5% zunimmt. a) Ermittle die Funktion, die jedem Zeitpunkt die Einwohnerzahl dieses Staates zu diesem Zeitpunkt zuordnet. b) Berechne, wie viele Einwohner dieser Staat nach 5 Jahren, nach 7,5 Jahren bzw. nach 20 Jahren hat. c) Berechne, wie viele Menschen vor 2 Jahren in diesem Staat lebten. d) Berechne, wie viele Menschen in 1000 Jahren in diesem Staat leben. Argumentiere, ob die Annahme: „die jährliche Zuwachsrate ist 2,5%“ sinnvoll ist. Quelle: Mathematik HAK 3 I Pauer, Scheirer-Weindorfer, Simon I öbv 2013

Wachstumsfunktion N(t) = N0  qt Die wichtigste Eigenschaft der Wachstumsfunktion ist, dass der Bestand in dem gleichen Zeitabschnitt um den selben Prozentsatz wächst. N(t) = N0  qt N0 … Anfangsbestand (N-null) N(t) … Bestand zum Zeitpunkt t t … Zeit q … Wachstumsfaktor

a) - Funktion N(t) = 12 000 000  1,025t 12 Millionen ist der Anfangsbestand zum Zeitpunkt Null (in der Aufgabenstellung wird von „derzeit“ gesprochen, diesen Wert nehmen wir, der Einfachheit halber, als Zeitpunkt Null) In der Aufgabestellung ist der Prozentsatz 2,5% gegeben. 1,025 bedeutet für uns: 1 sind die 100% Bevölkerung, die derzeit in diesem Staat leben. 2,5% ist die Wachstumsrate um die die Bevölkerung jährlich wächst. Schreibt man 2,5% als Zahl, erhält man 0,025. Das zusammen addiert, ergibt unser q = 1,025

b) - Einwohnerzahl Nachdem die Formel erstellt ist, müssen nur die Jahreszahlen in die Formell eingesetzt werden. 5 Jahre: N(5) = 12 Mio  1,0255 = 13 576 898,55  13,58 Mio. Einwohner nach 5 Jahren 7,5 Jahre: N(7,5) = 12 Mio  1,0257,5 = 14 441 431,23  14,44 Mio. Einwohner nach 7,5 Jahren 20 Jahre: N(20) = 12 Mio  1,02520 = 19 663 397,28  19,66 Mio Einwohner nach 20 Jahren

c) – Vor 2 Jahren Wie in dem 2. Beispiel, muss auch hier die Zeit eingesetzt werden. Allerdings handelt es sich um einen Zeitpunkt in der Vergangenheit, weshalb wir ein Minus vor unser t, also vor 2 setzten müssen. N(-2) = 12 Mio  1,025-2 = 11 421 772, 75  11,42 Mio. Einwohner vor 2 Jahren

d) – In 1000 Jahren Hier muss für t 1000 eingesetzt werden. N(1000) = 12 Mio  1,0251000 = 635 399 162 147 871 600 Diese Annahme ist aber nicht sinnvoll, da der Staat absolut überbevölkert wäre. Die Ernährung, die Unterbringung, die gesundheitliche Versorgung,… so vieler Menschen wäre nicht möglich.

Viel Glück