Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Matrizenrechnung Am Beispiel der Leontief-Analyse IFB Speyer 1. Februar 2005 Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt

Die Leontief-Analyse (I) Die Input-Output-Analyse des Nobelpreisträgers Wassily Leontief Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 2

Die Leontief-Analyse (II) Das Leontief-Modell Das Leontief-Modell beruht auf einer Analyse der Ströme von Gütern und Dienstleistungen zwischen den produzierenden und verbrauchenden Sektoren einer Volkswirtschaft in einem bestimmten Zeitraum. Es verbindet "Wirtschaftstatsachen und Wirtschaftstheorie" miteinander, indem es die gesamte Ökonomie in einer einzigen Matrix (Input-Output-Tabelle) darstellt. Die Input-Output-Methode liefert den Rahmen für eine exakte Beschreibung der Wirtschaftsstruktur und erlaubt Prognosen über die Auswirkungen wirtschaftspolitischer Eingriffe in diese Struktur. Das Deutsche Institut für Wirtschaftsforschung konnte in den Siebziger Jahren mithilfe des Leontief-Modells die Wirkung des Ölschocks auf die Preisentwicklung voraussagen - eine Prognose, die bei der Inflationsbekämpfung half. Nach dem Fall der Mauer schätzten Statistiker mit Leontiefs Methode das Sozialprodukt der DDR um die richtige Menge an DM für die Währungsunion bereitzustellen. Es handelt sich also keineswegs um theoretische Modellspielereien, sondern um den Versuch die Wirklichkeit darzustellen. Im Mittelpunkt steht dabei die Frage, mit welchem Einsatz von Faktoren (Input) die einzelnen Zweige einer Volkswirtschaft ihre Produkte (Output) erstellen. In den fast sechzig Jahren, die seit der Einführung der Input-Output-Methode vergangen sind ist diese zu einem Instrument für die Untersuchung wirtschaftlicher Strukturen geworden. Nationale Input-Output-Tabellen sind heute Teil der amtlichen Statistiken aller entwickelten und vieler sich entwickelnder Länder. Denn erst eine detaillierte Input-Output-Tabelle gibt ein genaues Bild von der Verflechtung einer Volkswirtschaft und von ihrem Entwicklungsstand. So ist es nicht verwunderlich, dass moderne Input-Output-Analysen mehrere hundert Sektoren umfassen. Anhand dieser Analysen können Wirtschaftspolitiker versuchen vorhandene Wirtschaftsstrukturen durch gezielte Maßnahmen zu verändern. Quelle: Lineare Algebra für Wirtschaftsgymnasien, Verlag Gehlen Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 3

Die Leontief-Analyse (III) Ein Unternehmen produziert in drei Zweigwerken an verschiedenen Standorten unterschiedliche Teile und Waren. Jedes Zweigwerk bezieht für die eigene Produktion Teile der Produktion der anderen Zweigwerke. Alle Zweigwerke beliefern auch den außerbetrieblichen Markt. Die Verknüpfungen im derzeitigen Produktionszeitraum sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Produktionsverflechtung Idee entnommen aus: Weber/Opitz: SELMA Url: http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/ Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 4

Die Leontief-Analyse (IV) Die Input-Output-Analyse In Betrieben ist der Herstellungsprozess häufig in einzelne Produktionsstufen, Abteilungen oder Zweigwerken (Sektoren) gegliedert. Hierbei ist es oft möglich, dass Teile der hergestellten Produkte im eigenen Werk wieder Einsatzfaktoren sein können. Dabei bestimmen die Koeffizienten x11 bis x33   die Verknüpfung der jeweiligen Sektoren untereinander. Die Elemente x ij (i: Zeile, j:Spalte) geben also den Verbrauch der Güter des Sektors j an, die im Sektor i produziert werden. Sektoren Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 5

Die Leontief-Analyse (V) Die Input-Output-Analyse Die Gesamtproduktion sei durch den Produktionsvektor   , der Absatz der Produkte auf dem Markt durch den Absatzvektor    dargestellt. Die Aufgabe der Input-Output Analyse ist es, die Beziehung zwischen dem Absatzvektor    und dem Produktionsvektor    durch ein mathematisches Modell darzustellen. Absatzvektor Produktionsvektor Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 6

Die Leontief-Analyse (VI) Die Input-Output-Analyse Die Komponenten des Vektors            geben den Output des jeweiligen Sektors in den Markt an. Dabei bewirkt jeder Output auf den Markt auch eine Erhöhung der innerbetrieb-lichen Produktion. Die Komponenten des Vektors         berechnen sich als Summe der gesamten Produktion eines jeden Sektors. So berechnet sich z.B. die Gesamtproduktion des Sektors I zu Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 7

Produktionskoeffizienten Die Leontief-Analyse (VII) Das mathematische Modell der Input-Output-Analyse Produktionskoeffizienten Die Koeffizienten geben an, wie viele Einheiten der Güter aus Sektor i benötigt werden um 1 Einheit des Gutes vom Sektor j zu erzeugen. A Technologiematrix Input-Matrix Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 8

Die Leontief-Analyse (VIII) Konkrete Fragestellungen Berechne, wie viele Stück jedes der drei Zweigwerke im derzeitigen Produktionszeitraum herstellt. Welchen Anteil an der Gesamtproduktion der Güter eines Zweigwerkes hat der Input der Güter von den einzelnen Zweigwerken. Stelle die Ergebnisse in Form einer Matrix dar. Man nennt sie die Inputmatrix A. In einem vergangenen Produktionszeitraum wurden 4000 Stück vom Zweigwerk 1, 8000 Stück vom Zweigwerk 2 und 5000 Stück vom Zweigwerk 3 hergestellt. Bestimme den außerbetrieblichen Absatz. Warum kann der Produktionsvektor niemals           sein? Für einen zukünftigen Produktionszeitraum wird der außerbetriebliche Absatz auf 2000 Stück vom Zweigwerk 1, 1600 Stück vom Zweigwerk 2 und 800 vom Zweigwerk 3 geschätzt. Berechne, wie viel dann in den einzelnen Werken produziert werden muss. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 9

Die Leontief-Analyse (IX) Konkrete Fragestellungen Berechne, wie viele Stück jedes der drei Zweigwerke im derzeitigen Produktionszeitraum herstellt. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 10

Die Leontief-Analyse (X) Konkrete Fragestellungen Welchen Anteil an der Gesamtproduktion der Güter eines Zweigwerkes hat der Input der Güter von den einzelnen Zweigwerken. Stelle die Ergebnisse in Form einer Matrix dar. Man nennt sie die Inputmatrix A. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 11

Die Leontief-Analyse (XI) Konkrete Fragestellungen In einem vergangenen Produktionszeitraum wurden 4000 Stück vom Zweigwerk 1, 8000 Stück vom Zweigwerk 2 und 5000 Stück vom Zweigwerk 3 hergestellt. Bestimme den außerbetrieblichen Absatz. Warum kann der Produktionsvektor niemals           sein? Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 12

Die Leontief-Analyse (XII) Konkrete Fragestellungen Für einen zukünftigen Produktionszeitraum wird der außerbetriebliche Absatz auf 2000 Stück vom Zweigwerk 1, 1600 Stück vom Zweigwerk 2 und 800 vom Zweigwerk 3 geschätzt. Berechne, wie viel dann in den einzelnen Werken produziert werden muss. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 13

Die Leontief-Analyse (XIII) Erweiterte Fragestellungen Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 14

Die Leontief-Analyse (XIV) Literatur und Hinweise links im Internet: J.Böhm: Matrizenrechnung mit dem TI-92 Url: http://www.acdca.ac.at/material/ Weber/Opitz: SELMA (Stationenlernen zur Matrizenrechnung) Url: http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/ Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie 15