EINFÜHRUNG CAD 01.03.2012

NURBS FLäCHEN Prof. Achim Menges, MArch Katharina Penner [Krümmung einer Fläche] Und somit sind wir auch schon bei den Flächen und Ihrer Krümmung. [Krümmungsradius mit Ball verdeutlichen] Einer gewölbten regulären Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar. Prof. Achim Menges, MArch Katharina Penner 17.05.2013

Isoparametrische Kurven, U- und V-Linien U-Linie P [u, v Linien einer Fläche] Eine Fläche entsteht in der Regel wenn man eine Raumkurve im Raum entlang einer anderen Kurve bewegt oder diese um sich dreht oder Ähnliches. Sie kennen das aus den Flächenklassen. In diese Fläche eingebettet sind die sogenannten isoparametrischen Kurven die u- und v-Linien. Diese u- und v-Linien stehen lokal betrachtet senkrecht zu einander und lassen sich in Ihrer Dichte variieren. Isoparametrische Kurven, U- und V-Linien EINFÜHRUNG CAD NURBS FLÄCHEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER Prof. Achim Menges, MArch Katharina Penner 17.05.2013

[NURBS Fläche] NURBS Seminar Prof. Achim Menges NURBS Flächen verhalten sich und haben dieselbe Terminologie wie NURBS Kurven.  

U Richtung V Richtung [u/v Richtung] Der Flächen-Parameterbereich (surface domain) ist gegeben ist wie bei der NURBS Kurve durch einen minimalen und maximalen Parameter Wert. Da wir bei einer Fläche von zwei Ausbreitungsrichtungen ausgehen, gibt es auch zwei Parameter Werte U und V. Jede NURBS Fläche ist beschrieben durch den minimalen Parameterwert 0 und den maximalen Parameterwert 1 sowohl in u als auch in v Richtung.

[Punktbeispiel mit zugehörigen u/v Parameter Wert] U Richtung u=0.5 / v=0.5 V Richtung [Punktbeispiel mit zugehörigen u/v Parameter Wert] Alle Punkte, die auf der Fläche liegen, können daher durch einen u/v Parameterwert (und nicht durch Koordinatendaten) bestimmt werden. Es ist ähnlich wie bei der NURBS Kurve der t-Parameter Wert.

[Isoparm hervorgehoben] U Richtung u=1 / v=0 u=0 / v=0 Beispiel Isoparm: v=0.6 u=1 / v=1 V Richtung u=0 / v=1 [Isoparm hervorgehoben] Eine isoparametrische Kurve / Isoparm (isoparamteric curve) ist eine Kurve, deren U- oder V-Werte auf einer Fläche konstant sind. Rhino verwendet isoparametrische Kurven und Kantenkurven von Flächen, um eine NURBS-Fläche zu visualisieren. Isoparametrische Kurven werden standardmäßig an den Knotenstandorten gezeichnet. Wenn die Fläche eine einfache knotenfreie Fläche ist, z. B. eine einfache rechteckige Ebene, werden isoparametrische Kurven auch in der Flächenmitte gezeichnet.

[NURBS Fläche mit Isoparms, Rhino screen] Die Dichte der Isokurven regelt die Anzahl isoparametrischer Kurven, die Rhino auf der Fläche zeichnet. Wert Definition:

[Density 1] Eine isoparametrische Kurve auf knotenfreien Segmenten oder einfach die isoparametrische Knotenkurve. [Density 2] Eine isoparametrische Kurve ohne Knoten zwischen Knotenstandorten gezeichnet plus die isoparametrischen Knotenkurven. [Density 3] Zwei isoparametrische Kurven ohne Knoten zwischen Knotenstandorten gezeichnet plus die isoparametrischen Knotenkurven.

Dies ändert nur die Darstellung der Fläche, nicht die Anzahl der Kontrollpunkte. [Beispiel zuvor: die Oberfläche dargestellt mit einer Dichte von 3] [Beispiel diese Folie: die Oberfläche dargestellt mit einer Dichte von 3 und den sichtbaren Kontrollpunkten]

[Beispiel: dieselbe Oberfläche dargestellt mit einer Dichte von 1 und den sichtbaren, gleichen Kontrollpunkten] Die Kontrollpunkte werden durch das Umstellen der Dichte der Isokurven nicht verändert.

4 Kontrollpunkte In U Richtung 7 Kontrollpunkte In V Richtung [Kontrollpunkte anzeigen] Die Form der NURBS-Fläche ist primär von der Position der Kontrollpunkte (control points) gegeben, die bis auf Anfangs- und Endpunkt nicht auf der Fläche liegen müssen. Gleichermaßen wie bei der Definition von NURBS Kurven besitzt auch jeder Flächenkontrollpunkt eine zugehörige polynomische Gleichung/ ganzrationale Funktion.

8 Kontrollpunkte In U Richtung 14 Kontrollpunkte In V Richtung [u/v Kontrollpunkte Einstellung, Rhino screen] Die Anzahl der Kontrollpunkte kann für die u und v Richtung unabhängig eingestellt werden. Dies bewirkt das Einsetzen von Kontrollpunkten an bestimmten u oder v Werten der Fläche.

[Wichtung der Kontrollpunkte] Jeder Kontrollpunkt hat eine dazugehörige Wichtung (weight), die den Einfluß des Kontrollpunkts auf die Fläche definiert. Wichtungswerte können zwischen 0 und +unendlich liegen. Die Standardeinstellung für die Wichtungswerte ist 1. Wenn man die Wichtungswerte aller Kontrollpunkte gleichzeitig auf denselben Wert ändert, ändert sich die Form der Kurve nicht, da die Wichtung ein Verhältnis-Parameter ist. [Beispiel für die Änderung der Wichtung eines Kontrollpunkts: Wichtung = 3]

[Wichtung der Kontrollpunkte] Jeder Kontrollpunkt hat eine dazugehörige Wichtung (weight), die den Einfluß des Kontrollpunkts auf die Fläche definiert. Wichtungswerte können zwischen 0 und +unendlich liegen. Die Standardeinstellung für die Wichtungswerte ist 1. Wenn man die Wichtungswerte aller Kontrollpunkte gleichzeitig auf denselben Wert ändert, ändert sich die Form der Kurve nicht, da die Wichtung ein Verhältnis-Parameter ist. [Beispiel für die Änderung der Wichtung eines Kontrollpunkts: Wichtung = 3]

[Flaechenabschnitte und Knoten] NURBS bestehen aus mehreren Flächenabschnitten (surface sections), die durch Basisfunktionen bestimmt sind. Jede Basisfunktion beeinflußt einen Flächenabschnitt, der durch Knoten (knots) bestimmt ist. Die Definition der Knoten von Flächen ist analog zu der vorher besprochenen Definition von Kurven.

U Richtung V Richtung [Grad der Fläche] Der Grad (degree) einer Fläche richtet sich nach dem höchsten Exponenten der zu den jeweiligen Kontrollpunkten zugehörigen polynomischen Gleichungen. Je niedriger der Polynom-Grad ist, um so näher befindet sich die Fläche an den Kontrollpunkten. Der Grad der Fläche kann für die u und v Richtung unabhängig eingestellt werden. Wie bereits von den NURBS Kurven her bekannt läßt der Grad einer Fläche auch darauf schlußfolgern wie eng sich die Fläche an die Kontrollpunkte anschmiegt.

[Normalenrichtung anzeigen] Neben der U- und V-Parametrisierung einer NURBS Fläche gibt es zusätzlich die Normalenrichtung N der Fläche. Die Normalen sind Vektoren, die an jedem Punkt der Fläche senkrecht zur (Tangentialebene an diesem Punkt) der Fläche sind. Wir werden in der nächsten Vorlesung mehr mit dem Begriff der Krümmung, Tangentialebene etc. zu tun bekommen.

Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum [Beispiel für die Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum] Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum 01 – Ausgangs-Fläche 01 – Ausgangs-Fläche

Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum 02 – Einstellung der Anzahl der Kontrollpunkte: U=16 V=28 02 Einstellung der Anzahl der Kontrollpunkte: U=16 V=28

Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum 03 – Einschalten der Kontrollpunkte 03 – Einschalten der Kontrollpunkte

Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum 04 – Auswahl bestimmter Kontrollpunkte 04 – Auswahl bestimmter Kontrollpunkte

Einstellung der Kontrollpunkte im UVN Parameterraum 05 – Bewegen der ausgewählten Kontrollpunkte entlang des jeweiligen Normalenvektors 05 – Bewegen der ausgewählten Kontrollpunkte entlang des jeweiligen Normalen Vektors

Prof. Achim Menges, MArch Katharina Penner [Wastel John, King´s College Chapel, Cambridge 1446-1515] Diese Linien erleichtern es auch sehr die Flächen zu unterteilen bzw. deren Kurvatur zu erkennen. Ein bemerkenswertes Beispiel sind die Fächer- oder Netzgewölbe der Gotik, wo sich die Linien als Grate abzeichnen. U-V-Linien eines Netzgewölbes Wastel John King´s College Chapel Cambridge 1446-1515 Bild Quelle: flickr.com EINFÜHRUNG CAD NURBS FLÄCHEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER Prof. Achim Menges, MArch Katharina Penner 17.05.2013

REGELFLÄCHEN RULED SURFACES Weitere interessante Flächen in diesem Gebiet sind die sogenannten Regelflächen. Der Name „Regel“fläche ist fälschlicherweise eine Übersetzung der englischen Bezeichnung „ruled surface“. „Rule“ bedeutet hier aber eben nicht „Regel“ sondern „linieren“. Der englische Ausdruck beschreibt eine Regelfläche deutlicher. [Quelle: Glaeser, Georg 2007. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. 2. Aufl. München: Spektrum Akademischer Verlag in Elsevier] 03.05.2013

REGELFLÄCHE vs. EXTRUSIONFLÄCHE FLÄCHEN EBENE FLÄCHENKLASSEN EXTRUSION TRANSLATION ROTATION REGELFLÄCHEN DEFINITION Konoid Hyperbolisches Paraboloid FALLBEISPIEL ÜBUNG ABWICKELBAR Zylinder, Kegel Torsen Tangentenflächen ERZEUGENDE LEITKURVE EXTRUSIONSRICHTUNG Im Vergleich sieht man die Parallelen. Entscheidend ist die Art der Erzeugung. Dies macht sich oftmals erst in der Weiterverarbeitung der Flächen bemerkbar. Aber dazu kommen wir noch, wenn wir auf die NURBS Flächen und Iso Kurven in den nächsten Vorlesungen eingehen. KURVE REGELFLÄCHE vs. EXTRUSIONFLÄCHE 03.05.2013

REGELFLÄCHE AUS VERDREHTER RAUMKURVE FLÄCHEN EBENE FLÄCHENKLASSEN EXTRUSION TRANSLATION ROTATION REGELFLÄCHEN DEFINITION Konoid Hyperbolisches Paraboloid FALLBEISPIEL ÜBUNG ABWICKELBAR Zylinder, Kegel Torsen Tangentenflächen ERZEUGENDE LEITKURVE ALS RAUMKURVE Bei der Erzeugung einer Regelfläche, ist es sehr wichtig zu wissen, welche Art von Kurve man als Leitkurve für die Geradenschaar benutzt, da sich diese an der Krümmung orientieren. Den begriff Krümmung werden wir in der nächsten Vorlesung weiter erläutern. REGELFLÄCHE AUS VERDREHTER RAUMKURVE 03.05.2013

FLÄCHEN EBENE FLÄCHENKLASSEN EXTRUSION TRANSLATION ROTATION REGELFLÄCHEN DEFINITION Konoid Hyperbolisches Paraboloid FALLBEISPIEL ÜBUNG ABWICKELBAR Zylinder, Kegel Torsen Tangentenflächen RICHTEBENE LEITGERADE LEITKURVE Diese besondere Art der Regelfläche nennt man Konoid. Die Bewegung der Erzeugenden Geraden ist so definiert, dass die Geraden immer eine Leitgerade und eine beliebige anderen Leitkurve treffen. Zusätzlich muss die Fläche eine Richtebene haben, die zu allen Erzeugenden parallel ist. KONOID 03.05.2013

FLÄCHEN EBENE FLÄCHENKLASSEN EXTRUSION TRANSLATION ROTATION REGELFLÄCHEN DEFINITION Konoid Hyperbolisches Paraboloid FALLBEISPIEL ÜBUNG ABWICKELBAR Zylinder, Kegel Torsen Tangentenflächen LEITGERADE LEITKURVE Die erzeugenden Geraden der Fläche sind alle Parallel zur Richtebene. Das heißt jeder Punkt auf der Leitgeraden wird dem entsprechenden Punkt auf der Leitkurve zugeordnet und mit einer Geraden, die parallel zur Richtebene ist, verbunden. RICHTEBENE KONOID 03.05.2013

Isoparametrische Kurven, U- und V-Linien U-Linie P [u, v Linien einer Fläche] Eine Fläche entsteht in der Regel wenn man eine Raumkurve im Raum entlang einer anderen Kurve bewegt oder diese um sich dreht oder Ähnliches. Sie WERDEN DAS NOCH IN DEN den Flächenklassen kennelernen. In diese Fläche eingebettet sind die sogenannten isoparametrischen Kurven die u- und v-Linien. Diese u- und v-Linien stehen lokal betrachtet senkrecht zu einander und lassen sich in Ihrer Dichte variieren. Isoparametrische Kurven, U- und V-Linien EINFÜHRUNG CAD NURBS FLÄCHEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER Prof. Achim Menges, MArch Katharina Penner 17.05.2013

REGELFLÄCHEN ABWICKELBAR Abwickelbare Flächen (Torsen): Es gibt eine Gattung von Regelflächen, die noch eine zusätzliche Eigenschaft hat, die für uns Architekten sehr wertvoll sein kann. Mann nennt diese Flächen abwickelbar. 01.03.2012

Verdeutlichen kann man sich Ihre Signifikanz in der Umschreibung, dass diese Flächen aus Papier herstellbar sind, das heißt sie lassen sich ohne Dehnung oder Stauchung in die Ebene abwickeln. Beispiel Windmühle Spielzeug (Glaser Georg Geometrie und ihre Anwendung in Kunst, Natur und Technik Spektrum, München 2007 Abb.5.43, S.144) 01.03.2012

EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Blech von der Rolle Bild: SoloStocks Holzwerkstoffplatten Bild: Kuhmann & Dill Holzhandel GmbH Warum ist es für Architekten wichtig? Wir arbeiten oft mit flächigen Materialien: Glas, Holzwerkstoffplatten, Blech, etc. Diese Materialien lassen sich sehr schwer in eine freie, doppelt gekrümmte Form bringen. Mittels einer materialkonformen, geometrischen Anordnung lassen sich aber solche Materialien zu sehr eindrücklichen Formen bringen ohne ihre ebene, bzw. einfach gekrümmte Eigenschaft zu verändern. Sie werden zwar gekrümmt aber in nur einer Richtung. Das nennt man Parabolisch gekrümmte Flächen. Flächenkrümmung (Krümmungsbegriff in der nächsten Vorlesung): Parabolisch, Hyperbolisch, Elliptisch> parabolisch ist abwickelbar, Hyperbolisch und elliptisch können nur mittels Triangulation angenähert werden.   Gipskartonplatten Bild: cgi.ebay.de/ Danogips Bauholz lt. Liste, Fichte Bild: pomwenger-holz.at EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER 01.03.2012

EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Frank O. Gehry ist ein großer Meister der abwickelbaren Flächen.  Frank O. Gehry Walt Disney Music Hall Los Angeles, USA 2003 Bild: Carol McKinney Highsmith EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER 01.03.2012

Die abwickelbaren Grundformen sind der Zylinder und der Kegel… KEGEL UND ZYLINDER 01.03.2012

KEGEL, ZYLINDER UND IHRE ABWICKLUNGEN Diese lassen sich ohne Probleme aus einem Stück Papier durch verbiegen herstellen.. KEGEL, ZYLINDER UND IHRE ABWICKLUNGEN 01.03.2012

180° Eine interessante abwickelbare Regelfläche ist das Möbiusband. Man erzeugt sie indem man eine Gerade an einem Kreis entlang führt und diese wärendessen um 180° verdreht. ERZEUGENDE GERADE, DIE SICH KONTINIURLICH UM 180° DREHT LEITKURVE ALS KREIS MÖBISUSBAND 01.03.2012

Von oben gesehen, im Grundriss erkennt man deutlich den Kreis der Leitkurve. LEITKURVE ALS KREIS MÖBISUSBAND 01.03.2012

EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Hier sieht man die Veranschaulichung an einem Stück Papier. Zumal man mit dem Möbius Schleife eine zusätzlich besondere Fläche erhält. Sie hat nämlich nur eine Seite. Dies erkennt man deutlich wenn man mit einem Stift anfängt die Fläche zu markieren und dabei ohne Absetzen wieder zum Startpunkt der Linie zurück kommt. Eine solche Fläche nennt man nicht orientierbar. Wir begegnen ihnen bei den komplexeren Flächen nochmals. EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER 01.03.2012

01.03.2012 Erkennen von abwickelbaren Flächen: Die einzigen Flächen, die in die Ebene ohne Dehnung und Stauchung abgewickelt werden können, sind die parabolisch gekrümmten Flächen. Den begriff der Krümmung werden wir noch kennenlernen. Vorab als eine Möglichkeit zur groben Kontrolle: Abwickelbare Flächen erkennt man optisch sofort daran, dass ihr Umriss aus jeder Blickrichtung ausschließlich aus geradlinigen Teilen besteht. Wenn sie sich wundern wie diese Tangentenfläche abwickelbar sein kann, obwohl diese teilweise gekrümmte Umrisse hat, dann bedenken Sie, dass Randkurven NICHT zum Umriss gehören, sondern nur jene Flächenkurven, längs derer die Tangentialebenen projizierend erscheinen. Ein Umriss ist immer dort zu sehen wo der Papierstreifen gekrümmt ist aber die Randkurve nicht sichtbar ist. (Glaser Georg Geometrie und ihre Anwendung in Kunst, Natur und Technik Spektrum, München 2007 Abb.4.22, S.187) 01.03.2012

EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Erkennen von abwickelbaren Flächen: Die einzigen Flächen, die in die Ebene ohne Dehnung und Stauchung abgewickelt werden können, sind die parabolisch gekrümmten Flächen. Den begriff der Krümmung werden wir noch kennenlernen. Vorab als eine Möglichkeit zur groben Kontrolle: Abwickelbare Flächen erkennt man optisch sofort daran, dass ihr Umriss aus jeder Blickrichtung ausschließlich aus geradlinigen Teilen besteht. Wenn sie sich wundern wie diese Tangentenfläche abwickelbar sein kann, obwohl diese teilweise gekrümmte Umrisse hat, dann bedenken Sie, dass Randkurven NICHT zum Umriss gehören, sondern nur jene Flächenkurven, längs derer die Tangentialebenen projizierend erscheinen. Ein Umriss ist immer dort zu sehen wo das Papier gekrümmt ist, aber die Randkurve nicht sichtbar ist. (Glaser Georg Geometrie und ihre Anwendung in Kunst, Natur und Technik Spektrum, München 2007 Abb.4.22, S.187) EINFÜHRUNG CAD: FLÄCHENKLASSEN Prof. A. MENGES; Dipl. Ing., MArch. K. PENNER 01.03.2012

Wichtig ist auch sich zu merken, dass Regelflächen grundsätzlich nicht abwickelbar sind. Jedoch gibt es besondere Regelflächen, die sich durch Abwickelbarkeit auszeichnen. Diese sind zur Wiederholung nochmals Zylinder, Kegel und Torsen. Und natürlich Ausschnitte davon. Regelflächen wie das Hyperboloid, HP Flächen, Aufgespannte Flächen zwischen zwei gegeneinander verdrehten Geraden lassen sich nicht abwickeln. Eine einfache Veranschaulichung ist ein Blatt Papier, welches man versucht in min. zwei Achsen in sich zu verdrehen und dabei die festgehaltenen Seiten gerade belässt. Dies ist nicht möglich. Dabei würde das Papier zerreißen. Denn sind zwei Geraden gegeneinander verdreht, verschoben und geneigt, dann ist die Fläche die sich zwischen Ihnen aufspannt, eine doppelt gekrümmte und kann somit nicht abgewickelt werden. NICHT ABWICKELBARE REGELFLÄCHE DOPPELT GEKRÜMMTE HP FLÄCHE ABWICKELBARE REGELFLÄCHE TORSE ALS EINHÜLLENDE ALLER TANGENTEN 01.03.2012