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Lotterien: Lotterie: Zufallsvariable mit Auszahlungen x, die mit gewissen Wahrscheinlichkeiten p eintreten. Akteure wählen zwischen Lotterien Annahme: Akteure kennen Auszahlungen und Wahrscheinlichkeiten Bsp: verschiedene Investitionsmöglichkeiten, Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten (Versicherung)

Entscheidungskriterium unter Unsicherheit In einer naiven Sichtweise könnte man sich bei Entscheidungen unter Unsicherheit nach den maximalen Erwartungswert orientieren. D.h: man beurteilt die verschiedenen Lotterien nach ihrem Erwartungswert.

St. Petersburg Paradoxon Man wirft eine faire Münze. Wenn Kopf zu liegen kommt erhält man 2 Euro, bei Zahl wird noch einmal geworfen. Kommt beim zweiten Wurf Kopf so erhält man 4 Euro andernfalls wird noch einmal geworfen. Das Spiel wird solange weitergespielt bis Kopf geworfen wird. E(x) = ∑pixi = ∑ (1/2i) * 2i = 1+1+1+1+....= ∞ Doch niemand würde sein ganzes Geld in dieses Spiel investieren.

Daniel Bernoulli Bernoulli schlug vor die Auszahlungen vorher mit dem ln zu transformieren, womit sich ein endlicher Wert der Erwartungssumme ergab. Das war der Startpunkt zum: Erwartungsnutzenkonzept, später interpretierte man ln als eine spezielle Nutzenfunktion.

Von Neumann –Morgenstern Erwartungsnutzentheorie Von Neumann und Morgenstern haben den theoretischen Aufbau der Erwartungswert Nutzentheorie formuliert. Indem sie über eine Präferenzrelationen mit gewissen Eigenschaften beweisen können, dass dann eine reelle Funktion existiert, die konsistent ist in der Wiedergabe des Nutzenniveau. (Aus Präferenz für eine Lotterie folgt höheres Nutzenniveau für die Lotterie)

Negative Transitivität Präferenzrelation ≻ die auf der Menge der einfachen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Raum der Auszahlungen X definiert ist erfüllt: Asymmetrie: Es gibt kein Paar p und q aus P, so dass p ≻q und q ≻p gilt Negative Transitivität Wenn p ≻q, dann gilt für ein drittes Element z entweder p≻z oder z≻q oder beides. Substitutionsaxiom oder Unabhängigkeitsaxiom Wenn p≻q und α Element (0,1) und r eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung dann gilt: α p+(1- α )r ≻ α q +(1- α )r Archimedisches Axiom Wenn p ≻q ≻r. Dann existieren Zahlen α und β in (0,1) , sodass α p+(1- α )r ≻q ≻ βp+(1- β)r

p≻q↔∑u(x)p >∑u(x)q Theorem Eine Präferenzrelation ≻ ,die auf der Menge P der einfachen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Raum der Auszahlungen X definiert ist erfüllt die Axiome der Asymmetrie, der negativen Transitivität, der Substitution und das Archimedische Axiom dann und nur dann wenn eine Funktion u: X→ℝ existiert die das folgende erfüllt: p≻q↔∑u(x)p >∑u(x)q

v präsentiert die gleiche Relation, dann und nur dann wenn es Konstanten a und b größer Null gibt, so dass v = au + b Das heißt ≻ hat ein Erwartungsnutzen Repräsentation. Jeder mögliche Preis hat eine zugehöriges Nutzenniveau. Diese Funktion ist eindeutig bis auf eine positive affine Transformation

Das Allais Paradoxon Nobelpreis 1953 Widerspruch zur Erwartungsnutzentheorie (Substitutionsaxiom) Wähle zwischen 1 und 2: Lotterie 1 und 2 p1 x1 0.33 25 000 0.66 24 000 0.01 0 p2 x2 1 24 000 Wähle zwischen 3 und 4: Lotterie 3 und 4 p3 x3 0.33 25 000 0.67 0 P4 x4 0.34 24 000 0.66 0

Die meisten wählen Lotterie 2 und Lotterie 3 Das Widerspricht dem Substitutionsaxiom Man kann zeigen, dass die Differenz des Erwartungsnutzen von A und B und von C und D gleich ist, aber nach den empirischen Präferenzen einmal größer und einmal kleiner 0 ist.

Schreibe die Lotterie wie unten auf, dann sieht man, dass jeweils die letzten Zeilen ident sind und so bei einem Erwartungsnutzen vergleich weggelassen werden können. Eine Präferenz der Lotterie 2 über 1 bedeutet: E(u(x1-x2)) = 0.33*u(25 000) +0.01u(0)-0.34u(24 000)<0 Eine Präferenz von 3 über 4 bedeutet jedoch E(u(x3-x4)= 0.33*u(25 000) +0.01u(0)-0.34u(24 000)>0 Wiederspruch

Allais Paradoxon p1 x1 0.33 25 000 0.01 0 0.66 24 000 p2 x2 0.34 24 000 p1 x1 0.33 25 000 0.01 0 0.66 24 000 p2 x2 0.34 24 000

Beispiel einer Lotterie U(x) = x0.5 P x 0.5 1000 0.5 0 w0= 1000 E(x) = 500 Var(x) = 125 000 Der Value von der Lotterie V(x) = E(u(x)) = 0.5*(10000.5) =15,81

Das Sicherheitsäquivalent w*: Zwischen welchem sicheren Wert w* und dem Anfangsvermögen plus Lotterie ist der Akteur indifferent? U(w*) = ∑piU(w0 + xi) Bsp: (w*0.5) = 0.5*20000.5 + 0.5 * 1000 0.5= 38,17 W* = 38,172 = 1457.106

Der Ask-Price Der Angebotspreis Minimaler Preis um den der Akteur die Lotterie verkaufen würde. D.h. er ist indifferent zwischen verkaufen und halten der Lotterie. pa = w*-wo Bsp.: Pa = 1457.106 – 1000 = 457.1

Der Bid-price Nachfragepreispreis Welche maximale Zahlungsbereitschaft hat ein Akteur um eine Lotterie zu kaufen? U(w0) = ∑piU(w0 +x –pb) Bsp: 10000.5 = 0.5(2000 – pb)0.5 + 0.5(1000 – pb)0.5

Risiko Man sagt jemand ist risikoneutral wenn die Nutzenfunktion eine lineare Funktion ist. Eine lineare Nutzenfunktion bedeutet, dass der Erwartungsnutzen immer gleich dem Erwartungswert ist. Eu(x) = E(x)

Die Sicherheitsprämie Die Sicherheitsprämie gibt die Risikoaversion des Akteurs an П = E(x) –pa П = 0 risikoneutral П > 0 risikoavers П < 0 risikofreudig

Arrow Pratt Approximation der absoluten Risikoaversion Durch Umformen und Näherungsweise Berechnung erhält man folgende Formel: П ≌ 0.5var(x)(-u´´(w0+E(x))/u´(w0+E(x)) Die Größe der Risikoprämie hängt von der Varianz ab und das Vorzeichen von der Krümmung durch die Steigung. Da die Steigung positiv ist (je mehr Geld desto besser) ist das Vorzeichen und damit per Definitionem auch das Risikoverhalten von der Krümmung abhängig.

Folgerung: Ist u´´ < 0 ⇒ П > 0 risikoavers u konkav risikofreudig u konvex Ist u´´ = 0 ⇒ П = 0 risikoneutral u linear

Andere Definition von Risikoverhalten Aus der Jensen Ungleichung für konvexe Funktionen erhält man die in der Literatur häufig verwendete Definition von Risikoverhalten: u(E(x)) > E(u(x)) Risikoavers u(E(x)) < E(u(x)) Risikofreudig u(E(x)) = E(u(x)) Risikoneutral Der Nutzen einer sicheren Auszahlung ist beim risikoaversen höher als der Erwartungsnutzen einer Auszahlung mit dem gleichen Erwartungswert.

Grad der absoluten Risikoaversion Aa Aa = -U´´(w)/U´(w) Aa ist ein lokales Maß von Risikoverhalten. Man nennt es den absoluten Grad der Risikoaversion. Ta = 1/Aa heißt Grad der Risikotoleranz Beides sind Funktionen abhängig vom Vermögen.

Grad der relativen Risikoaversion Ar = - wU´´(w)/U´(w) Ar = w Aa Ob man den Grad des Risikoverhaltens mit relativen oder absoluten Grad der Risikoaversion misst hängt von der Gegebenheit der Lotterie ab: Bei additiven Lotterien ist das relevante Maß Aa bei mulitplikativen Lotterien Ar.

Die quadratischen Nutzenfunktion U(x) = a + bx –cx2

Die logarithmische Nutzenfunktion u(x) = lnx

Die negative Exponentialfunktion u(x) = - exp(-αx)

Das Erwartungswert-Varianz Kriterium Geht man von einem quadratischen Nutzenindex aus wobei aber die Beschränkung b-2cx > 0 (mehr Geld ist besser) gilt erhält man das Erwartungswert-Varianzkriterium bei dem die Bewertung der Lotterie nur vom Erwartungswert und der Varianz der Lotterie abhängt

Herleitung des Erwartungswert –Varianz Kriteriums aus dem quadratischen Nutzenindex (E(u(w0+x)) = =∑ pi (a+b(w0 + xi) –c (w0 +xi)2) = a∑pi + bw0∑pi +b∑ pi xi– c(w02∑pi +2w0∑pixi +∑pixi2) = a+ bw0+bE(x) – c(w02 +2w0E(x) +∑pixi2) Aus Var(x) = E(x2)- (E(x))2 folgt = a+ bw0+bE(x) – c(w02 +2w0E(x) +E(x)2+Var(x))

Erwartungswert-Varianzkriterium V = E(wo+x) –kVar(x) k ist der Grad der Risikoaversion Bei einem positiven k ist der Akteur risikoavers und umso größer k ist umso größer ist der Grad der Risikoaversion

Die Indifferenzkurven Die Indifferenzkurven zwischen Erwartungswert und Varianz sind je nach Risikoverhalten: steigende Funktionen für risikoaverse fallende Funktionen für risikofreudige horizontal für risikoneutrale Akteure

Risiko nach Rothschild -Stiglitz Seien x und y Zufallsvariablen (Ausgänge einer Lotterie) und F(x) und G(x) die kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Akteure risikoavers und sei E(x) gleich E(y), dann sind folgende vier Aussagen äquivalent:

G(y) ist zumindest genauso risikoreich wie F(x), wenn alle risikoaversen Akteure indifferent zwischen den beiden Lotterien sind oder F(x) bevorzugen. G(y) ist zumindest genauso risikoreich wie F(x), wenn man G(y) aus F(x) erhält indem man den Erwartungswert gleich läßt aber mehr Gewichte auf die tails der Verteilung gibt. G(y) ist zumindest genauso risikoreich wie F(x), wenn die Zufallsvariable y = x + „white noise“. G(y) ist risikoreicher wenn die Fläche unter der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilung als erste größer wird.(Integralbedingung)

Folgerungen: Größere Varianz muss nicht immer größeres Risiko bedeuten. Risiko hängt auch von den höheren Momenten ab. (Skewness und Kurtosis)

Folgerungen: Für Akteure mit quadratischer Nutzenfunktion ist die Varianz das optimale Risikomaß. Für normalverteilte Auszahlungen ist die Varianz das optimale Risikomaß.

Bsp. Von J.E. Ingersoll Jr (1987) Lotterie x: x p 0 0.5 4 0.5 E(x) = 2 Var(x) = 4 Lotterie y: y p 1 7/8 9 1/8 E(y) = 2 Var(y) = 7

Hat der Akteur einen Nutzenindex von U(w) = w0.5 und sei w0 =1 E(U(w0 + x)) = 1.62 E(U(w0 + y)) = 1.63 Man sieht dass skew und kurtosis ungleich 0 sind - die Symmetrie und die tails hängen von den höheren Momenten ab.

Stochastische Dominanz Risiko nach Rothschild Stiglitz wird auch als stochastische Dominanz zweiter Ordnung bezeichnet. Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit den Verteilungsfunktionen F ung G Dann heißt Y riskanter als X wenn gilt:

Stochastische Dominanz Die Theorie der stochastischen Dominanz wird mit der Erwartungsnutzentheorie verbunden: Es kann gezeigt werden, dass für alle u aus der Menge der monton steigenden und konkaven Funktionen gilt: Eine Zufallsvariable X dominiert Y genau dann wenn E(u(X)) >(=) Eu(Y)) .

Stochastische Dominanz Vergleicht man zwei Lotterien mit dem gleichen Erwartungswert, betrachte die Verteilungsfunktionen, welche zuerst, den größeren Flächeninhalt hat ist riskanter – überlege warum.

Versicherung und Vermögen Vermögen ohne Versicherung: Anfangsvermögen...w0 Schadeneintrittswahrscheinlichkeit...p Schadenshöhe...S Erwartetes Endvermögen ohne Versicherung: E(wf) = p(w0-S) + (1-p) w0 = w0-pS

Endvermögen und Versicherung Vermögen mit Versicherung Schadenersatzleistung ... Z Prämiensatz der Versicherung... П Prämie...Z П Das erwartete Vermögen ändert sich so zu: E(wf) = p(w0- Z П -S + Z ) + (1-p)(w0- Z П) = w0- pS + (p - П)Z

Die versicherungstechnisch faire Versicherungsprämie Eine Versicherung ist versicherungstechnisch fair, wenn die Prämie pro versicherte Geldeinheit gleich der Schadeneintrittswahrscheinlichkeit ist. p = П Das erwartete Endvermögen verändert sich auf: E(wf) = w0- pS d.h das erwartete Vermögen bleibt bei einer fairen Versicherung unverändert Jedoch ändert sich die Auszahlung je nach Deckungsgrad der Versicherung.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich durch die Versicherung das erwartete Endvermögen jedoch nicht. Ohne Versicherung: w0 = 35 000 Euro S = 10 000 Euro p = 1% Wahrscheinlichkeitsverteilung 1%...25 000 99%...35 000 Mit Versicherung: w0 = 35 000 Euro S = 10 000 Euro p = 1% П = 100 (fair 1% von S) Z = 10 000 Wahrscheinlichkeitsverteilung 1%...34 900 99%..34 900

Vollversicherung Versicherungsprämie ist fair Versicherungsnehmer kennen das Risiko Das Versicherungsunternehmen kennt die Schadenseintrittwahrscheinlichkeit. Die Änderung des Risikos ist beobachtbar. Sind diese Punkte erfüllt tritt bei risikoaversen Konsumenten Voll-versicherung ein: Er hat höheren Nutzen an einem sicheren Vermögen als an einem unsicheren mit gleichen Erwartungswert.

Erwartungsnutzen und Versicherung

Erwartungsnutzen und faire Versicherungsprämie Eine faire Versicherungsprämie geht von einem risikoneutralen Verhalten der Versicherung aus, da die Prämie nur vom Erwartungswert abhängt, dass ist sinnvoll wenn vollständige Risikodiversifikation möglich ist. Sind die übernommenen Risiken jedoch nicht völlig unabhängig wird sich die Versicherung risikoavers verhalten und einen Risikoaufschlag verlangen.

Optimaler Versicherungsvertrag Definition: Ein Versicherungsvertrag ist optimal, wenn er das Problem Max E[u(w0-P- x +l(x)] unter den Nebenbedingungen P = (1+λ)E[l(x)] Und l(x) ist steigend mit 0l(x) x Für alle x in [0,w0]

Versicherungsvertrag mit Selbstbehalt Versicherungsverträge mit Selbstbehalt werden durch die Funktion: l(x) = max[0,x-D], D0 D ist der Selbstbehalt, charakterisiert.

Optimaler Versicherungsvertrag Der optimale Versicherungsvertrag l* nach der vorherigen Definition ist ein Versicherungsvertrag mit Selbstbehalt. Das heißt von allen möglichen Versicherungsverträgen(Teilversicherung oder Selbstbehalt oder kombinierte Modelle alle mit gleichem Erwartungswert) ist für risikoaverse Akteure der mit dem Selbstbehalt optimal.

Optimaler Versicherungsvertrag Beweis: Man verwendet die Beurteilung von Lotterien nach Rotschild und Stiglitz, welche nach einem Kriterium besagt, dass bei gleichen Erwartungswert diejenige Lotterie risikoreicher ist, welche von den kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zuerst größer ist. Man kann nun zeigen, dass dies für alle anderen Vertragsformen gilt.