Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht Beispiele für die Unterstützung des Unterrichts durch einen CAS-Rechner. Franz Schlöglhofer

Verwendung eines Rechners im Mathematikunterricht Visualisieren Probieren Interpretieren Probleme analysieren Neue Inhalte und Methoden

Inhalt: Erzeugen von Figuren im Grafik-Fenster Messungen (Temperatur und Bewegung) - Datenerfassung Visualisierung Tangente - Ableitungsfunktion Beispielhaft einige Aufgaben zur Differentialrechnung Modellierung: Der Torabstoß beim Fußball

1) Erzeugen von Figuren mit Funktionen 5. Klasse Wir verwenden: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen

Quadratische Funktionen

Verschiebung - Transformation

Abschnittsweise definierte Funktionen

Auch für lineare Funktionen:

Ein kleines Projekt: Nach eigenen Ideen Figuren erzeugen mit elementaren Funktionen Einige Ergebnisse:

Ein einfaches Beispiel

Erstes Experiment mit einer Blume

Der traurige König (Parametrische Linien)

Qualle

Raupe

Parametrische Kreisdarstellung

Schmetterling

Kreisbögen

Im nächsten Schuljahr

piranha

2) Physikalische Messungen Modellbildung Temperatur Bewegung

Temperaturmessung mit dem NSPIRE Messung der Temperatur sowie Speicherung und Verarbeitung der Daten.

Lists & Spreadsheet Spalte A: Zeit (Sekunden) Spalte B: Temperatur (beginnt mit 41,6° C und endet mit ungefähr 16° C)

Scatter-Plot mit der gesamten Datenmenge Temperatur-anpassung. Zwei Probleme: Messung zu lang Transformation des Graphen günstig für das Auffinden von passenden Funktionen.

Verkürzte Tabelle (Spalten C und D) Zeit (Spalte C): =seq(i,i,0,25) Temperatur (Spalte D): =B-16 (Approximation an die x-Achse.)

Neuer Scatter-Plot Zeit von 0 to 25 s Temperatur von 25° to 0° C

Approximation durch Funktionen Naheliegend ist der erste Versuch mit einer Quadratfunktion – funktioniert nicht besonders gut.

Kubische Funktion Bessere Approximation Nur der erste Wert macht Schwierigkeiten.

Exponentialfunktion Nach einigen Versuchen einigen sich die Schüler auf diese Funktion als beste Approximation.

The motion of a running ball –velocity Sensor for the measurement of distance

Schiefe Ebene Beschleunigte Bewegung Die Distanz vom Sensor wird im Zeitintervall von 0.05s (50 Millisekunden) gemessen Die Daten werden gespeichert. Sensor

Spreadsheet Spalte A: Zeit Spalte B: Distanz vom Sensor beginnend mit 0,159 m. (Spalten C and D sind v und a.)

Scatter Plot Zeit – Distanz Nach dem Beginn der Bewegung beschleunigte Bewegung

Auswahl des Beschleunigungsbereichs

Versuch mit einer quadratischen Funktion Man findet relativ einfach eine gut passende Funktion

Zeit – Geschwindigkeit Spalte C: Mittlere Geschwindigkeit

Distanz und Geschwindigkeit Lineare Zunahme der Geschwindig-keit

Entwicklung der Geschwindigkeit als Funktion

Mittlere Geschwindigkeit – Funktionsaufruf Mit dq(x,h) kann die mittlere Geschwindig-keit im Zeitintervall [x;x+h] berechnet werden

Momentangeschwindigkeit Begriffliche Einführung ohne Rechner Grenzwert h geht gegen 0

Grenzwert mit dem CAS Lineare Funktion als Ergebnis der Grenzwert-berechnung.

Geschwindigkeit als Zeit-Ort-Funktion

Mittlere Beschleunigung berechnet aus den Messwerten

3) Visualisierung Tangente-Tangentenfunktion (Idee Zappe) Grafikfenster Graph der Funktion Tangente an den Graphen (Menü) Messung der Steigung Bewegung des Punktes (und der Tangente)

Graph der Tangentenfunktion - Ortslinie Maßübertragung Tangentensteigung auf die y-Achse Konstruktion des Punktes der Ableitungsfunktion (x-Koordinate des Punktes, Wert der Tangentensteigung) Ortskurve (strichliert)

Weitere Funktionen

Exponentialfunktion

Tangentengleichung Von der Tangenten-darstellung mit den Anweisungen des Grafik-Menüs ausgehend soll ein Weg zur Darstellung der Gleichung einer Tangente mit Punkt und Ableitung gefunden werden.

Tangente an eine quadratische Funktion Tangente im Grafikmenü ermitteln. Messung der Steigung und der Tangenten-gleichung Experimentieren

Bewegung der Tangente Anpassung der Steigung und der Gleichung

Tangente mit Hilfe der Ableitung: Die Tangente im Punkt (p/f(p)) des Graphen der Funktion f hat die Ableitung f´(p) als Steigung. Lineare Funktion: y=k.x+d , f(p)=f´(p).p+d d=f(p)-f´(p).p Tangente: ta(p):=f´(p).x+f(p)-f´(p).p ta(p):=f´(p).(x-p)+f(p)

Eingabe im Calculator-Fenster

Darstellung der Tangente im Grafikfenster

Bewegung der Tangente mit einem Schieberegler

It´s easy to change the function.

4) Eine Extremwertaufgabe - Beleuchtung

b=10, a=11

x=5 in die zweite Ableitung einsetzen

b=10, a=8

Funktionsgraphen

Darstellung der „Einzelgraphen“

Allgemeine Untersuchung der Funktion

Zweite Ableitung

5) Fußball: Torabstoß Annahmen treffen. Zunächst Bewegung ohne Luftwiderstand - Parabelbahn

Quadratische Funktionen Beschreibung der Bahn: Z.B.: f(x)=0.01(x-10)(x-70) - Nullstellen Bahn gegeben durch drei Punkte Hochpunkt Steigung beim Abschuss …

Der Einfluss des Luftwiderstandes Experimente von John Wesson (Britain) in seinem Buch: „The Science of soccer“ Der Luftwiderstand des Balls ist direkt proportional zur Geschwindigkeit des Balls (nicht quadratisch). Daher: Einfaches Modell

Einige Grundlagen: Beschreibung der Bewegung durch die Zeit-Ort-Funktion s(t) Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung von s(t) (angenähert der Differenzen-quotient). Die Beschleunigung a(t) ist die Ableitung von v(t) (angenähert der Differenzen-quotient).

Ausgangspunkt ist die Beschleunigung Üblich ist die Beschreibung der Bahn durch die Beschleunigung und Ziel ist die anschließende Lösung der Differentialgleichung. Mit Hilfe der Differenzenquotienten kann auch simuliert werden.

vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t)) vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t)) Modellbeschreibung ax(t) = -r*vx(t) ay(t) = -g – r*vy(t) vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t)) vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t)) sx(t+h) = sx(t) + h*vx(t) sy(t+h) = sy(t) + h*vy(t) Beschleunigung für x und y-Koordinate. Berechnung der Geschwindigkeit Berechnung der Zeit-Ort-Funktion Anfangswerte v(0)=(v0*cos(w) , v0*sin(w)) s(0)=(0 / 0)

Spalte A: Konstante: v0=30 (m/s) w=43 (Winkel) r=0.3 (Konstante Widerstand) h=0.1 (Schrittweite) Berechnung Geschwindigkeit Spalte B: =v0*cos(w) =b1+h*(-r*b1) =b2+h*(-r*b2) …. Spalte C: =v0*sin(w) =c1+h*(-9.81--r*c1) =c2+h*(-9.81--r*c2)

Calculation of position: Column D: =0 (start of motion) =d1+h*b1 =d2+h*b2 …. Column E: =0 =e1+h*c1 =e2+h*c2

Streu-Plot von (sx/sy). Verkürzung im abfallenden Teil

Lösung der Differentialgleichung Lösung der Differentialgleichung mit dem CAS-System im Calculator-Fenster, getrennt x- und y-Koordinate: Aus ax=vx´=-r*vx mit den Anfangswerten erhält man vx Zweiter Schritt von vx zu sx(t) Anfangsbedingung Lösung

Analog für die y-Koordinate:

Daraus kann eine Funktion f(x) für die Bahn berechnet werden:

Experimentieren it dem Graphen von f(x): Durch Wahl der Konstanten können die Charakteristika der Bahn untersucht werden.