Vorstellen und Herleiten der Horner Schemas Um den Graph einer Funktion, wie z.B. f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 zu erstellen, kann man eine Wertetabelle anlegen. Dabei werden verschiedene Werte für x in die Funktion eingesetzt, und man erhält entsprechende f(x)-Werte.

Beispiel: f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 Werte-Tabelle: x f(x) 0 9 1 0 0 9 1 0 x2= 1  f(1) = 2(1)³ -5(1)² -6(1) +9 f(1) = 2·1·1·1 -5·1·1 -6·1 +9 f(1) = 2 -5 -6 +9 f(1) = 0 usw. ...

Schauen wir uns einmal an, was dabei genau passiert: Wenn wir z.B. x=2 in f(x) einsetzen, rechnen wir: f(2) = 2(2)³ -5(2)² -6(2) +9 Das könnt ihr ja mal grad im Kopf machen! · · · - · · - · = 2·2·2·2 -5·2·2 -6·2 +9 + das sind 6 Multiplikationen und 3 Additionen und wir erhalten als Ergebnis = 16 –20 -12 +9 = -7

x x x · · · - - + f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 f(x)= 2·x·x·x -5·x·x -6·x +9 Der britische Mathematiker William George Horner, kam auf eine Idee, wie man diesen Rechenvorgang vereinfachen kann. (Er hatte noch keinen Taschenrechner ;)) Er dachte sich folgendes: Die Funktion: f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 Ist ja: f(x)= 2·x·x·x -5·x·x -6·x +9 x x x Daraus folgt: f(x)= x·(2·x·x -5·x -6) +9 Man sieht: Die ersten drei Terme enthalten alle mindestens ein x! Und weiter: f(x)= x·(2·x·x -5·x -6) +9 Daher kann man dieses x ausklammern! f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 · · · - - + Dadurch erhält man: 3 Multis und 3 Addis Insgesamt spart man also 3 Multis ein!

Der Clou kommt aber erst noch ;) Horner hat noch konsequenter weitergedacht und die Rechnung in ein einfaches Rechenschema verwandelt: Die umgeformte Funktion f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 rechnet man ja von innen nach außen, also z.B. für x=2: Erhält man: f(2)= 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 und rechnet = 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 2· ( -8 ) -16 +9 -16 -7 ( -8 ) ( -2 -6) (2·( -1 ) -2 4 2·2 4 -5 -1 noch einmal zum mitdenken ;)

f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 Die gegebene Funktion f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 formt man durch ausklammern von x um in: f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 Für x=2 erhält man dann: f(2)= 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 Und rechnet: = 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 -16 +9 2· ( -8 ) -16 -7 ( -8 ) ( -2 -6) (2·( -1 ) -2 4 2·2 -1 4 -5 Also Multi mit x=2 ,also Addi also Multi mit x=2 ,also Addi also Multi mit x=2 ,also Addi Diesen Rechengang hat Horner nun in ein einfaches Rechenschema gebracht. Das sogenannte: Horner Schema

f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 2 -5 -6 9 + + + + 4 -2 -16 ·x ·x ·x x=2 2 -1 -8 Das Horner Schema: f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 Von der gegebenen Funktion werden die Koeffizienten in die oberste Zeile geschrieben: 2 -5 -6 9 + + + + In die nächste Zeile wird zunächst vorne eine Null geschrieben: 4 -2 -16 ·x ·x ·x Jetzt beginnt man die Rechnung mit dem gewählten x-Wert: x=2 2 -1 -8 -7 = f(2) Die Rechnung funktioniert wie folgt: Es wird immer vertikal addiert, also zunächst Das Ergebnis wird dann diagonal mit x multipliziert jetzt wieder vertikal addieren, diagonal mit x multiplizieren, usw. ... Der letzte Wert (hier –7) entspricht dem Funktionswert von x=2, also f(2).

hat eine Nullstelle bei x1=1 Arbeitsauftrag: Die Funktion f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 hat eine Nullstelle bei x1=1 a) Führen Sie bitte eine Polynomdivision von f(x) und dem Linearfaktor (x-1) durch. b) Führen Sie bitte das Horner Schema mit f(x) und dem x-Wert x1=1 durch. c) Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Ergebnisse vergleichen?

Erkenntnis: Beispiel: f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 2 -5 -6 9 2 -3 -9 x=1 2 Wenn bei einem Rechendurchlauf des Horner Schemas das Endergebnis (der f(x)-Wert) gleich Null ist, so entsprechen die übrigen Zahlen der Ergebniszeile den geordneten Koeffizienten der Restfunktion! Beispiel: f(x) = 2x³ -5x² -6x +9  Horner Schema 2 -5 -6 9 2 -3 -9 x=1 2 -3 -9 = f(1) =Restfunktion fRest(x)= 2x² -3x -9 = 0  weiter mit p/q-Formel

Zusammenfassung: Wenn man die Nullstellen von Funktionen dritter und höherer Ordnung bestimmen möchte, ist folgendes Vorgehen sinnvoll: Beispiel: 1) 1.Nullstelle raten: f(x) = 2x³ -5x² -6x +9  x1=1  f(1) =0 2a) Polynomdivision Als zweiten Schritt kann man sich nun entscheiden, ob man Polynomdivision oder das Horner Schema nutzen möchte: oder 2b) Horner Schema (2x³ -5x² -6x +9): (x-1)= 2x² -3x -9 2 -5 -6 9 -(2x³-2x²) 2 -3 -9 -3x² -6x fRest(x) -(3x² +3x) x=1 2 -3 -9 = f(1) = -9x +9 -(9x +9) fRest(x)= 2x² -3x -9 3) Die beiden weiteren Nullstellen mit der Restfunktion fRest(x) z.B. mittels p/q-Formel berechnen. 4) Alle Nullstellen N1(x1/0) , N2(x2/0) , N3(x3/0) hinschreiben.