Determinanten Roland Angst, 30.11.2010

Organisatorisches Ersatz für Prof. Pollefeys Bei Unklarheiten Roland Angst (rangst@inf.ethz.ch) CAB G 89 Website: http://www.inf.ethz.ch/personal/rangst/ Sprache: Deutsch? Englisch? Bei Unklarheiten Bitte meldet euch! Ich versuche mich an Skript zu halten (auch mit Notation)

Themen QR-Zerlegung Determinanten Motivation Transpositionen, Permutationen Definition der Determinante Eigenschaften der Determinante Berechnungsmöglichkeiten Rechenregeln Anwendungen

QR Zerlegung Final Call! Unklarheiten, Fragen? Testfrage: welche zwei Möglichkeiten kennt ihr, um Least Squares Probleme zu lösen? Normalengleichungen QR-Zerlegung

Determinanten: Motivation Cramer Regel Tool zur analytischen Untersuchung von Lösungen eines linearen Gleichungssystems Transformation von Integrationsgrenzen: Determinante der Jacobimatrix Siehe später in Analysisvorlesung (hoffentlich!) Rank-Constraint für Matrizen Z.B. Multiple View Geometry für 3D Rekonstruktionen Grassmann Koordinaten Rechnen mit Unterräumen (Subspaces)

Determinanten: Motivation Charakteristisches Polynom Determinante der Matrix Polynom in einer Unbekannten Nullstellen entsprechen den Eigenwerten einer Matrix Siehe nächstes Kapitel... Merke: Determinante stellt ein nützliches analytisches Werkzeug dar Aber für numerische Berechnungen eher ungeeignet

Determinanten: benötigte Vorkenntnisse Permutation von n Elementen Eineindeutige Abbildung (eine Bijektion) der Menge auf sich selbst: Menge der Permutationen von n Elementen wird mit bezeichnet

Symmetrische Gruppe Permutationen sind Funktionen und können daher zusammengesetzt werden: Zusammensetzung zweier Bijektionen ist wiederum eine Bijektion  p ist auch eine Permutation Symmetrische Gruppe Menge aller Permutationen von n Elementen Funktionszusammensetzung ist Gruppenoperation Neutralelement ist Identität: Gruppenaxiome bekannt?

Symmetrische Gruppe Wieviele Elemente besitzt die symmetrische Gruppe (Satz 8.1)? Beweis mittels Induktion Induktionsverankerung: n = 1: Menge enthält lediglich Identität e: Induktionsschritt: Zusätzliches n-tes Element kann auf n Arten zwischen n-1 gegebene Elemente eingefügt werden Induktionsvoraussetzung besagt, dass n-1 Elemente auf Arten angeordnet werden können 

Transpositionen Transposition Eine Permutation, bei der nur zwei Elemente vertauscht werden Satz 8.2: Für n>1: Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente dargestellt werden: Darstellung ist i.A. nicht eindeutig Aber Anzahl Transpositionen ist entweder für alle möglichen Darstellungen immer gerade oder immer ungerade Das Signum ist eindeutig für eine Permutation p Beispiel Transpositionen

Transpositionen Beweis von Satz 8.2 1. Teil: Darstellung als Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente Mittels Induktion Induktionsverankerung für n=2 ist trivial Induktionsschritt: ähnliche Argumentation wie in Beweis von Satz 8.1 2. Teil: Eindeutigkeit von Für beliebiges sei: Gemäss Darstellung der Permutation als Zusammensetzung von Transpositionen benachbarter Elemente gilt: Das Vorzeichen hängt nur von Anzahl Transpositionen benachbarter Elemente ab! Zwei Darstellungen derselben Permutation seien: Also gilt:

Determinante Die Determinante einer n-by-n Matrix ist definiert als die Summe über die n! Permutationen Jeder Summand enthält genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Kolonne Liefert einfache Formeln für n < 4 Beispiele: siehe Tafel... Für n = 3: Formel bekannt unter Namen Regel von Sarrus Selbst für moderate n ist diese Formel für numerische Zwecke unbrauchbar da Aufwand O(n!) Beispiel für n = 2, n = 3.

Determinanten von Dreiecksmatrizen Alle Summanden ausser einem reduzieren sich auf 0 Beispiel: p: (1,2,3,4) = (2,3,1,4) p(1) = 2  Elemente der ersten Zeile und der zweiten Spalte sind „gestrichen“ Wir sehen bereits: Irgendwann müssen wir ein verbleibendes Element der ersten Spalte wählen! p(2) = 3  Elemente der zweiten Zeile und der dritten Spalte werden gestrichen p(3) = 1  Hier wählen wir ein Element das gleich Null ist Beispiel für n = 2, n = 3. X X X X

Determinanten von Dreiecksmatrizen Alle Summanden ausser einem reduzieren sich auf 0 Welche Permutation liefert nicht-Null Summand? Also: Determinante von Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente ( ) Beispiel für n = 2, n = 3. X a X X a X X a X X a X

Eigenschaften der Determinanten Satz 8.6: Die folgenden 3 Eigenschaften sind charakteristisch für die Determinante D.h. die Determinante ist das einzige auf definierte Funktional mit folgenden 3 Eigenschaften (Satz 8.3) i) Linear in jeder Zeile ii) Alternierend: werden zwei Zeilen in vertauscht, so wechselt das Vorzeichen von iii) Skalierung: Ev. Die 3 Eigenschaften an Tafel schreiben!

Beweis Satz 8.3 Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)? i) Einsetzen in Definition liefert Linearitätseigenschaft:

Beweis Satz 8.3 Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)? ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente: i-te Zeile  j-te Zeile 

Beweis Satz 8.3 Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)? ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente: Anzahl benötigter Transpositionen benachbarter Elemente: Ungerade Anzahl! i-te Zeile  j-te Zeile 

Beweis Satz 8.3 Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)? ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente: Zeilenvertauschung kann durch Kombination jeder Permutation mit dieser Transposition kompensiert werden: Vorzeichenwechsel, da jeder Term der Summe das Vorzeichen wechselt:

Beweis Satz 8.3 Satz 8.3 ist somit bewiesen Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)? iii) Identität ist Spezialfall einer Dreiecksmatrix  Determinante ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente Satz 8.3 ist somit bewiesen Beweis von Satz 8.6 folgt später

Folgerungen aus den 3 charakteristischen Eigenschaften Aus den 3 charakteristischen Eigenschaften (Satz 8.3) folgen 6 weitere wichtige Eigenschaften (Satz 8.4): Hat eine Zeile aus lauter Nullen, so ist Hat zwei gleiche Zeilen, so ist Wird zu einer Zeile von ein Vielfaches einer anderen Zeile von addiert, so ändert sich der Wert von nicht. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente Beweis siehe Tafel Erfolgt lediglich unter Verwendung der charakteristischen Eigenschaften i),ii),iii)

Gauss-Algorithmus zur Berechnung der Determinanten Eigenschaft vii) bedeutet, dass Gauss-Algorithmus die Determinante nicht verändert! Gauss-Algorithmus addiert Vielfaches der Pivotzeile zu den anderen Zeilen! Daraus folgt Satz 8.5: Für jede Matrix gilt: Sei . Dann ist gleich dem Produkt der Pivotelemente des Gauss-Algorithmus multipliziert mit , wobei die Anzahl der ausgeführten Zeilenvertauschungen bezeichnet: Andernfalls und

Gauss-Algorithmus zur Berechnung der Determinanten Wende Gauss Algorithmus auf Matrix an Falls , dann liefert Gauss-Algorithmus obere Dreiecksmatrix und benötigte Anzahl an Zeilenvertauschungen. Dann ist: Schnellste Methode zur Berechnung der Determinante Aber: an Prüfung könnte Anwendung der Eigenschaften i) bis ix) schneller ans Ziel führen

Beweis von Satz 8.6 Siehe Tafel

Determinantenrechenregeln Matrizenprodukt (Satz 8.7): Seien Dann gilt: Beweisskizze: Definiere Funktional und zeige, dass alle Eigenschaften i), ii), und iii) erfüllt Matrixinverse (Satz 8.8): Beweis: Beispiel: LR-Zerlegung

Determinantenrechenregeln Matrixtransposition (Satz 8.9): Beweisidee: Wende auf Produktregel 8.7 an. Somit kann überall zuvor „Zeile“ durch „Kolonne“ ersetzt werden, die daraus resultierenden Eigenschaften gelten auch dann! Beispiel: Determinante einer unitären Matrix.

Kofaktoren einer Matrix Sei die Untermatrix von , welche durch Streichen der k-ten Zeile und l-ten Kolonne resultiert. Der Kofaktor von ist definiert als:

Determinantenberechnung Der Kofaktor von ist definiert als Lemma 8.12: Es sein eine Matrix, in deren l-ter Kolonne lediglich das Element ist. Dann gilt: Beweis: Bringe Element durch Kolonnen- und Zeilenvertauschungen an Indexposition (1,1). Determinante ändert sich dabei um , da Transpositionen benachbarter Zeilen und Spalten nötig sind. Resultierende Matrix erfüllt bereits erster Eliminationsschritt des Gauss-Algorithmus mit Pivot , d.h.

Entwicklung nach Zeile oder Kolonne Alternative rekursive Methode zur Determinantenberechnung Meist ineffizient In Spezialfällen interessant (und effizient)  kann für Prüfung wichtig sein! Entwicklung nach k-ter Zeile: Entwicklung nach l-ter Kolonne: Beweis: siehe Tafel.

Determinanten von Blocksmatrizen Achtung: Aber für Blocksdreiecksmatrizen gilt (Korollar 8.14): Die Determinante von Blocksdreiecksmatrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der diagonalen Blöcke. Beweis siehe Skript Beispiel:

Anwendungen Die folgenden Anwendungen stellen keinen prüfungsrelevanten Stoff dar Sie sollen zeigen, wie die Theorie der Determinante an realen Beispielen zur Anwendung kommt Falls eine Anwendung nicht komplett verstanden wird, so ist das kein Problem!

Anwendungen: Cramer Regel Analytische Lösung eines linearen Gleichungssystems Für numerische Berechnung ungeeignet, da Rechenaufwand zu hoch Beweisidee: Definiere: Dann:

Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry Für virtuelle 3D Rekonstruktionen basierend auf Bildern muss Folgendes berechnet werden: Positionen der Kameras Positionen von 3D Punkten Bekannte Daten 2D Punkte in den Bildern der 3D Punktes (die Projektionen der 3D Punkte in die Kameraebenen) http://www.youtube.com/watch?v=p16frKJLVi0

Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry Projektion eines 3D Punktes in eine Kameraebene Koordinatentransformation der globalen Punktkoordinaten in lokale Kamerakoordinaten: Projektion der lokalen Punktkoordinaten in Kamerebene Strahlensatz:

Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry Bekannt seien Projektionen desselben 3D Punktes in zwei verschiedenen Kameras und Gegeben mehrere Punktkorrespondenzen (die Beobachtungen) , Determinantenbedingung erlaubt Berechnung von Kameramatrizen und