Tetraederzerlegung Ina Ehmann Tetraederzerlegung

Tetraederzerlegung Inhalt: Eigenschaften eines Tetraeders Allgemeine Tetraederzerlegung Reguläre Tetraederzerlegung Euler Formeln Tetraederzerlegung konstruieren 5.1 Type-4 5.2 Freudenthal Zerlegung 5.3 Type-6 6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung 6.1 Die Alfeld Verfeinerung 6.2 Die Worsey-Farin Verfeinerung Ina Ehmann Tetraederzerlegung

1. Eigenschaften eines Tetraeders V4 4 Knoten 6 Kanten 4 Dreiecksflächen Bei einem regelmäßigen Tetraeder sind alle 6 Kanten sind gleich lang. (4 gleichseitige Dreiecke) < v1, v4 > < v2, v3, v4 > V1 V3 Definition 1: |T| sei die Länge der längsten Kante von T. pT sei der Radius der größten Kugel, die ganz in T liegt. Der Quotient KT := |T|/pT wird shape parameter von T genannt. V2 v₁, v₂, v₃, v₄ in ℝ³ Tetraeder T := < v₁, v₂, v₃, v₄ > Knoten vi := (xi, yi, zi) von T Der shape parameter KT beschreibt die Gestalt von T. Bei einem regelmäßigen Tetraeder ist KT = 12/√6. Für jedes andere Tetraeder ist KT größer. Ina Ehmann Tetraederzerlegung

2. Allgemeine Tetraederzerlegung Definition 2: Eine Sammlung ∆ := {Ti} von Tetraedern in ℝ³ wird Tetraederzerlegung einer polygonalen Menge Ω := U Ti genannt, falls sich Tetraeder aus ∆ höchstens an Knoten schneiden, sich entlang einer Kante oder Dreiecksfläche berühren. N i=1 N i=1 Diese Definition erlaubt also auch eine Tetraederzerlegung wie folgt: Zwei Tetraeder die sich nicht berühren Zwei Tetraeder die sich nur an einem Knoten berühren Zwei Tetraeder die sich nur eine Kante teilen Diese Definition lässt auch folgendes zu: Ω hat eine durchgängige Lücke z.B. wenn Ω die Form eines Ringen hat Ω hat Hohlräume Ina Ehmann Tetraederzerlegung

2. Allgemeine Tetraederzerlegung Definition 3: Sei v der Knoten einer Tetraederzerlegung ∆, star(v) ist die Menge aller Tetraeder aus Δ die sich den Knoten v teilen. Wir setzen star1(v) := star(v) und definieren star i (v) induktiv für alle i > 1als die Menge aller Tetraeder aus ∆ die einen Schnittpunkt mit star i-1 (v) haben. Ähnlich definieren wir star0 (T) := T und starj (T) := U{star (v) : v ∈ star j-1 (T)} für alle j ≥ 1. star(v) (dunkel blau) star²(v) (mittel und dunkel blau) star(T) (dunkelgrün) star²(T) (dunkel und hellgrün) Ina Ehmann Tetraederzerlegung

3. Reguläre Tetraederzerlegung Definition 4: Eine Tetraederzerlegung wird shellable genannt, falls sie aus einem einzelnen Tetraeder besteht oder aus einer shellable Tetraederzerlegung entsteht, indem ein Tetraeder, der eins, zwei oder drei Dreiecksflächen von berührt, hinzugefügt wird. ˜ ∆ ˜ ∆ Nicht alle Tetraederzerlegungen sind shellable. Z.B. zwei Tetraeder die sich nur an einem Knoten oder einer Kante berühren, sind nicht shellable. Definition 5: Eine Tetraederzerlegung heißt regulär, falls folgendes gilt: 1) ∆ ist shellable, oder 2) ∆ kann aus einer regulären Tetraederzerlegung entstehen, indem eine reguläre Lücke oder regulären Hohlraum erzeugt wird. Ina Ehmann Tetraederzerlegung

4. Euler Formeln VI, VB Anzahl der inneren Knoten und Knoten am Rand Die Euler Formeln beschreiben die Beziehungen zwischen der Anzahl der Knoten, Kanten und Flächen in einer Tetraederzerlegung ∆ VI, VB Anzahl der inneren Knoten und Knoten am Rand EI, EB Anzahl der inneren Kanten und Kanten am Rand FI, FB Anzahl der inneren Flächen und Flächen am Rand N Anzahl der Tetraeder von ∆ Ina Ehmann Tetraederzerlegung

4. Euler Formeln N = 1 + α1 + α2 + α3 FI = α1 + 2α2 + 3α3 Satz 1: ∆ sei eine shellable Tetraederzerlegung. Wir erzeugen ∆ indem wir mit einem Tetraeder anfangen und ein Tetraeder nach dem anderen hinzufügen, so dass die Anzahl der Tetraeder, die die vorherige Zerlegung an exakt i Flächen berühren αi ist mit i= 1, 2, 3. N = 1 + α1 + α2 + α3 FI = α1 + 2α2 + 3α3 FB = 2α1 - 2α3 + 4 EI = α2 - 3α3 EB = 3α1 - 3α3 + 6 VB = α1 – α3 + 4 VI = α3 Ina Ehmann Tetraederzerlegung

4. Euler Formeln Beweis: zu 1) N = 1 + α1 + α2 + α3 Wir fangen mit einem Tetraeder an und notieren die Anzahl αi wie oft wir ein Tetraeder hinzufügen, das genau i Flächen berührt, so dass die gesamte Anzahl von Tetraeder N = 1 + α1 + α2 + α3 ist. zu 2) FI = α1 + 2α2 + 3α3 Jedesmal, wenn wir ein Tetraeder zu einer shellable Tetraederzerlegung hinzufügen, welches genau i Flächen berührt, steigt die Anzahl von inneren Flächen mit i. Also FI = α1 + 2α2 + 3α3 Rest analog. □ Ina Ehmann Tetraederzerlegung

4. Euler Formeln Diese Gleichungen können auf verschiedene Arten kombiniert werden, so dass sich verschiedene Beziehungen zwischen der Anzahl der Knoten, Kanten und Flächen zeigen. Satz 2: Sei ∆ einen shellable Tetraederzerlegung. Dann gilt: 1) N = EI + VB – VI – 3 2) N = FI /2 + FB /4 3) EB = 3VB – 6 4) FB = 2EB – 3 Ina Ehmann Tetraederzerlegung

4. Euler Formeln Tetraederzerlegung Beweis: Aus den Gleichungen aus Satz 1 folgt sofort: α3 = VI VB = α1 - α3 + 4 VB = α1 - VI + 4 α1 = VB + VI – 4 EI = α2 + 3α3 EI = α2 + 3VI α2 = EI – 3VI Zu 1) N = EI + VB – VI – 3 N = 1 + α1 + α2 + α3 = 1 + VB + VI – 4 + EI – 3VI + VI = EI + VB – VI – 3 Rest analog. □ Ina Ehmann Tetraederzerlegung

5. Tetraederzerlegungen konstruieren 5.1 Typ-4 Tetraederzerlegungen Sei B := [a1, b1] x [a2, b2] x [a3, b3] ein Rechteckiger Raum in ℝ³ und a1 = x0 < x1 < … < xm = b1 a2 = y0 < y1 < … < yn = b2 a3 = z0 < z1 < … < zl = b3 V :={(xi, yj, zk)} und B:= {Bijk} die Menge von N:= m x n x l Teilräume Bijk := [xi, xi+1] x [ yj, yj+1] x [zk, zk+1] Lemma 1: Die Menge V kann unterteilt werden in die Menge V1 und V2, so dass alle Knoten v ∈ Vs, s ∈ {1,2} lediglich gemeinsame Kanten mit Knoten der Menge v ∈ Vt, t ∈ {1, 2} und s≠t. Wir nennen die Konten von V1,Typ-1 und die Knoten V2 Typ-2 Ina Ehmann Tetraederzerlegung

5. Tetraederzerlegungen konstruieren Abbildung 1 zeigt die Zerlegungen eines einzelnen Teilraums in 5 Tetraeder. (Typ-1 Knoten sind rot, Typ-2 Knoten sind blau.) Das Tetraeder mit der roten Flächen hat ausschließlich Knoten vom Typ-2, alle Typ-2 Knoten wurden verbunden. Die vier anderen Tetraeder besitzen genau einen Typ-1 Knoten. Abb. 1 Ina Ehmann Tetraederzerlegung

5. Tetraederzerlegungen konstruieren 5.2 Freudenthal Zerlegung Sei n ∈ ℕ und h:= 1/n ⋄ := {Q ijk := [ih, (i+1)h] x [jh, (j+1)h] x [kh, (k+1)h]; i,j,k = 0, …, n-1} ⋄ sei die regelmäßige Zerlegung des Einheitswürfels Ω = [0,1] x [0,1] x [0,1] ⊂ℝ³ V := {vijk := (ih, jh, kh)} n i,j,k=0 Definition 6: Sei △F die Tetraederzerlegung die aus ⋄ folgendermaßen entsteht: für alle 0 ≤ i,j,k ≤ n-1 wird der Würfel Qijk von den drei Ebenen y – x = (j - i)h, z – x = (k – i)h, z – y = (k – j)h geschnitten. △F wird als Freudenthal Zerlegung von Ω bezeichnet. Ina Ehmann Tetraederzerlegung

5. Tetraederzerlegungen konstruieren Freudenthal Zerlegung: Jeder Würfel wird in 6 Tetraeder zerlegt T4 T5 T6 T³ T² T1 Ina Ehmann Tetraederzerlegung

5. Tetraederzerlegungen konstruieren 5.3 Typ-6 Zerlegung Die 15 Knoten eines Würfels 8 Eckknoten 6 Flächenknoten 1 Würfelmittelpunktknoten Ina Ehmann Tetraederzerlegung

5. Tetraederzerlegungen konstruieren 5.3 Typ-6 Zerlegung 1. Verbinde den Würfelmittelpunkt mit den 8 Eckknoten  6 Pyramiden 2. Verbinde den Würfelmittelpunkt mit den 6 Flächenknoten und die Flächenknoten mit den 8 Eckknoten  4 Tetraeder welche die Pyramidenachse als gemeinsame Kante haben  24 Tetraeder Ina Ehmann Tetraederzerlegung

6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung △,△R sind zwei Tetraederzerlegungen in Ω Definition 7: △R ist eine Verfeinerung von △ falls gilt: Jeder Knoten von △ ist ein Knoten von △R Jeder Tetraeder t ∈△R ist ein Teiltetraeder von den Tetraeder T ∈ △ 6.1 Die Alfeld Verfeinerung Definition 8: Sei T := ‹v1, v2, v3, v4› , vt := (v1+v2+v3+v3)/4 der Mittelpunkt von T. Die Alfred Teilung TA von T besteht aus 4 Teiltetraeder die entstehen, indem vt mit jedem Knoten von T verbunden wird. Die Alfeld Aufteilung eines Tetraeders Ina Ehmann Tetraederzerlegung

6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung 6.2 Die Worsey-Farin Verfeinerung Definition 7: △ sei eine Tetraederzerlegung. Für jeden Tetraeder T in △ sei vT der Mittelpunkt von T und TA sei die dazugehörige Alfeld Teilung von T. Für jede innere Fläche F von △, die sich zwei Tetraeder teilen, sei vF der Punkt, in dem die Strecke, die die zwei Mittelpunkte von T verbindet, F schneidet. Für jede äußere Fläche F sei vF, der Mittelpunkt von F. Jetzt verbinden wir für jede Fläche F, vF mit den Knoten von F und mit dem Mittelpunkt vT von jedem Tetraeder, das sich die Fläche F teilt. Die daraus resultierende verfeinerte Zerlegung △WF wird Worsey-Farin Verfeinerung von △ genannt. Eine teilweise Worsey-Farin Aufteilung eines Tetraeders Ina Ehmann Tetraederzerlegung

Quellen: Tetraederzerlegung Tetraederzerlegung Lai, Schumaker Spline Functions on Triangulations Hecklin, Nürnberger, Schumaker, Zeilfelder: A local Lagrange interpolation method based on C1 cubic splines on Freudenthal partitions Matt, Nürnberger: Local Lagrange interpolation using cubic C splines on type-4 cube partitions Nürnberger, Rhein, Schneider: Local Lagrange Interpolation by Quintic C1 Splines on Type-6 Tetrahedral Partitions Ina Ehmann Tetraederzerlegung

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