Rotationsvolumina Rotationskörper entstehen durch das Drehen einer Kurve um eine Achse Das Volumen eines solchen Körpers bestimmt man durch eine Integration Beispiel: Das Volumen eines Footballs Die Zuhörer sollen über das Thema informiert werden. Es erfolgt die Definition des Begriffs Rotationskörper sowie der Hinweis, dass das Volumen eines solchen Körpers sich mittels Integration bestimmen lässt, was in der Folge gezeigt werden soll und mit einer Formel endet. Als Anwendung wird in Aussicht gestellt, das Volumen eines American Footballs durch mathematische Modellierung bestimmen zu können.

V = p×. Die Rotationsformel Rotiert eine Kurve f über dem Intervall [a;b] um die x-Achse, so kann das Volumen des entstehenden Rotationskörpers durch die aufgeführte Formel beschrieben werden. V = p×. Zunächst wird die angestrebte Formel angegeben und die Symbolik bei Unklarheiten besprochen. Die Formel kann an dieser Stelle von den Zuhörern gesichert werden. Sie wird anschließend an einfachen frei gewählten Beispielen wie f(x) = 2x und f(x) = x*x etc. ausprobiert.

Herleitung der Rotationsformel Archimedische Streifenmethode Flächenberechnung Zylinderscheiben-methode Volumenberechnung Die Archimedische Streifensummation wird als Wiederholung dargestellt und erläutert. Der Übergang von der Streifensumme zum bestimmten Integral wird als Grenzwertprozess geschildert. Das Integral wird als Fläche interpretiert. In Analogie hierzu wird nun ein Rotationskörper zunächst aus Zylinderscheiben genähert aufgebaut. Die Volumina der Zylinderscheiben ergeben sich nach der Zylinderformel. Sie werden summiert. Die Scheibensumme wird als Integral interpretiert. Die Rotationsformel ist plausibel hergeleitet.

Anwendung : American Football Informationen: Der American Football hat folgende Maße: Längsdurchmesser: 28,58 cm Querdurchmesser: 17,94 cm Aufgabe 1: Informiere Dich über die Herstellung eines Footballs. Aufgabe 2: Berechne das Volumen des Footballs. Approximiere ihn hierzu durch eine Parabel. Als Anwendung wird eine mathematische Modellierung angeboten. Die Zuhörer können nun selbständig arbeiten. Die Randkurve des Ballquerschnitts wird in ein Koordinatensystem gelegt und durch eine quadratische Parabel modelliert. Diese wird zunächst allgemein angesetzt: f(x) = ax*x+b. a und b werden aufgrund der informell gegebenen Maße bestimmt. Anschließend wird die Rotationsformel zur Volumenberechnung angewandt Eventuell wird kontrolliert, ob das Rechenergebnis plausibel erscheint.

Rechnerische Ergebnisse Gegeben: Der Ball hat einen Längsdurchmesser von 28,58 cm und einen Querdurchmesser von 17,94 cm. Die Randlinie des Balles kann durch die Parabel f(x) = -0,044 x2 + 123,12 modelliert werden. Das Volumen des Balles errechnet sich mit der Rotationsformel zu ca. V = 3850 cm3. Nach Beendigung der Rechnungen werden zunächst die Ergebnisse verglichen, bei Unklarheiten besprochen und vorgetragen.

Mathematische Modellierung Reale Anwendungsprobleme können in vielen Fällen durch virtuelle mathematische Modelle erfasst werden. Innerhalb der Modelle können Formeln entwickelt und Rechenergebnisse erzielt werden. Dann werden die im Modell gewonnenen Rechenergebnisse auf das Anwendungsproblem übertragen. Abschließend wird geprüft, ob die Resultate plausibel sind. Abschließend werden die Ergebnisse zusammengefasst. Der mathematische Modellbildungsprozess wird in einer Diskussion anhand des konkreten Vorgehens herausgearbeitet und verallgemeinert formuliert.