Semantik von UML Sequenzdiagrammen Christopher Lie (227249) Betreuer: Dr. Erika Abraham

Gliederung Einleitung Grundlagen Semantik von UML Sequenzdiagrammen Refinement Zusammenfassung

Einleitung Wir formulieren die Semantik von UML Sequenzdiagrammen mit Hilfe von Büchi Automaten. Wir zeigen die Kompositionalität der Verfeinerung.

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Grundlagen NFA Hi-level NFA Büchi Automat Safety Eigenschaft Liveness Eigenschaft

NFA NFA = Nichtdeterministischer endlicher Automat ‹Σ,S,δ,S0,F› - 5 Tupel Σ : Eingabealphabet S : Zustandsmenge δ : S × Σ × S : Übergangsrelation S0 ⊆ S : Startzustände F ⊆ S : Endzustände Akzeptiert endliche Wörter.

High-level NFA Ein Hi-Level NFA ist ein NFA, dessen Zustände Basic-NFAs oder andere nicht rekursive Hi-Level NFAs sind. Transitionen von Hi-Level NFAs werden mit ℇ beschriftet.

Büchi Automat Ein Büchi Automat ist ein endlicher Automat der unendliche Wörter akzeptiert. Akzeptanzbedingung: Unendlich viele Endzustände besuchen

Liveness Eigenschaft P Safety Eigenschaft P P ist eine Eigenschaft, die besagt, dass etwas Schlechtes nicht passiert. ∀α∈Σωτ.α⊨P ↔ ∀i >0. ∃β∈ Σωτ. α[1..i]β ⊨P Liveness Eigenschaft P P ist eine Eigenschaft, die besagt, dass irgendwann etwas Gutes passiert. ∀α∈Σ*τ. ∃β ∈ Σωτ. αβ ⊨P

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Semantik v. UML Sequenzdiagrammen High SD High NFA Positive NFA Negative NFA „Liveness“ Büchi „Safety“ Büchi x Semantik

Sequenzdiagramme

Partielle Ordnung →NFA

Partielle Ordnung →NFA Sei P := Potenzmenge der Aktionen A, Dann definiert man P' := {p ∈ P|∀i, j. i ∈ P ∧ j < i ⇒ j ∈ P}. Schließlich definieren wir die Transitionen: T := {t ∈ P' × A × P' | b = a ∪ {e} ∧ t = (a, l(e), b) }. Endzustand ist A.

High SD zu High NFA

Negativer & positiver NFA Negativer NFA Positiver NFA

Flattening vom negativen NFA

Flattening vom positiven NFA

Negativer NFA → Safety Büchi N = Negativer Büchi Automat Sei B = ¬N Reduziere B Mache alle Zustände akzeptierend →Safe(B)

Negativer NFA → Safety Büchi

Positiver NFA → Liveness Büchi P = Positiver Automat NFA P → Büchi Automat A Reduziere A Live(A) = A ∪ ¬Safe(A)

Positiver NFA → Liveness Büchi

Semantik von SD Definition: Sei S SD, Sl = Live(pos(S)), Ss = Safe(¬neg(S)) dann L(S) = L(Sl × Ss). Theorem: L(S) = L(Sl) ∩ L(Ss)

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Refinement Definition : Seien S1 und S2 Sequenzdiagramme. S1 verfeinert S2 wenn L(S1) ⊆ L(S2) Satz : Seien S1 und S2 Sequenzdiagramme. Für i = 1,2 seien Pi = pos(Si) und Ni = neg(Si). Dann S1≼S2 wenn gilt: L(N2) ⊆ L(N1) und Rej(L(P2)) ⊆ Rej(L(P1)), wobei Rej(L(A)) = Safe(L(A)) – L(A)

Refinement SD1SD2 ≼ SD1 SD2SD3 ≼ SD2 ⇒ SD1(SD2SD3) ≼ SD1(SD2)

Refinement Korollar : Sei S,T,U Sequenzdiagramm, L(pos(S)) ∩ Rej(L(pos(T))) = L(pos(T)) ∩ Rej(L(pos(S))) = Ø, dann SU ≼ S; S+ ≼ S; S+T ≼ S und S+T ≼ T; S||T ≼ S und S||T ≼ T. T ≼U ⇒ST ≼ SU; S ≼T ⇒ (S)* ≼ (T)*; T ≼U ⇒S+T ≼ S+U und T+S ≼ U+S; T ≼U ⇒S||T ≼ S||U und T||S ≼ U||S.

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Zusammenfassung Wir haben die Semantik von SDs mit Hilfe von Safety und Lifeness Eigenschaften bestimmt. Wenn man ein SD verfeinert, dann verfeinert man auch dessen Semantik.

Refinement

NFA → Büchi Automat