Friedhelm Meyer auf der Heide 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Notationen A = ist eine endliche, nichtleere menge,

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1 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Notationen A = ist eine endliche, nichtleere menge, ein sog. Alphabet. ist die Menge aller Worte der Länge n über A. besteht nur aus dem leeren Wort.

2 Friedhelm Meyer auf der Heide 2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Notationen ist eine Sprache über A, Ihr Komplement

3 Friedhelm Meyer auf der Heide 3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Formalisierungen des Begriffs Algorithmus -Programmiersprache mit vollständiger, formaler Syntax- und Semantik-Beschreibung, z.B. Java, C, Pascal, Algol - zu kompliziert, um formal zu argumentieren – -einfache Rechenmodelle oder Kalküle, die das gleiche können wie z. B. Java-Programme Turingmaschinen, Registermaschinen, -Rekusivität, uniforme Schaltkreisfamilien, …

4 Friedhelm Meyer auf der Heide 4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Turingmaschinen

5 Friedhelm Meyer auf der Heide 5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Turingmaschinen Eine (deterministische 1-Band) Turingmaschine (DTM) ist beschrieben durch M = (Q, ). Dabei sind Q, endliche, nichtleere Mengen. 1.Q ist die Zustandsmenge. s, der Startzustand, q accept, der akzeptierend Zustand, und q reject, der ablehnende Zustand, sind in Q, q accept und q reject sind verschieden. 2. ist das Eingabealphabet, das Bandalphabet. t und sind in, aber nicht in 3 Q - {q accept, q reject } Q {R, L} ist die Übergangsfunktion. 4. Das Startsymbol ist die linke Begrenzung des Bandes, es wird nie gelöscht oder an anderer Stelle geschrieben, es wir nie versucht, Zellen links von ihm zu benutzen.

6 Friedhelm Meyer auf der Heide 6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Konfiguration Momentaufnahme einer TM Bei Bandinschrift ( beginnt mit, hinter nur t, Zustand q, Kopf auf erstem Zeichen von : Konfiguration k = q

7 Friedhelm Meyer auf der Heide 7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Nachfolgekonfiguration K 1, K 2 seien Konfigurationen, K 1 = q, K 2 = q K 2 ist direkte Nachfolgekonfiguration von K 1, K 1 ` K 2, falls gilt: K 2 entsteht aus K 1 durch Ausführung des (eindeutigen) in K 1 erlaubten Rechenschritts. Welcher ist das? (Sei = a, = b ) (q, b) = (q, b, R), falls K 2 = b q oder (q, b) = (q, b, L), falls K 2 = q a b

8 Friedhelm Meyer auf der Heide 8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Rechnungen -K 0 ` K 1 ` … ` K i ist eine Rechnung der Länge i, -K i ist i-te Nachfolgekonfiguration von K 0, K 0 K i -Falls K für irgendein i die i-te Nachfolge- konfiguration von K ist: K K

9 Friedhelm Meyer auf der Heide 9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Akzeptieren, Entscheiden - Startkonfiguration von DTM M gestartet mit -M akzeptiert -M lehnt ab Def:

10 Friedhelm Meyer auf der Heide 10 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Entscheidbar, rekursiv aufzählbar, berechenbar

11 Friedhelm Meyer auf der Heide 11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Beispiel