Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik Elliptische Funktionen Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005

Gliederung Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche -Funktion

Ausgangspunkt: Elliptische Integrale Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Ausgangspunkt: Elliptische Integrale Berechnung der Länge von Ellipsenbögen Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. Fagnano): Abel: Umkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit C Offensichtlicher reeller Periode Verborgener komplexer Periode Doppelt periodisch!

Neuer Zugang zu elliptischen Integralen: Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Neuer Zugang zu elliptischen Integralen: Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten Weierstrass (1862/1863): Vorlesung mit rein funktionentheoretischer Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen Ausgangspunkt: -Funktion (spezielle elliptische Funktion) Genügt Differentialgleichung Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion in und

Elliptische Funktionen

Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Definition: Eine Teilmenge L с heißt Gitter, wenn es zwei R-linear unabhängige „Vektoren“ ω1 und ω2 in gibt, so dass gilt: C C Re Im ω1 ω2 ω1+ω2 -ω1 -ω2

Bezeichnung: doppelt periodisch Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Definition: Eine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Bezeichnung: doppelt periodisch Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“:

Geometrisches Modell: Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Der Periodentorus Re Im ω1 ω2 ω1+ω2 Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist in der „Grundmasche“ codiert Geometrisches Modell: ω1 ω2 ω1+ω2 a b a b a b

f hat in a einen Pol der Vielfachheit n Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Definition: Die Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibt Dabei: f hat in a einen Pol der Vielfachheit n Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1

Die Weierstrass‘sche -Funktion

Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion Ord(f) = 1 Ord(f)= 2 Zwei Pole 1.Ordnung Einen Pol 2. Ordnung Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt! Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!

Problem: Keine absolute Konvergenz! Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Denkbarer Ansatz: Problem: Keine absolute Konvergenz! Beweis: Für z=0, L=Z+Zi, gilt für ω=m+ni: 1. Hilfssatz: Die Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist

2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung 2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe konvergiert für s>2. Idee (Weierstrass): Einführung von konvergenzerzeugenden Summanden 3. Hilfssatz: Sei M с L\{0} eine Menge von Gitterpunkten. Die Reihe konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar.

Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch definierte Funktion heißt Weierstrass‘sche -Funktion zum Gitter L Abbildung: Die Weierstrass‘sche -Funktion und ihre Ableitung

Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L In ganz C meromorph Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L In ganz C meromorph Pole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten Außerhalb von L analytisch Gerade, also Laurententwicklung um z0=0:

Satz: Charakterisierung der -Funktion Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Satz: Charakterisierung der -Funktion Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2 Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3 Ungerade:

Satz: Nullstellen von : Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Satz: Nullstellen von : Ein Punkt a Є C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt: Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L Nullstellen von : Halbwerte der -Funktion:

Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral  Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“ Erinnerung: Laurentreihe der -Funktion Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:

Induktion nach n liefert für n>1: Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Induktion nach n liefert für n>1: Und damit:

konvergiert absolut, und es gilt: Eisenstein-reihen Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Satz: Die Reihe konvergiert absolut, und es gilt: Eisenstein-reihen

Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion Ziel: Stelle als Polynom in dar

Elliptische Funktion ohne Pole Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Elliptische Funktion ohne Pole Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140G6 sein.

Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche - -Funktion Einführung Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!