Mathematik Vertiefungskurs ZPG II C. Messner & R. Ordowski Mathematik Vertiefungskurs Herbst 2011 „Ich habe eben die Ergebnisse in Mathe bekommen, gerade mit 3,3 geschafft. Was mich aber aus der Fassung gebracht hat, ist die Tatsache, dass 3/4 des Gesamtjahrgangs (Maschinenbau) durchgefallen ist. Jetzt weiß ich, warum alle vor Mathe Schiss haben. Das muss man sich echt auf der Zunge zergehen lassen: 3/4 von 500 Studenten müssen die Klausur noch mal schreiben, wenn die nicht bestanden wird, dann sieht es echt düster mit dem Studium aus“.

Erster vorläufiger Bildungsplan ZPG II C. Messner & R. Ordowski Erster vorläufiger Bildungsplan Herbst 2011 Jahrgangsstufe 11 : Verbindlicher Teil (21 Wochen) (1) Einführung in die Aussagenlogik (4 Wochen) (2) Einführung in Beweisverfahren (3Wochen) (3) Gleichungen und Ungleichungen lösen (5Wochen) (4) Folgen, Reihen, Konvergenz (6 Wochen) (5) Mengen, Relationen, Graphen l (3 Wochen) Jahrgangsstufe 12 : Verbindlicher Teil (11 Wochen) (1) Mengen, Relationen, Graphen ll (3 Wochen) (2) Parameterdarstellung und Polardarstellung (4 Wochen) (3) Komplexe Zahlen (4 Wochen) Jahrgangstufe 11 und 12: Beispiele für Wahlmodule (1) Integrationstechniken (2) Zahlentheorie und Kryptographie (3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen

Vorschlag RPF Pflichtmodule ZPG II C. Messner & R. Ordowski Vorschlag RPF Pflichtmodule Herbst 2011 1. Komplexe Zahlen Gauß’sche Zahlenebene, Rechnen mit komplexen Zahlen, Lösen von Gleichungen   2. Weiterführung der Funktionsuntersuchungen Gleichungslehre Rationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen Umkehrfunktionen Differentiations- und Integrationstechniken   3. Vertiefte Untersuchungen von Folgen und Reihen Konvergenz vollständige Induktion rekursive Folgen arithmetische und geometrische Folgen und Reihen. 

Vorschlag RPF Wahlmodule ZPG II C. Messner & R. Ordowski Vorschlag RPF Wahlmodule Herbst 2011    1. Zahlentheorie und Kryptographie Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung Rechnen mit Restklassen Verschlüsselungsverfahren 2. Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen Potenzreihen, Konvergenzradius Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen   3. Weiterführung der Stochastik bedingte Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsverteilungen Markoff-Ketten 4. Elemente der linearen Algebra Matrizenrechnung Abbildungen

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung (Empfehlung der Regierungspräsidien) Herbst 2011 Leitgedanken Einführung in besondere Denk- und Arbeitsweisen mit Schwerpunkt auf begrifflichen Strukturen und hierarchischen Verknüpfungen Vertieftes Kennenlernen und aktives Anwenden von ausgewählten inhaltlichen und fachmethodischen Grundlagen Ausbau der Rechenfertigkeiten Kennenlernen grundlegender Beweisverfahren Treffen begründeter Studienentscheidungen Geschichtliches

Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung ZPG II C. Messner & R. Ordowski Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung Herbst 2011 Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler können grundlegende mathematische Begriffe, Notationen und Konzepte verstehen und anwenden, komplexe symbolische Rechnungen ohne Hilfsmittel ausführen, Beweise nachvollziehen und Beweisverfahren in einfachen Fällen auf neue Sachverhalte übertragen.

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Pflichtmodule Herbst 2011 Aussagenlogik und Beweistechniken Aussage, Existenz- und Allquantor, Verknüpfung von Aussagen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz), Beweise mit Wahrheitstabelle, aussagenlogische Gesetze; Voraussetzung, Behauptung, Satz, Umkehrsatz, Kontraposition, notwendige und hinreichende Bedingung, direkter und indirekter Beweis, vollständige Induktion Vertiefung der Gleichungslehre Definitionsmenge, Lösungsmenge, Äquivalenzumformungen, Bruchgleichungen , Wurzelgleichungen, Polynomdivision, Betragsgleichungen, Ungleichungen

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Pflichtmodule Herbst 2011 (3) Folgen und Reihen Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz, Konvergenzsätze (4) Komplexe Zahlen Gauß‘sche Zahlenebene, Rechnen mit komplexen Zahlen, auch Polardarstellung, Lösen von Gleichungen

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Wahlmodule Herbst 2011 (1) Weiterführung der Funktionsuntersuchungen Rationale, trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktionen, Differentiations- und Integrationstechniken (2) Zahlentheorie und Kryptographie Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung, Rechnen mit Restklassen, Verschlüsselungsverfahren (3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen Konvergenzradius, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und Fourierreihen (4) Weiterführung der Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Markoffketten (5) Elemente der Linearen Algebra Matrizenrechnung, Abbildungen

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Kontakt ILIAS Herbst 2011 Die ILIAS-Plattform der Universität Stuttgart (Integriertes Lern-,Informations- und Arbeitskooperations-System) http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/schuelerzirkel/matheplus.html Anmeldung: (1) Name auf die Liste oder Nachweis der Schule (2) e-mail an Peter.Lesky@math.uni-stuttgart.de  

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Zertifikat Herbst 2011 Freiwillige zentrale Zertifikatsklausur am Freitag, den 27.9. an den Universitäten Konstanz, Freiburg, Tübingen, Ulm, Karlsruhe, Stuttgart, Heidelberg Ausstellung eines Zertifikats

Beispiel für Klausuraufgaben ZPG II C. Messner & R. Ordowski Beispiel für Klausuraufgaben Herbst 2011 Aussagenlogik und Beweisverfahren (ohne Hilfsmittel) Vollständige Induktion: (1) (leicht) (2) (mittelschwer) Lösung: ….

Beispiel zu Klausuraufgaben ZPG II C. Messner & R. Ordowski Beispiel zu Klausuraufgaben Herbst 2011 Konvergenz (1) Gegeben ist die Folge Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge. Geben Sie die Definition der Konvergenz an. Beweisen Sie für die oben angegebene Folge und den von Ihnen gefundenen Grenzwert a, dass die Definition der Konvergenz erfüllt ist. (mittel) Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert durch Anwendung der Sätze über konvergente Folgen (schwer)

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Zertifikatsklausur Herbst 2011 Die Probeklausur…..

Unterrichtsumsetzung ZPG II C. Messner & R. Ordowski Unterrichtsumsetzung Herbst 2011 Komplexe Zahlen Folgen Vollständige Induktion Funktionen: Reelle Funktionen, ganzrationale Funktionen, Polynome, Nullstellen (auch doppelte, dreifache,…), Linearfaktorzerlegung, Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen, Umkehrfunktionen Integrationsmethoden Partielle Integration, Integration durch Substitution

Andere Unterrichtsgänge (1) ZPG II C. Messner & R. Ordowski Andere Unterrichtsgänge (1) Herbst 2011 Folgen Explizite und rekursive Folgen, arithmetische und geometrische Folgen, Fibonacci-Folge, Heron- und Newtonverfahren Vollständige Induktion Summenformeln, Teilbarkeit, n-te Ableitung Eigenschaften von Folgen Konvergenz, Monotonie, Beschränktheit Reihen arithmetische und geometrische Reihe, einfache Konvergenzbetrachtungen bei der harmonischen Reihe, Paradoxon von Zenon Integrationsmethoden Substitution, partielle Integration, Kombination der Verfahren (Kreis) Taylorreihe

Andere Unterrichtsgänge (2) ZPG II C. Messner & R. Ordowski Andere Unterrichtsgänge (2) Herbst 2011 Ableitung: Beweis der Potenzregel für ganze Zahlen Zahlbereichserweiterung (z = a + ib) Addition, Subtraktion, Multiplikation Nullstellen von Polynomen; Linearfaktorzerlegung Polynomdivision; Exkurs in die gebrochenrationalen Funktionen (Asymptoten - Anwendung der Polynomdivision) Lösungen in C Division komplexer Zahlen; konjugiert komplexe Zahl Darstellung komplexer Zahlen in der Gauß‘schen Zahlenebene Polarkoordinaten einer komplexen Zahl; Euler-Formel Mandelbrotmenge und Julia-Menge Taylor-Polynom des Sinus und Cosinus Begründung der Euler-Formel mit (8) Approximation der Zahl e Ableitung der Umkehrfunktion Beweis der Euler-Formel ohne Taylorreihen; dazu braucht man die vollständige Induktion

Andere Unterrichtsgänge (3) ZPG II C. Messner & R. Ordowski Andere Unterrichtsgänge (3) Herbst 2011 Komplexe Zahlen _________________________________________________________ Funktionen und Gleichungen Algebraische Gleichungen - ganzrationale Funktionen Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung, Beweise mit dem Fundamentalsatz, transzendente und algebraische Zahlen (auch deren Anzahl – Cantor), abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich, gleichmächtige Mengen, Bijektion, Newton-Verfahren, Horner-Schema Gebrochenrationale Funktionen Definition und Asymptoten, Quotientenregel, Integration durch Partialbruchzerlegung Exponentialfunktionen – Hyperbelfunktionen Umkehrfunktion, injektiv, Ableitung der Umkehrfunktion, Produktintegration, Integration durch Substitution, hyperbolische Funktionen, Bogenlänge

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 Der Einstieg…..

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 Zahlbereichserweiterungen: Ein paar Rechenaufgaben zum Warmwerden Satz 1: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt mindestens eine weitere rationale Zahl. (erster Beweis) Die rationalen Zahlen liegen dicht. Hilfssatz: Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden ganzen Zahl ist ungerade. (erster eigenständiger Beweis) Satz 2: ist keine rationale Zahl (indirekter Beweis)  

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Vorgehensweise Herbst 2011 Hilfssatz: Das Quadrat jeder geraden ganzen Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden ganzen Zahl ist ungerade.   Tipp: Jede gerade ganze Zahl lässt sich in der Form , jede ungerade ganze Zahl lässt sich in der Form darstellen.     Beweis des Hilfssatzes:

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 2. Komplexe Zahlen z = a + ib Definition von i Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Einschub: binomische Formeln, Wdh DG, Rechnen mit Wurzeln (teilweise Radizieren, Nenner rational machen – auch mit 3. binomischer Formel) 3. Konjugiert komplexe Zahlen Definition und Lage im Koordinatensystem Die Rollen von i und –i Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 4. Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene Darstellung der Zahl z als Punkt oder Ortsvektor, Polarkoordinaten Betrag einer komplexen Zahl, insbesondere Lösungen von zn = a Trigonometrische Form einer komplexen Zahl 5. Einschub: Beweis der Additionstheoreme zur Vorbereitung der Multiplikation

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 5. Multiplikation und Division in Polarkoordinatendarstellung Geometrische Deutung als Drehung bzw. Drehstreckung 6. Einschub: Folgen und Vollständige Induktion Die Türme von Hanoi (explizite und rekursive Darstellung) Gauss Summe, Summe aller geraden Zahlen (ungeraden Zahlen, Quadratzahlen) Summenzeichen 7. Potenzen komplexer Zahlen Potenzen einer Zahl z auf dem Einheitskreis Formel von Moivre mit vollständiger Induktion bewiesen geometrische Lage von Potenzen z,z2,z3,…,zn (Kreis, Spirale)  

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 8. Wurzeln n-te Einheitswurzeln und Kreisteilungsgleichung zn = 1 n-te Wurzeln als Eckpunkte eines regulären n-Ecks 9. Funktionen in C Lineare Funktionen: Translation f(z) = z + b Drehstreckung f(z) = Allgemein: f(z) = Komplexwertige Folgen: (Mandelbrotmenge, Fraktale) Physikalische Anwendung: Beschreibung von Kreisbewegungen, Wechselstrom 10. Lösungen algebraischer Gleichungen (Geschichtliches)

2000 v. Chr. Babylonier 300 v. Chr. Euklid   2000 v. Chr. Babylonier   300 v. Chr. Euklid   Noch keine negativen Zahlen, keine Wurzeln, daher viele Fallunterscheidungen Euklid Euklids Elemente oder Die Elemente ist eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur.

  16.Jahrhundert   1540 - 1603 F. Vieta   François Viète Sohn eines angesehenen Rechtsanwaltes Étienne Viète geboren. Er stammte aus wohlhabenden bürgerlichen Verhältnissen. Viète besuchte eine Klosterschule und begann mit 18 Jahren Rechtswissenschaften in Poitiers zu studieren mit der Absicht, eine Universitätslaufbahn einzuschlagen. Nach dem Studium ließ er sich in seiner Heimatstadt als Advokat nieder. Mathematik für Viète eigentlich nur eine Nebenbeschäftigung, trotzdem wurde er einer der wichtigsten und einflussreichsten Mathematiker seiner Zeit und. Er wird manchmal auch „Vater der Algebra“ genannt, da er das Rechnen mit Buchstaben in der Neuzeit einführte und systematisch Symbole für Rechenoperationen benutzte. Er war Ratgeber der Könige Heinrich III. (1551–1589) und Heinrich IV. (1553–1610), für die er unter anderem abgefangene Botschaften des Kriegsgegners Spanien entschlüsselte. Doch  wie  stand  es  nun  mit  Gleichungen  höheren  Grades? Der Franziskanermönch  Luca  Pacioli  (1445-­1514)  hatte 1494  in  seinem Werk  zur  Mathematik  noch  behauptet,  Gleichungen  der  Form  x^3+px+q=0önnten   rechnerisch  nicht  aufgelöst  werden.

1500 -1557 N. Tartaglia 1501 - 1576 G. Cardano  Cardanosche Formeln   1500 -1557 N. Tartaglia   1501 - 1576 G. Cardano Niccolo  Tartaglia  war  Rechenmeister  in  seiner Heimatstadt  Brescia  sowie  u.a.in Verona  und  Venedig.  Anlässlich  eines  Rechenwettstreits  beschäftigte  er sich intensiv  mit  dem  Lösen  kubischer  Gleichungen.   Die  von Tartaglia  gefundene Lösungsformel  für  derartige  Gleichungen   ist  heute unter  dem Namen  cardano sche Formel  bekannt.   Diese  Formel  brachte  erstmals  grundsätzlich  neue  Ein­sichten  über  algebraische  Gleichungen über den antiken  Kenntnisstand  hinaus Gerolamo  Cardano  war  italienischer  Mathematiker,  Philo­soph  und  Arzt  und  gilt  als  einer der großen  Universalge­lehrten  der  Hochrenaissance. Gerolamo  Cardano  arbeitete  auf  dem  Gebiet  der Algebra und  beschäftigte   sich  insbesondere  mit  dem  Lösen  kubischer  Gleichungen.  Die  nach ihm benannte Lösungsformel   (die  cardanische  Formel)  stammt  vom  venezianischen  Re­chenmeister  Niccolo  Tartaglia. Es kam deswegen zu einem hässlichen Plagiatsstreit, der sehr massiv ausgetragen wurde. Cardanos   Verdienste   um   die  Entwicklung   der  Algebra sind  unbestritten.  In einer Zeit,  in  der  man  bei  Gleichungen  negative  Glieder  vermied,  rechnete  er  unbekümmert mit  komplexen  Zahlen. In seinem Buch,  das  erst  1545  erschien, enthält  die  erste  Enthüllung  der  Prinzipien  zum Lösen von  kubischen  und  biquadratischen  Gleichungen. „Klaut“ diese Formeln  Cardanosche Formeln

  1522 – 1565 L. Ferrari   1802 -1829 N.H. Abel   Ludovico Ferrari wurde 1536 im Alter von 14 Jahren als mittelloses Waisenkind von Gerolamo Cardano wie ein Sohn in dessen Haushalt aufgenommen. Ferrari, der keinerlei schulische Ausbildung erhalten hatte, wurde von Cardano nach eigener Beschreibung in Latein, Griechisch und Mathematik unterrichtet. Er fand unter Anleitung von Cardano die Auflösung der Gleichungen vierten Grades. Cardano veröffentlichte 1545 diese Lösung zusammen mit seiner Lösung zu kubischen Gleichungen in seinem Werk Ars magna de Regulis Algebraicis. Ferrari führte daraufhin stellvertretend für Cardano den heftigen Streit mit dem Rechenmeister Tartaglia, wer als erster die Lösung für quadratische und kubische Gleichungen gefunden hatte. Der Streit führte am 10. August 1548 zu einer öffentlichen Diskussion über die Gleichungen zwischen den beiden Kontrahenten. Da Tartaglia selbst Cardanos Schüler Ferrari hoffnungslos unterlegen war, verließ er Mailand fluchtartig in der folgenden Nacht. Ferrari hielt in der Folgezeit öffentliche Vorlesungen über Mathematik in Mailand und trat von 1548 bis 1556 in die Dienste des Kardinals Gonzaga von Mantua. 1564 wurde er Professor für Mathematik in Bologna, vermutlich auf Betreiben Cardanos, der ab 1563 dort eine Professur für Medizin innehatte. Jahrhunderte lang kam man trotz der Bemühungen namhafte Mathematiker (Gauß) nicht weiter. Um 1800 war man überzeugt, dass eine Lösung der Gleichung 5. Grades nicht möglich sei. Der Beweis gelang dem jungen Mathematiker Niels Henkrik Abel. Niels Henrik Abel wurde am 5. August 1802 auf Finnöy in Südwestnorwegen als Sohn eines Landpastors geboren. Aufgrund großer finanzieller Probleme wurde Abel anfangs von seinem Vater unterrichtet. Mit großen Schwierigkeiten gelang es dann doch, Niels Henrik Abel und seinen Bruder an der Domschule in Oslo unterzubringen, wo sie finanzielle Unterstützung erhielten. Als ein Mitschüler Abels an den Folgen einer Mißhandlung durch den Lehrer verstarb, folgte diesem Bernt Michael Holmboe nach, welcher Abels mathematisches Talten erkannte, und ihn ermutigte Werke von Poisson, Gauß, Newton, d�Alembert und Lagrange zu studieren. Er bahnte sich den Weg zu zentralen Fragen mathematischer Forschung als Autodidakt. Schon bald begann Abel, eigene Untersuchungen anzustellen. Seine Ergebnisse konnten von Norwegens Mathematikern jedoch weder bestätigt noch widerlegt werden, und so entbrannte eine öffentliche Diskussion, die Abel großes Ansehen brachte, sodaß er 1821 an der Universität Oslo immatrikulieren konnte. 1823 reiste er nach Kopenhagen, wo er im selben Jahr selbständig entdeckte, dass die Auflösung der Gleichung fünften Grades in Radikalen unmöglich ist. 1824 wurde seine erste Abhandlung im "Magazin for Naturvidenskaben" publiziert. Nachdem er in seiner Heimat keine Hilfe auf einem höheren Niveau erhalten konnte, begann er 1825 eine Studienreise durch Europa, welche ihm durch ein Stipendium von Professor Hansteen ermöglicht wurde. 1826 erschien die erste Ausgabe des von Crelle herausgegebenen Journals für reine und angewandte Mathematik, welches zwei Artikel von Abel enthielt, unter anderem die Abhandlung "Beweis der Unmöglichkeit der algebraischen Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen, welche den vierten Grad übersteigen". Im Herbst 1826 hielt er sich in Paris auf, wo er jedoch keinen Zugang zur Akademie erhielt, da die französischen Mathematiker zu sehr von sich selbst eingenommen waren. Am 30. Oktober 1826 überreichte Abel der Pariser Akademie seine "Untersuchung über eine allgemeine Eigenschaft einer sehr verbreiteten Klasse transzendenter Funktionen", die das sogenannte "Abelsche Theorem" enthielt. Cauchy wurde beauftragt, ein Gutachten anzufertigen, doch war ihm die Arbeit Abels zu lange und er verlegte das Manuskript. Erst weit nach Abels Tod konnte durch eine offizielle diplomatische Aktion das Manuskript wiedergefunden werden. 1827 kehrte er enttäuscht über die französischen Mathematiker nach Oslo zurück, wo er erkrankte. 1828 publizierte er bedeutende Arbeiten über elliptische Funktionen. Am 6. April 1829 starb er in Froland. Zwei Tage nach seinem Tod hätte er, durch Fürsprechen von Gauß und Crelle, an der Berliner Universität eine Professur zugesprochen bekommen. Mit Abel endet die klassische Algebra, die sich mit dem Auflösen von Gleichungen befasste.

Letzte Zusammenfassung in der Nacht vor seinem tödlichen Duell.   1811 - 1832 E. Galois Formulierte Bedingungen, mit denen sich für jede gegebene Gleichung beliebigen Grades entscheiden lässt, ob sie auflösbar ist. Verknüpfte die Theorie der Gleichungen mit dem Gruppenbegriff Galoistheorie Letzte Zusammenfassung in der Nacht vor seinem tödlichen Duell. 1777 - 1855 C.F. Gauß   Evariste Galois wurde am 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine als Sohn eines Internatsdirektors geboren. Er begeisterte sich als Schüler nach der Lektüre eines Buches von Legendre für die Mathematik. Danach las er mit großem Enthusiasmus die Werke von Lagagrange, Gauß und Abel. 1828 und 1829 scheiterte er zweimal an der Aufnahmsprüfung der Ecole polytechnique. 1829 veröffentlichte Galois erste mathematische Abhandlungen. 1830 wurde er in die Ecole Normale Superieure aufgenommen. Im selben Jahr trat er in die Nationalgarde ein, um einen Teil der Armee republikanisch zu unterwandern. 1831 hielt er Algebrakurse und reichte ein Manuskript bei der Französischen Akademie ein, welches ihm mit der Begründung, es sei nicht klar genug formuliert, wieder zurückgegeben wurde. In dieser Arbeit ordnete Galois jeder algebraischen Gleichung eine eindeutig bestimmte Permutationsgruppe zu, an welcher man die Haupteigenschaften der Gleichung ablesen kann. Damit hatte Galois die Lösung eines jahrhundertealten Problems gefunden, jedoch mit Methoden und Überlegungen, die der Mehrzahl der damaligen Mathematiker fremdartig vorgekommen war. Im Laufe des Jahres wurde er zweimal wegen revolutionärer Auftritte verhaftet. Im Gefängnis Sainte-Pélage erhielt er von der Akademie die Nachricht, ein von ihm eingereichtes Manuskript über die Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen sei nicht genügend klar und nicht genügend durchgeführt und werde ihm deswegen mit der Bitte um nährere Erklärungen und ausführliche Darstellungen zurückgegeben. Die Antwort der Akademie war verständlich, besonders im Hinblick auf den extrem knappen, beinahe aphoristischen Stil von Galois und in Anbetracht des außerordentlich schwierigen, noch völlig unbekannten mathematischen Gegenstandes. Jedoch waren zwei andere, früher von Galois eingereichte Manuskripte in der Akademie verlorengegangen (Cauchy), und Galois sah mit Recht darin Überheblichkeit und gedankliche Trägheit, ja sogar Absicht und Methode. 1832 wurde er nach Absitzen seiner sechsmonatigen Gefängnisstrafe entlassen. Am 29. Mai 1832 wurde er zu einem Duell gefordert, bei dem er am Folgetag schwer verwundet wurde. Am Vorabend des Duells übergab Galois seine Unterlagen einem Freund, mit der Bitte, dieser möge sie nach seinem Tod an Jacobi oder Gauß weiterleiten. Am 31. Mai 1832 verstarb Evariste Galois an den im Duell erlittenen Verletzungen. Kanpp 40 Jahre nach dem Tod von Galois, im Jahre 1870, veröffentlichte der französische Mathematiker C. Jordan ein umfangreiches Lehrbuch über die Theorie der Substitutionen, in dem die Theorie von Galois zusammenhängend dargestellt und weiterentwickelt ist. Im Vorwort würdigt Jordan die Verdienste von Galois. Gauß….  Vermessung der Welt

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Komplexe Zahlen Herbst 2011 11. Der Fundamentalsatz der Algebra (Fassung von C.F. Gauß) Jede Gleichung der Form hat in C mindestens eine Lösung. Es gibt viele Beweise für diesen Satz.

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 Von einem der Beweise wird mithilfe von Geogebra eine Grundidee vermittelt, und zwar am Beispiel eines Polynoms vom Grad 3: Betrachtet werden zunächst die Funktionen g und h mit und .

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 Ein Kreis Kz um den Ursprung in der z-Ebene wird durch g mit w = g(z) in einen Kreis Kw um den Ursprung in der w-Ebene abgebildet. Wird Kz einmal durchlaufen, wird der Bildkreis K dreimal durchlaufen.

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 Kreis Kz um den Ursprung der z-Ebene mit dem Radius r wird durch h mit w = h(z) = iz + (4 + 3i) in einen Kreis in der w-Ebene abgebildet, der den Mittelpunkt und den Radius hat.

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 2. Die weitere Idee ist nun, dass sich die Funktion f mit wie im Reellen für große lzl = r annähernd wie g und für sehr kleine lzl = r näherungsweise wie h verhält. Verkleinert man den Radius r des Kreises Kz stetig, geht die Bildfigur 1 stetig in die Bildfigur 2 über.

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Herbst 2011

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 Großer Radius r1: Das Bild von Kz bei f ist noch eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene dreimal durchläuft.

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 Kleiner Radius r2: Das Bild von Kz bei f ist eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den Ursprung der w-Ebene nicht mehr durchläuft.

Der Fundamentalsatz der Algebra ZPG II C. Messner & R. Ordowski Der Fundamentalsatz der Algebra Herbst 2011 Verkleinert man den Radius stetig von r1 nach r2, so wird die Bildfigur aus Abb. 3 stetig in die Bildfigur aus Abb. 4 deformiert. Dann muss es mindestens einen Radius geben, bei dem die Bildkurve den Ursprung der w-Ebene trifft, d.h. aus dem zugehörigen Kreis Kz gibt es eine Zahl zo mit f(zo)=0

Folgen – ein „Proseminar“ ZPG II C. Messner & R. Ordowski Folgen – ein „Proseminar“ Herbst 2011 Definition von Folgen explizite und rekursive Folgen; arithmetische und geometrische Folgen Nullfolgen Eigenschaften von Folgen - Monotonie und Beschränktheit bei expliziten und rekursiven Folgen (vollständige Induktion) Der Grenzwert einer Folge Grenzwertsätze (Beweise) Der Grenzwert von monotonen und beschränkten Folgen (Satz und Umkehrsatz) Die Vollständigkeit der reellen Zahlen; Intervallschachtelung Geometrische Reihe Eulersche Zahl

Partielle Integration und Integration durch Substitution ZPG II C. Messner & R. Ordowski Partielle Integration und Integration durch Substitution Herbst 2011 (1) (2) 1. Versuch: also 0 = 0 ????? (3) Wie erhält man v?????

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Notenfindung Herbst 2011 Zertifikatsklausur (nicht !!) Klausur Klausur mit Skript Referate (Beweise, schwierige Aufgaben,…) Seminararbeit Planarbeit

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Probleme Herbst 2011 Notenabgrenzung gegenüber den anderen Wahlfächern (Psychologie,…) Nachmittagsunterricht / Hausaufgaben Vor allem im 2. Halbjahr längere Unterbrechungen (Unterrichtsausfall durch Studienfahrt, Konferenz, Feiertag,…) Problem der Nachhaltigkeit Unklarheit über Inhalte (Probierphase) Einige Schüler machen nicht weiter in 12 (Abitur schon im März, bereits genügend Kurse…)

Ausblick aufs nächste Schuljahr ZPG II C. Messner & R. Ordowski Ausblick aufs nächste Schuljahr Herbst 2011 Integration durch Partialbruchzerlegung Gebrochenrationale, trigonometrische, hyperbolische Funktionen und eines der Wahlmodule Zahlentheorie und Kryptographie Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen Weiterführung der Stochastik Elemente der linearen Algebra

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Rückmeldung Herbst 2011 Warum hast Du den Kurs gewählt? Waren die Inhalte verständlich? Rückwirkungen auf den normalen Matheunterricht (1) Themen noch besser verstanden (2) Wiederholung der Grundkenntnisse (3) Andere Problemlösestrategien kennengelernt (4) Anwendung einzelner Inhalte (z.B. Satz von Vieta)

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Rückmeldung Herbst 2011 Was hat Dir an diesem Kurs gefallen/nicht gefallen (1) Gute Atmosphäre (2) sich intensiv mit mathematischen Inhalten vertieft zu beschäftigen (mehr als Standard) (3) Kein Druck, dass man gleich alles verstehen muss (4) Das „Proseminar“ - die Vorträge gingen zu schnell (5) Unterricht am Nachmittag

ZPG II C. Messner & R. Ordowski Fazit Herbst 2011 Das „Proseminar“ effektiver gestalten oder ganz weglassen Aufgaben aus anderen Ländern in anderen Sprachen Warum wirst Du den Kurs nicht weiter belegen? Zu viele Aktivitäten außerhalb der Schule und frühzeitiges Abitur Werbung für neue Kurse???