|| rank-order tournaments as optimum labor contracts || Vortrag zu Lazear and Rosen (1981) || rank-order tournaments as optimum labor contracts || Von Vanessa Fürstenberg und Johanna Paskuda im Rahmen des „Prinzipal Agent Theorie Seminar“ am Lehrstuhl für Produktionswirtschaft und Controlling

Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Agenda Modellgrundlagen Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Heterogene Turniergegner 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 2

Agenda I Modellgrundlagen Fragestellung Grundlegende Annahmen des Modells 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 3

Fragestellung Entlohnung Entlohnungs-System Produktivität Stücklohn Stetige Verteilung Stücklohn (lineare Transformation) Stetige Verteilung Diskrete, binomiale Verteilung Turnier (nichtlineare Transformation) Fragestellung: Führt ein Turnier zu gleichen Leistungsanreizen? Unter welchen Bedingungen ist welches Entlohnungssystem zu bevorzugen? 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Grundlegende Annahmen des Modells Die Marktteilnehmer verhalten sich rational (Nutzenmaximierung) Betrachtung einer Periode (Karriereentwicklung, Lebenszeitproduktivität) Der AN generiert einen Output ( ) mit verursacht Kosten in Höhe von , wobei hat , die Varianz = und ist über alle AN hinweg i.i.d. verteilt Ein AN kann sein Produktivitätsrisiko nicht diversifizieren Die Produktionsfunktion besteht ausschließlich aus Additiv verknüpftem Arbeitsoutput der AN Der Manager (hier Prinzipal) ist risikoneutral (=Erwartungswertmaximierer) Freier Marktzutritt und Wettbewerb auf dem Outputmarkt Wert pro Einheit Output ist , der Wert des erwarteten Gesamtoutputs ist (1) := Arbeitsanstrengung := Zufallsvariable mit 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Agenda Modellgrundlagen Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Heterogene Turniergegner 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 6

Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Agenda II Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Stücklohn – bei risikoneutralen AN Turnier – bei risikoneutralen AN Vergleich der Entlohnungssysteme 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 7

Stücklohn Risikoneutrale AN Nutzenmaximierung der AN (risikoneutral) mit maximieren des erwarteten Einkommen: Ableiten nach gibt BEO: ( taucht nicht mehr auf, da ) freier Marktzutritt, Wettbewerb  und Nullgewinne: Grenzkosten = Wert einer Outputeinheit (Standartergebnis  Stücklohn ist effizient) Vgl. [E2.1] mit := Stücklohn := Kosten für Arbeitsanstrengung 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Turnier Risikoneutrale AN 2 AN „spielen“ gegeneinander, gleiche Kostenstruktur, Rangordnung AN maximieren: P(„j“ gewinnt): Wahrscheinlichkeit zu gewinnen hängt von den Zufallsfaktoren ab BEO: erwarteter Lohnzuwachs = Kosten für eine weitere Anstrengungseinheit und (wobei ) Mit Cournot-Nash GG kann (3) abgeleitet werden: In (4): Mit : Optimale Investitionsniveau hängt von der Differenz ab Null-Gewinn Bedingung für Firmen: erwarteter Produktwert = erwartete Kosten , (7) in (2): [E2.2-4] (2) [E2.5] (3) (4) [E2.6] (5) (6) [E2.7] (7) (9) [E2.7-8] 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Turnier Risikoneutrale AN Grenzkosten = Wert der Outputeinheit  Stücklohn, Turnier sind effizient, gleiche Ressourcenverteilung Umformung für weitere Interpretationen: winner-take-all: AN erhält den erwarteten Outputwert +/- die „Turniergebühr“ Gegensatz zu anderer Angency-Theorie: Der Anreiz zur Anstrengung gründet auf dem Bestreben das Turnier zu gewinnen Anwendungsbeispiel aus der Praxis: Gehälter von Präsident / Vice-Präsident, das des Präsidenten ist oftmals 3* so viel wie das des Vice-Präsidenten: Nicht die Fähigkeit (Anstrengung) des Präsidenten ist auf einmal so viel höher Die Anreizsetzung ist stärker bei einem solchen Vergütungsschemas  Dieses Anreizschema macht die AN produktiver auf ihr ganzes Arbeitleben hin gesehen [E2.9] (10) Als Turniereinsatz /Turniergebühr betrachtet [E2.10] 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Vergleich der Entlohnungssysteme Stücklohn und Turnier Mögliche Entlohnungssysteme Stücklohn und Turnier: Unterschiedliche Anreizsetzung, dennoch Beide pareto- optimale Ressourcenverteilung (bei risikoneutralen Parteien) Beide effiziente Lösungen Weitere Möglichkeit: Turnier nicht mit Gegner sondern Vergleich zum Standard , den es zu übertreffen gilt Gleiches Anreizschema wie beim Turnier gegen andere Alle 3 Mögl.: Gleiche Investitionspolitik, erwarteter Outputwert = erwartete Bezahlung, zielen auf gleiches Ergebnis  der gleiche erwartete Nutzen für die AN Sind deshalb in der Praxis alle Entlohnungssysteme gleich zu bewerten? Verschieden hohe Kosten für Informationen und Einschätzungen  Machbarkeit der verschiedenen Anreizschemen entscheidend Zu berücksichtigen : Kardinale Skala, Rangordnung in der der Abstand zu benachbarten Plätzen mitentscheidend, als sehr exakte Messung – wie beim Stücklohn Ordinale Skala, reine Rangordnung, ist prinzipiell schwächer - wie beim Turnier Beobachtung der reinen Rangordnung kostengünstiger  Turnier als beste Lösung  Beobachtung des exakten Outputs günstig (bsp. Vertreter)  Stücklohn optimal Potentielle Geschäftsführer nicht durch Testen in dieser Position gefunden  In niedrigeren Positionen: Leistungseinschätzungen  Einstufung = IQ Tests / Schule 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Agenda Modellgrundlagen Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Heterogene Turniergegner 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 12

Optimale Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Agenda III Optimale Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Ermittlung der optimalen Preisstruktur bei Turnieren Vergleich und Bewertung der beiden Entlohnungsformen 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 13

Ermittlung des optimalen Stücklohns (I) Die im Folgenden untersuchte Entlohnung setzt sich aus einem fixen und einem variablen Lohnanteil zusammen. Der „Bruttogewinn“ y ist damit bestimmbar als: Ziel des AG ist es, eine I,r-Kombination zu finden, die den Nutzen des AN maximiert Denkschritt 1: Der AN seinerseits wird bei gegebener I,r Kombination sein  so setzen, dass sein Nutzen maximiert wird Denkschritt 2: Da im vollkommenem Wettbewerb langfristig gilt, dass die Erlöse des AG den Kosten entsprechen, gilt hier: (11) := Variabler Lohnanteil := Stücklohn pro Outputeinheit ε ist unabhängig von  Fixer Lohnanteil [E3.1] Dichtefunktion des Lohns (13) (14) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Ermittlung des optimalen Stücklohns (II) Zur Bestimmung des optimalen r, setzen wir nun (14) in die Nutzenfunktion ein und leiten diese nach r ab Da der AN risikoavers ist und damit gilt, muss sein Da wir aus Gleichung (13) wissen, dass , wird der AG ein r wählen, dass kleiner als V ist Hiermit liegt ein Fall von Unterinvestition/Moral Hazard vor, der vom Fixlohn resultiert Nehmen wir an, dass ε normalverteilt ist, erhalten wir unter Verwendung der Taylorreihen [E3.3] die Werte: [einsetzen] [ableiten] (15) [E3.2] mit sowie (16) (15) ; ; für große 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Die optimale Preisstruktur bei Turnieren (I) Bei Turnieren konkurrieren die AN miteinander, wobei der sich durchsetzende AN den höheren Lohn und der Verlierer den niedrigeren Lohn erhält Die optimale Festlegung der beiden Lohnhöhen wird auch hier über die Maximierung der Nutzenfunktion des Arbeitnehmers ermittelt (Denkschritt 1): Denkschritt 2: Unter der Annahme, dass die Erlöse des AG im vollkommenem Wettbewerb langfristig den Kosten entsprechen, gilt hier: Denkschritt 3: Nachdem und i.i.d. verteilt sind und wir von homogenen AN ausgehen, was bedeutet, dass , impliziert das Nash-Gleichgewicht, dass Wahrscheinlichkeit für den Gewinn: mit [E3.4] ; (20) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Die optimale Preisstruktur bei Turnieren (II) Die Ergebnisse aus Denkschritt 3 eingesetzt in die abgeleitete Nutzenfunktion und aufgelöst nach ergibt [E3.5]: Aus Gleichung (21) lässt sich schließen, dass und der optimale Vertrag folgende Nutzenfunktion maximiert: Unter der Annahme, dass und normalverteilt und unkorreliert sind, erhalten wir anhand einer Approximation zweiten Grades: (21) (23) wobei ; ; für große 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Vergleich der beiden Entlohnungsformen (I) Basis des Vergleichs: Erkenntnis 1: Bei gegebenem s ist das erwartete Anstrengungsniveau bei einer Stücklohn-Entlohnung größer als im Turnier Erkenntnis 2: Für ist [E3.6] (Sicherheitsvorteil der Turniere) Stücklohn (lineare Transformation) Turnier (nichtlineare Transformation) Da Erwartungswert und Varianz von y von den individuellen Nutzenfunktionen abhängen, lässt sich eine generelle Regel für die bessere Entlohnungsform leider nicht finden. Daher soll im Folgenden anhand eines Beispiels diskutiert werden ( S. 854). 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Vergleich anhand eines Beispiels I Siehe dazu das Beispiel auf Seite 854 Das erwartete Anstrengungsniveau ist bei Personen mit gleich hohen anderweitigen Einkommen ( ) bei Anwendung der Stücklohn-Entlohnung größer als im Turnier Der Stücklohn wird in diesem Beispiel bei größeren und das Turnier bei kleineren Varianzen des Zufallsvektors präferiert Intuition: Streng risikoaverse AN möchten niedrige Löhne vermeiden und bevorzugen daher den Stücklohn, da dieser meist dem Erwartungswert entspricht, während signifikant über und signifikant unter dem Erwartungswert des Einkommens liegt Bei kleinen Varianzen des Zufallsvektors wird das Turnier bevorzugt, da die Löhne die Lohnspannbreite nach unten begrenzen (Mindestlohn = ) AN, die sich lediglich durch ihr anderweitiges Einkommen ( ) und ihrer Risikoaversion unterscheiden, suggerieren, dass mit höherem und kleinerem s Turniere bevorzugt werden ( ) AN mit kleinerem und höherer Risikoaversion bevorzugen Stücklöhne Allgemeine Auffälligkeiten Einkommensverteilung 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Vergleich anhand eines Beispiels II Der Fehlerterm soll in Anbetracht der Risikoaversion möglichst gering sein Nehmen wir nun an, dass der Output-Schätzer des i-ten AN in der Aktivität  aus folgenden Komponenten besteht: Der Output besitzt bei der Stückentlohnung somit eine Varianz von Im Turnier entfällt der aktivitätsspezifische Störterm durch den Vergleich zwischen zwei AN, sodass gilt Bemerkung: Existiert die Gefahr des Messfehlers nicht, lässt sich die Output-Varianz noch weiter auf kürzen, indem AN nicht miteinander, sondern mit einem Standard verglichen werden Fehlerstruktur Für  spezifischer und bei allen AN gleichsam auftretender Störterm. Mögliche Ursachen: Zufallsfehler (1) Aktivitätsspezifischer Messfehler (2) Performance des Unternehmens Bei großen und ausreichend risikoaversen AN können Turniere die bessere Entlohnungsform sein 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Agenda Modellgrundlagen Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Stücklohn Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Heterogene Turniergegner 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 21

Heterogene Turniergegner Agenda IV Heterogene Turniergegner Adverse Selektion Handycap Systeme 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 22

Heterogene Turniergegner Adverse Selektion Vorraussetzungen 2 AN-Typen mit unterschiedlichen Kostenstrukturen, wobei gilt 2 Ligen von Firmen: die mit guten AN (a-Typen) und die mit nicht so guten AN (b-Typen) These: AN werden sich mischen und das ist ineffizient Beweis in 2 Schritten: 1.Schritt: AN werden sich nicht selbst der richtigen Firma zuordnen Betrachte das erwartete Einkommen , beim spielen in Liga wobei P vom eigenem Anstrengungsniveau und das der anderen in dieser Liga abhängt Einsetzen von (6), (9) und (10) mit =Anstrengung der jeweils anderen in der Liga wenn dann Steigung= V Und steigtEinkommensfunkt. schneiden sich nicht  liegt südwestlich von < 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Heterogene Turniergegner Adverse Selektion Vorraussetzungen 2 AN-Typen mit unterschiedlichen Kostenstrukturen, wobei gilt 2 Ligen von Firmen: die mit guten AN (a-Typen) und die mit nicht so guten AN (b-Typen) These: AN werden sich mischen und das ist ineffizient Beweis in 2 Schritten: 1.Schritt: AN werden sich nicht selbst der richtigen Firma zuordnen Betrachte das erwartete Einkommen , beim spielen in Liga wobei P vom eigenem Anstrengungsniveau und das der anderen in dieser Liga abhängt Einsetzen von (6), (9) und (10) mit =Anstrengung der jeweils anderen in der Liga wenn dann Steigung= V Und steigtEinkommensfunkt. schneiden sich nicht  liegt südwestlich von < 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Heterogene Turniergegner Adverse Selektion 2.Schritt: Gemischte Turniere sind ineffizient Mit a-Typen und b-Typen, erwateter Nutzen eines Spielers des Typs i= a,b BEO: Für eine effizient Lösung müsste gelten: Woraus folgen würde: Das gilt hier allerdings nur in dem sehr speziellen Fall wenn , andernfalls gibt es kein effizientes GG, sondern je eine der Parteien über bzw. unterinvestiert. Ein reines Preissystem kann hier für die richtige Anreizsetzung nicht effizient sein Andere Ideen: nicht bepreiste Einteilung und Zertifizierungen Für a-Typen Für b-Typen 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Heterogene Turniergegner Handicap Systeme I Ausgangslage: Heterogene AN: Typ A und Typ B Typ der AN ist allen bekannt Gesucht: Eine effiziente Preisstruktur bei gemischten sowie bei homogenen Gruppen Angenommen, dass Typ A „besser“ ist als Typ B, so wird Typ A mit einer höheren Wahrscheinlichkeit das Turnier gewinnen Der zusätzliche Gewinn des AN A, der entsteht, indem dieser gegen einen AN vom Typ B und nicht gegen einen AN vom Typ A konkurriert, lässt sich definieren als: Analog berechnet sich der Wert für den AN des Typs B als Für alle Werte von h muss dabei gelten, dass , das heißt, dass der zusätzliche Gewinn für einen AN immer einen zusätzlichen Verlust in eben diesem Wert für den anderen AN bedeutet Notation: ; := Sozialoptimales Anstrengungsniveau := Preise in der gemischten Gruppe := Handicap Idee (30) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Heterogene Turniergegner Handicap Systeme II Wären die Preisstruktur bei gemischten Gruppen und die Preisstruktur bei getrennten Gruppen identisch, würde Typ A immer bevorzugen in einer gemischten Gruppe zu sein Es soll deshalb eine Preisstruktur ermittelt werden, innerhalb derer es für beide Typen keinen Unterschied macht, ob sie sich in einer homogenen oder gemischten Gruppe befinden Wenn Durch Einsetzen dieser Gleichung, der Null-Gewinn Bedingung sowie dem Nash-Gleichgewicht , lässt sich die Gleichung (30) vereinfachen zu: Berechnung der effizienten Preisstruktur und mit und Bei Festlegung eines Lohnes von und für Typ A und von und für Typ B erhalten wir eine Preisstruktur, bei der alle AN indifferent bzgl. der Art der Gruppe sind 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Edward Paul Lazear Gibt es noch Fragen? Sherwin Rosen 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 18

Im Folgenden Back-up Folien Weitere Details zu Berechnungen Für ein besseres Verständnis des Papers [E2.1-10] und [E3.1-6] 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Agenda II [E2.1-10] Stücklohn und Turniere bei Risikoneutralität Stücklohn – bei risikoneutralen AN Turnier – bei risikoneutralen AN Vergleich der Entlohnungssysteme 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 30

[E2.1] Stücklohn Risikoneutrale AN Outputrate = r, Nettoeinkommen des AN: Risikoneutrale AN verhalten sich wie Erwartungswertmaximierer, d.h. sie wählen so, dass maximiert wird BEO: Da freier Marktzutritt und Wettbewerb für AN, muss gelten Nullgewinne: den Wert/Outputeinheit muss das U. auch dem AN zahlen marginale Investitionskosten entsprechen dem sozialen Ergebnis davon (das Standartergebnis, dass Stücklohn effizient ist) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.2] Turnier Risikoneutrale AN Grundlagen Es gibt zwei AN und entsprechend ein Gewinner-Gehalt ( ) und ein Verlierer-Gehalt ( ), werden ex ante festgelegt und sind unabhängig von Der AN mit dem höheren Output gewinnt das Turnier Rangordnung: Verhältnis der Outputs, nicht aber Höhe ist relevant Die AN (Turniergegner) wählen eigene Investition mit Kenntnis der Turnierregeln und ABER ohne mit Anderem zu Kommunizieren oder eine Kollusion einzugehen 2 Schritte: (unter Nullgewinne– Bedingung für Unternehmen) 1) festlegen, Investitionsstrategien der AN analysieren 2)Optimales -Paar finden, das den Erwartungsnutzen des AN maximiert Gleiche Kostenstruktur für die AN und somit gleiches Verhalten Alle Parteien sind risikoneutral 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.3] Turnier Risikoneutrale AN Intuition Der Investitionsanreiz steigt für den AN mit steigender Dif. U. werden versucht sein diese Dif. immer weiter zu erhöhen, um stärkere Investitionsanreize zu liefern und damit höhere Outputs zu generieren ABER damit steigen auch die Kosten Ist die angebotene Dif. eines U. zu groß kann ein Konkurrenzunternehmen die AN anlocken mit einer kleineren Dif., die gerade so gewählt ist, dass die Investitionskosten für die AN stärker fallen als ihr erwarteter Nutzen aus der Dif.  AN steigern bei Wechsel zu diesem U. ihren Nutzen Steigende Grenzkosten der Anstrengung führen zu einer eindeutigen Gleichgewichtsdifferenz, die den Erwartungsnutzen maximiert. 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.4] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells Der erartete Nutzen eines ANs: Wobei P die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen darstellt Wahrs., dass „j“ gewinnt sieht wie folgt aus Wobei , und G(.) die Verteilungsfunktion ist, und (da und i.i.d. sind) Beide AN wählen ein um (2) zu maximieren BEO: und wobei (damit tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt und (2) maximiert wird) (2) (3) (4) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.5] Turnier Risikoneutrale AN Exkurs: Überlegungen zu P (Wahrscheinlichkeit für „j“ zu gewinnen) Wie entsteht die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ergebnis? ist eine Variable, die von den AN selbst gewählt wird, dagegen ist eine Zufallsvariable auf die keiner einen Einfluss nehmen kann. Diese also birgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung über eintreffende Ereignisse Im Paper wird für die Gewinnwahrscheinlichkeit von „j“ eine Verteilungsfunktion gebildet durch Bildung einer neuen Zufallsvariable , mit und Andere Betrachtungsweise zum leichteren Verständnis: Für jedes gegeben , ist die Gewinnwahrscheinlichkeit des „j“:  die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsfaktor (z.B. Glück/Talent) des „j“ groß genug ist Da dies für alle (nicht nur für ein gegebenes) gelten muss, muss noch der Erwartungswert über gebildet werden: Abgeleitet nach Das Bsp. (S847), sind Normal verteilt: 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.6] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells Annahme des Cournot- Nash- Gleichgewichts Exkurs: Cournot Wettbewerb = Mengenwettbewerb, 2 „Spieler“ produzieren einen homogenen Output und haben identische Grenzkosten, sie wählen simultan ihr Outputniveau Nash-Gleichgewicht: Gegeben die Strategien der Anderen wählt jeder Spieler seine beste Antwortstrategie. Ein Nash-Gleichgewicht liegt dann vor, wenn die Strategie jedes einzelnen Spielers, jeweils gegeben die Strategien der anderen Spieler, eine beste Antwort ist und somit keiner einen Anreiz zu Abweichung hat. Jeder AN wählt also sein gegeben das des Anderen, Für AN „j“ mit gegebenem folgt aus (3) Eingesetzt in (4) (5) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.7] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells Aufgrund der Symmetrie ist die Reaktionsfunktion für AN „k“ identisch Gegeben ein Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) existiert folgt aus der Symmetrie: und damit P=G(0)=1/2  Das Turnierergebnis wird reiner „Zufall“, bestimmt durch den Zufallsfaktor Einsetzten von in (5) ergibt: Investitionsentscheidung der AN hängt von der Dif. ab Preislevel entscheidet nur über die Teilnahme eines AN Nullgewinn-Bedingung für Unternehmen: wird mit vereinfacht zu (7) in (2) eingesetzt mit P=1/2 ergibt Erwarteter Nutzen eines AN (6) (7) (8) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.8] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells Die Preisstruktur im Gleichgewicht wählt , so, dass (8) maximiert wird: wobei i=1,2 (wobei bedeutet nach aufgelöst und nach abgeleitet,  partielle Ableitung von (8) nach ) Bei Stücklohn und beim Turnier ergibt sich, dass Grenzkosten gleich Sozialem Ergebnis und damit sind beide Ergebnisse effizient Durch weitere Veränderung der Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir (9) (10) 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.9] Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells Exkurs zu der Umformung: man nehme Gleichung (6) unter Verwendung von mit ergibt 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E2.10]Turnier Risikoneutrale AN Technische Vorgehensweise des Modells Interpretation der Gleichungen (10) Betrachtet man wie eine Art „Turniergeld “/ Eintrittsgeld, das jeder Spieler (AN) zunächst entrichtet, folgt daraus: Jeder Spieler erhält den erwarteten marginalen Produktwert + oder – das „Turniergeld“ Ein faires Gewinner-Bekommmt-Alles-Spiel bezüglicher der Turniergelder Somit besteht der Anreiz zu Investition um das Spiel zu gewinnen hauptsächlichen Agenten Theorie, bei der der Anreiz zu Anstrengung besteht um seinen Einsatz auch wieder heraus zu bekommen Weitere Überlegungen zu dem Turniermodell: ist Normal verteilt, dann ist Die optimale Differenz variiert direkt mit und Eine wichtige Folge: Die Preisstruktur bestimmt das marginale Produkt durch seine Auswirkung auf und 0-Gewinn-Bedingung bedeutet: erwartete Preis = erwartete Produktivität realisiertes Einkommen Produktivität, weder ex ante noch ex post! Ex ante: Produkte sind gleich ( ) und , damit wird „j“ sicher NICHT das Gleiche bekommen wie „k“  Preis ex ante Produkt Ex post: Produkt ist und nicht , q ist nach Beendigung des Spiels erst bekannt, dagegen werden im vorhinein festgelegt  nur unter seltensten Zufällen wäre also und 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

Optimale Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Agenda III [E3.1-6] Optimale Anreizsetzung und Kompensation bei Risikoaversion Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Ermittlung der optimalen Preisstruktur bei Turnieren Vergleich und Bewertung der beiden Entlohnungsformen 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 || 41

[E3.1] Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Erklärung der Formel: Gemäß Definition lautet die Formel für den Erwartungswert einer stetigen Funktion ( ) Transformationsregel für Erwartungswerte Sei g(x) eine reelle Funktion. Dann gilt für Y=g(x): Da sich die Nutzenfunktion als Funktion von y mit beschreiben lässt, entspricht der Erwartungswert E(U) der Funktion 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E3.2] Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Erläuterung der Ableitung von 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E3.3] Ermittlung des optimalen linearen Stücklohns Erklärung der „Taylorreihen“: Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklung) werden verwendet, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden Der Taylorsche Satz besagt: Hat die Funktion f auf dem Intervall I zwischen x0 und x insgesamt n+1 stetige Ableitungen, so ist Das Restglied ist in der Intergraldarstellung welches wir durch abschätzen können. 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E3.4] Die optimale Preisstruktur bei Turnieren Ausführlichere Darstellung der Ableitung: 1.Schritt: Ableiten 2. Schritt: Definiere 3. Schritt: Einsetzen und 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E3.5] Die optimale Preisstruktur bei Turnieren Ausführlichere Darstellung der Umformulierung ausgehend von: Nachdem und i.i.d. verteilt sind und wir von homogenen AN ausgehen, was bedeutet, dass , impliziert das Nash-Gleichgewicht, dass g(0) eingesetzt und die Gleichung nach aufgelöst ergibt: 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||

[E3.6] Vergleich der beiden Entlohnungsformen Überprüfung der Behauptung: Für ist gilt, wenn > 19.06.2007 || Lazear, Rosen; rank-order tournaments as optimum labor contracts; 1981 ||