Fuzzy Logic and Rough Sets Jens Grabarske, Gunter Labes Granular Computing Fuzzy Logic and Rough Sets Jens Grabarske, Gunter Labes

Gliederung Einführung / Motivation Formalisierung von Granulation Fuzzy „granulare“ Strukturen Wissensrepräsentation durch Wörter Fuzzy Logic Schlussfolgerung

Einführung / Motivation Ziel ist das Anheben der Datenverarbeitungsebene auf die der Wissensverarbeitung Der Datenraum wird daher durch Granularisierung zum Konzeptraum Aus dieser Idee soll nun ein mathematische Theorie entstehen, aufbauend auf der Theorie der Nachbarschaftssyteme von (prä-)topologischen Räumen

Formalisierung der Granulation Granule sind „Klumpen“ um bestimmte Punkte („Nachbarschaftssysteme“) Granule müssen nicht symmetrisch sein Allgemein handelt es sich um fuzzy sets mit einer Informationsstruktur - hier der Einfachheit halber ohne die Struktur behandelt.

Formalisierung der Granulation II Ein simples System, das granular computing betreibt, besteht aus granulation representation word computing

Fuzzy „granulare“ Strukturen (single level) Jedem Objekt wird eine Fuzzyuntermenge zugeordnet, die fuzzy elementary neighborhood Eine Untermenge X ist eine definierbare Nachbarschaft / Menge, wenn X eine Vereinigung von elementaren Nachbarschaften ist

Fuzzy „granulare“ Strukturen (multilevel) Normalerweise werden jedem Objekt mehrer fuzzy Mengen zugeordnet  multilevel Granulation GS: V  POW(G(U)); p  {Gp,h(p)} single level Granulation ist also ein Spezialfall

granulare Strukturen (allgemein) 4-Tupel: (V, U, B, C) V.. Objektraum U.. Datenraum B.. fuzzy neighborhood system C.. Konzeptraum

Wissensrepräsentation durch Wörter In der rough set Theorie ist der Objektraum in Äquivalenzklassen geteilt. p  [p]  NAME([p]). Aus diesen Abbildungen lässt sich die information table ablesen, eine Repräsentation des Objektraumes durch Wörter, der rough set Theorie.

Beispiel Objekte A1(p) A2(p) A3(p) A4(p) 1 0.67 0.33 2 3 4 5 6 7 8 9 Es gibt 2 Partitionierungen: {leicht, mittel, schwer} und {Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3, Gruppe 4}

Mehrwertige Repräsentation

Der Vektorraum formaler Wörter Mittels des „weighted average“ kann die mehrwertige Repräsentation in eine einwertige überführt werden Den resultierenden Vektor, nennt man ein formales Wort: r1 * schwach + r2 * mittelschwach + r3 * mittelstark + r4 * stark (r1, r2, r3, r4  [0,1])

Einwertige Repräsentation wi(p):= Ai(p) .. die Zugehörigkeit von p zu Ai W(p) = i wi(p) * NAME(Ai(p))

Fuzzy Logic Mit Hilfe der formalen Wörter kann nun die „normale“ fuzzy Logik neu definiert werden, so dass jetzt Tabellenverarbeitungs-techniken der rough set Theorie angewandt werden können. Z.B. zur Reduktion der Größe und Komplexität

Beispiel: linguistischen Regeln 1. If s_x = s_Low and t_x = t_Low, then y = Weak; 2. If s_x = s_Med_Low and t_x = t_Low, then y = Moderate; 3. If s_x = s_Med_High and t_x = t_Med_High, then y = Strong; 4. If s_x = s_High and t_x = t_Med_High, then y = Extreme;

Entscheidunstabelle

Lineare Inferenz Als Inferenz benutzen wir die Einfachste, der sogenannte lineare Einfluss, dabei soll die s-Eingabe mit 1 und t-Eingabe mit 0 gewichtet werden. formales Eingabewort: W(p) = (Ws(p),Wt(p)) formales Ausgabewort: V(p) = v1(p)*Weak + v2(p)*Moderate + v3(p)*Strong + v4(p)*Extreme

Defuzzification Für die Ausgabeworte benutzen wir ein konstante Zugehörigkeitsfunktion: Weak=0,2; Moderate=0,4; Strong=0,6; Extreme=0,8 Damit ergibt die Defuzzification: y=V(p) = v1(p)*0,2 + v2(p)*0,4 + v3(p)*0,6 + v4(p)*0,8

Schlussfolgerung Mittels der Granulation als formaler mathematischer Theorie wird die Datenverarbeitung durch Benennung der Granulen (Klumpen) zur Wissensverarbeitung. Durch lineare Kombination (weighted average) dieser Namen können formale Wörter erzeugt werden, welche eine einwertige Repräsentation in Tabellenform ermöglichen.