ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Teil 4b Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Teil 4b Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement Universität Greifswald

Gliederung 4.2 Prognostizierende Modelle 4.2.1 Netzplantechnik 4 Prognosemodelle 4.1 Statistische Prognosemodelle 4.1.1 Gleitende Durchschnitte 4.1.2 Exponentielle Glättung 4.1.3 Ökonometrische Modelle 4.1.4 Neuronale Netze 4.2 Prognostizierende Modelle 4.2.1 Netzplantechnik 4.2.2 Markov-Modelle 4.2.3 System Dynamics 4.3.4 Simulation 4.3 Expertenprognosen

4.2.1 Netzplantechnik Definition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglicht Arten Tätigkeitsgraph und Ereignisgraph Stochastische und deterministische NPT Teilprobleme Strukturplanung Zeitplanung Kostenplanung Ressourcenplanung

Praxis der NPT wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch meist „versteckt“ in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project) Arten: CPM (Critical Path Method, 1956): Theorie MPM (Metra Potential Method, 1957): Praxis PERT (Program Evaluation and Review Technique, 1956): Theorie

Strukturplanung Strukturliste Nr. Tätigkeit Vorgänger Nachfolger A Vorbereiten des Grundstückes - B Aushub der Fundamente C Rohbau D, F D Innenausbau E Inbetriebnahme D, F, G F Außenanlagen/Zuwege Bereiten G Mitarbeiterschulung

Tätigkeitsgraph Inhalt: Knoten = Tätigkeit Kante = Anordnungsbeziehung Metra-Potential-Methode (MPM)

Ereignisgraph Inhalt: Knoten = Ereignis (z. B. Anfang/Ende einer Tätigkeit) Kante = Tätigkeit Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and Review Technique (PERT)

Zeitplanung im Ganttdiagramm Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Nachfolger A Vorbereiten des Grundstücks 20 B Aushub der Fundamente 60 C Rohbau 150 D, F D Innenausbau 120 E Inbetriebnahme 10 - F Außenanlagen/Zuwege Bereiten G Mitarbeiterschulung 30

Zeitplanung im Ganttdiagramm

Erweiterung: Puffer Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“

Zeitplanung im MPM

Zeitplanung im MPM

Zeitplanung im MPM

Hinrechnung

Rückrechnung

Endzeitpunkte

Puffer Puffer I: Gesamtpuffer Puffer II: freier Puffer Puffer III: Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle Nachfolger spätest möglich P_Ii=SZi-FZi Puffer II: freier Puffer Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle Nachfolger frühest möglich P_IIi=Min{FZj-FZi-dij}, wobei P_IIi≥0 Puffer III: Alle Vorgänger fangen spätest möglich an, alle Nachfolger frühest möglich

Puffer

Kostenplanung 20 60 150 120 10 30 Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Kosten pro Tag A Vorbereiten des Grundstückes 20 100 B Aushub der Fundamente 60 C Rohbau 150 200 D Innenausbau 120 E Inbetriebnahme 10 F Außenanlagen/Zuwege Bereiten G Mitarbeiterschulung 30 500

Kostenverlauf bei frühestem Beginn 0-20 20-30 30-80 80-230 230-250 250-350 350-360 A 100 B C 200 D E F G 500 Kosten / Tag 600 400 Tage 20 10 50 150 Sum- me 12000 6000 5000 30000 8000 20000 1000

Kostenverlauf für späteste und früheste Zeitpunkte

PERT-COST Ermittlung von zeitlichen und kostenmäßigen Überschreitungen Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.

PERT-COST (Beispiel)

PERT-COST (Beispiel)

PERT-COST (Beispiel)

Ressourcenplanung Bedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werden Varianten Verschiebung innerhalb der Puffer Verlängerung des frühesten Endzeitpunktes Verfahren von Fehler Optimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für Zusatzaggregate

Praxisbeispiel MS-Project: Bauprojekt ET 4

4.2.2 Markov-Modelle Prozess: Folge von ursächlich verbundenen Ereignissen im Zeitablauf Stochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) Wahrscheinlichkeiten Markov-Prozess: Die Übergangswahr-scheinlichkeit aij von Zustand wi nach wj hängt allein von Zustand wi zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand wk zum Zeitpunkt t-1 ab („Beschränktes Gedächtnis“).

Zustände und Übergänge im Markov-Graph 12 24 41 42 14 21 23 32 31 13 34 w1 w2 w4 w3 a 43

Beschreibung von Prozessen anhand von Ereignissen z. B. Zahl der Ankünfte (Poissonverteilt) anhand von Übergängen z. B. Zwischenankunftszeiten ‚ (Negativ-Exponentiell-Verteilt) Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)

Markov-Modell

Prognose mit Markov-Modellen Vorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt t Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.

Spezialfälle Absorbierende Markovketten Inhomogene Markovketten es gibt einen Zustand, der nicht mehr verlassen werden kann, z. B. Totalschaden, Tod Inhomogene Markovketten Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht konstant

Beispiel: Leihwagen zwischen drei Orten

Übergangsmatrix Greifswald Berlin Hamburg Schrott 0,7 0,2 0,05 0,8 0,1 1

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 1 50 60 19 Berlin 2 100 112 43 Hamburg 200 155 25 Schrott 28 513

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 1 50 61 19 Berlin 2 100 112 43 Hamburg 200 155 25 Schrott 28 513 Zugang zu gering, um die Zahl der Autos zu halten: Simulation – wie viele Zugänge brauche ich wo, um Konstanz zu gewährleisten?

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 3 50 63 77 Berlin 4 100 114 158 Hamburg 17 200 170 122 Schrott 28 1193

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 3 50 63 77 Berlin 4 100 114 158 Hamburg 17 200 170 122 Schrott 28 1193 Pro Periode zusätzlicher Transport von Greifswald (22/50 Fahrzeuge) und von Berlin (58/50 Fahrzeuge) nach Hamburg nötig, um Konstanz zu halten. 357

4.2.3 System Dynamics Problem der Prognose mit Markov-Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten Populationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden Population

Wachstum (Rate = 0,05) t Anfangsbestand Zuwachs Endbestand 100.000.000 100.000.000 1 5.000.000 105.000.000 2 5.250.000 110.250.000 3 5.512.500 115.762.500 4 5.788.125 121.550.625 5 6.077.531 127.628.156 6 6.381.407 134.009.564 7 …

Wachstum

System Dynamics Modell

System Dynamics Modell

System Dynamics Modell

Gleichungen Differentialgleichung Differenzengleichung

System Dynamics einer Population Jahr Bevölkerung Exponential- gleichung Differenzen- t = 1 Tag t = 1 Monat 100.000 1 105.127 105.126 105.116 2 110.517 110.516 110.494 3 116.183 116.182 116.147 4 122.140 122.138 122.089 5 128.402 128.400 128.336 6 134.985 134.983 134.901 7 141.906 141.903 141.803 8 149.182 149.178 149.058 9 156.931 156.826 156.684 10 164.872 164.866 164.701

Umsetzung World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums) Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman) Disease Dynamics Software: Dynamo (1960), Stella (1980), etc.

Industrial Dynamics EDV-gestütztes dynamisches Modell der Unternehmung Technischer Wandel induzierte neues Management-Verständnis Neue Anforderungen an Methoden der Entscheidungsfindung Erfassung und Simulation von Informationen zwischen Abteilungen eines Unternehmens Unternehmen einer Wertschöpfungskette

Beispiel 1 Bedeutung von Werbung und Konsumentenmarkt in Forresters Industrial Dynamics Konsequenzen für Unternehmen einer Wertschöpfungskette (Produktion und Verteilung)

Beispiel 1

Darstellung und Analyse von Bestandsveränderungen Beispiel 2 Darstellung und Analyse von Bestandsveränderungen

Beispiel 2

4.3.4 Simulation Prinzip: Experimentiermodell, d.h. „Durchspielen“ unterschiedlicher Alternativen in konstruierten Systemen Perspektiven „What-If“? „How-to-achieve“?

Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation: Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen

Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation: Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen Monte-Carlo-Simulation versus Resampling: verwandte Methoden Resampling: reale Daten Monte-Carlo: fiktive Daten

Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Monte-Carlo-Simulation versus Bootstrapping: Bootstrapping ursprünglich als nicht-parametrisches Monte-Carlo- Instrument eingeführt zur Schätzung von Standardfehlern MC unterstellt bestimmte Verteilung – BS nicht, da BS nur Informationen aus empirischer Verteilung verwendet Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation: Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen

Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Netzplan -stochastische Zeitplanung: zukünftige Vorgangsdauern können nicht vorherbestimmt werden Zufallszahlen, die abhängig von der Projektrealisierung unterschiedliche Werte annehmen können Simulation: Dauer jedes Vorgangs nimmt gewissen Wert an (Basis: Verteilungsfunktion) => Berechnung: Projektfertigstellungstermin Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation: Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen

Arten (Forts.) Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation, DES) Modellierung von dynamischen Systemen Erzeugen von Objekten mit bestimmten Eigenschaften Aufzeichnung der Zustände der Objekte zu bestimmten Zeitpunkten Subarten: Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt („Ereignisliste“) Zeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintritt Kontinuierliche Simulation z. B. Chemie

Zufallszahlen Notwendigkeit: stochastische Simulation Aufgaben Teil 1: 0-1-Gleichverteilte Zufallszahlen Teil 2: Zufallszahlen nach bestimmten Verteilungen Normalverteilt Logarithmisch-Normalverteilt Logistischverteilt Poissonverteilt Dreiecksverteilt Betaverteilt

Beispiel: standardnormalverteilte Zufallszahl Schritt 1: Erzeuge 12 0-1-gleichverteilte Zufallszahl Erwartungswert je Zufallszahl: 0,5 Varianz je Zufallszahl: 1/12 Schritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs ab Erwartungswert: 0,5*12-6=0 Varianz: 12*1/12 = 1 Ergebnis: annähernd standardnormalverteilte ZZ

Beispiele für Simulation Simulation der Produktionsprozesse Flugsimulator Numerische Integration Prognose epidemiologischer Prozesse

Anforderungen an Simulationsprogramme Generierung von Zufallszahlen Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer Simulation („Simulationsuhr“) Sammlung, Analyse und statistische Auswertung relevanter Daten/ Ergebnisse Aufbereitung und Präsentation

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

Implementierung von Sprachelemente (Makrobefehle) möglich Simulationssprachen Implementierung von Sprachelemente (Makrobefehle) möglich Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Simulationssprachen GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Unterscheidung nach Problemorientierung und Sprachkonzept (flexibel; fest) Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Simulationssprachen GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) ursprünglich ereignisorientiert neue Versionen: Kombination von diskreten/ kontinuierliche Simulationen Basis: Fortran Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Simulationssprachen GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel spezielle Problemorientierung Anwendung: komplexe Warteschlagensysteme

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Simulation komplexer Warteschlangensysteme Basis: Fortran Anwendung: diskrete und kontinuierliche Simulation Weiterentwicklung: ARENA Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Simulationssprachen GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) sehr allgemein; umfassend Implementierung zahlreicher Simulationsprogramme Basis: Entities, Attribute, Sets Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) Simulationssprachen GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel weniger stark problemorientiert wesentlich flexibler als GPSS Basis: ALGON

4.3 Expertenprognosen Direkte Befragung Delphi-Methode verschiedene Techniken, um diskrete oder kontinuierliche Variablen zu erfragen Delphi-Methode

Delphi-Methode Definition des Prognoseproblems Auswahl der Experten, Separierung Schriftliche Befragung der Expertenmeinungen Zusammenstellung der Prognosen Rückführung der Ergebnisse an Experten Erneute schriftliche Befragung der Experten Wiederholung der Schritte 4,5,6, bis die Ergebnisse ausreichend konvertiert sind. evtl. ergeben sich Intervalle