Schönheit und Chaos in der Kreiseldynamik Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Typen von Kreiseln: Parameter Translation R2 oder R3 und Rotation SO(3) oder T3 ein Punkt fixiert: nur 3 Freiheitsgrade der Rotation 4 Parameter: Hauptträgheitsmomente: 2 Diese erste Folie wird zusammen mit realen Kreiseldemos gezeigt: Einige „normale“, d.h. Lagrange-Kreisel mit Spitze auf dem Tisch, Euler-Kreisel (Kiste) auf Wurfparabel, Levitron, mein Kreiselmodell mit cardanischer Aufhängung. Die Färbung auf dem Katok-Bild gilt für s1=s2=0: verschiedene Farben bedeuten unterschiedliche Strukturen der Bifurkationsdiagramme, insoweit sie alleine die relativen GG enthalten. Lage des Schwerpunkts: 2 Achse der Aufhängung Dresden 29. Januar 2004

Phasenraum und Erhaltungsgrößen 3 Winkel + 3 Geschwindigkeiten: 6D-Phasenraum Energieerhaltung h=const: 5D-Energiefläche 1 Drehimpulskomponente l=const: 4D (mild) chaotisch 3. Erhaltungsgröße: 3D Die Systematik unterschiedlicher Komplexität (Grade von Regularität und Chaotizität) erläutern: Geometrie im Phasenraum. regulär, integrabel 4 Erhaltungsgrößen: 2D super-regulär Dresden 29. Januar 2004

Integrable Kreisel Euler: „kräftefrei“ Lagrange: „schwer“, symmetrisch Kovalevskaya: Diskutiere anhand von Beispielen noch einmal diese drei Typen Dresden 29. Januar 2004

Der Euler-Kreisel Der raumfeste Drehimpuls lege die z-Achse fest. Figurenachse 3 im Raum Der raumfeste Drehimpuls lege die z-Achse fest. Sein Betrag sei L. Die Energie h variiert dann von L2/2A1 (rot) über L2/2A2 (grün) nach L2/2A3 (blau). Welche Bewegungen gibt es und wie stellen wir sie am besten dar? Drehimpuls (l1, l2, l3) im körperfesten System Erste Zeile: Naheliegende Idee für die Darstellung: Bewegung der Figurenachse (=Achse des kleinsten Trägheitsmoments) im Raum, wobei der Drehimpuls und die z-Achse vertikal nach oben zeigen. Rechts: Bewegung in der Nähe des relativen GG „Bewegung um die 3-Achse“ (blau) Links: Bewegung in der Nähe des relativen GG „Bewegung um die 1-Achse“ – Kombination von Rotation um die z-Achse und um die 1-Achse (rot) Mitte: Bewegung auf der Separatrix, die mit dem relativen GG „Bewegung um die 2-Achse“ verbunden ist (grün). Zweite Zeile: Dasselbe für den Drehimpuls im körperfesten System – im Raum ist sie ja trivial, weil L eine Erhaltungsgröße ist. Dritte Zeile: Bewegung der gamma-Achse im körperfesten System. Gamma ist der Einheitsvektor in Richtung der Schwerkraft. Zeige am Modell, dass dabei der Winkel phi nicht berücksichtigt wird, und sage, dass das nicht wesentlich sei, weil der als abseparierbar nachrangig berechnet werden kann. Vertiefe das durch Demos an Sven Schmidts Programm. g-Achse im körperfesten System: Poisson-Kugel Dresden 29. Januar 2004

Beobachtungen Die Bewegung der Figurenachse im Raum gibt das komplizierteste Bild. Im körperfesten Bezugssystem ist sie einfacher – allgemein immer dann, wenn das System bezüglich einer festen Raumrichtung rotationssymmetrisch ist. Das soll im Folgenden angenommen werden. Einziger Nachteil: man sieht nicht die Bewegung um die raumfeste Achse, aber das ist nicht wesentlich. Arbeite hin auf die Beschreibung im reduzierten Phasenraum. Von nun an beschreiben wir die Bewegung im Raum der g = (g 1, g 2, g 3) und l = (l1, l2, l3). Dresden 29. Januar 2004

Der „reduzierte“ Phasenraum je 3 Komponenten von g und l: 6D-Phasenraum aber: g 2=1 (Poisson-Kugel) und l ·g = l (Drehimpuls) automatisch konstant  effektiv 4D-Phasenraum Energieerhaltung h=const: 3D-Energiefläche Erörtere die Geometrie dieses reduzierten Phasenraums. Da seine Topologie nicht ganz einfach ist (es gibt auf der Kugel kein singularitätenfreies Koordinatensystem) mache alle Rechnungen im 6D-Einbettungsraum. 2. Erhaltungsgröße: 2D regulär, integrabel 3 Erhaltungsgrößen: 1D super-regulär Dresden 29. Januar 2004

Der Kovalevskaya-Kreisel Hier zeigen wir mit Sven Schmidts Programm das Bifurkationsdiagramm und dann einen Ausschnitt aus dem IWF-Film Dresden 29. Januar 2004

Ordnung, Chaos und Schönheit ? A1 = 2, A2 = 1.5, A3 = 1, s = (1,0,0) Dresden 29. Januar 2004

Dank an meine Studenten und Mitarbeiter Holger Dullin, Andreas Wittek, Marcus Juhnke, Sven Schmidt Kollegen aus Russland und der Ukraine Mikhail Kharlamov, Alexey Bolsinov, Victor Enolskii, Igor Gashenenko, Sasha Veselov meinen Lehrer Siegfried Großmann Dresden 29. Januar 2004