Kalender und die Gaußsche Osterformel – was steckt dahinter? Peter H. Richter Universität Bremen Vortrag auf der Jahresversammlung der Gauß-Gesellschaft Göttingen Freitag, 27. Oktober 2006 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Kalender: eine Kunst der Kompromisse Frühlingsanfang bis Frühlingsanfang: 365.24219… Tage nicht 365 (Ägypten) oder 365.25 (julianisch) oder 365.2425 (gregorianisch) Neumond bis Neumond: 29.530589… Tage nicht 30 oder 29 oder gar 31 bzw. 28 Das Sonnenjahr hat 12.368266… Monate nicht 12 (arabisch) oder 13 oder 235/19 = 12.368421 (metonisch) Sonntag bis Sonntag: 7 Tage Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Forderungen an die Kalenderkunst Der Sonnenlauf muss das Wirtschaftsleben regeln Jahreszeiten, Landwirtschaft Der Mond soll das Feiern regieren Passah; Ostern; Laternen- und Mondfest in China Einfache Verzahnung von Sonnen-, Mond- und Tageslauf möglichst einfache rationale Verhältnisse Präzise Vorhersage der Sonnen- und Mondpositionen Sonnenwenden, Äquinoktien, Neu- und Vollmonde Übereinstimmung von Rechnung und Beobachtung algorithmische oder astronomische Kalender? Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Es wäre alles so einfach, wenn … das Jahr 364 Tage und ein Monat 30 Tage + 8 Stunden hätte. Dann hätte das Jahr genau 52 Wochen und 12 Monate. Der Frühlingsvollmond fiele immer auf denselben Tag nach Frühlingsanfang, genauso wie der erste Sonntag danach. Kalender0 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Aber schon im julianischen Kalender … hat das Jahr 365.25 Tage, und 19 Jahre sind 235 Monate. Der Mondlauf wird mit dieser Regel der Sonne angepasst. Dann ist alle 4 Jahre ein Schaltjahr einzuführen, und die Sonntage ändern ihr Datum von Jahr zu Jahr um 1 oder 2 Tage Der Vollmond wandert von Jahr zu Jahr um 10.88 Tage zurück oder um 18.65 Tage voran. Das wird durch einen bestimmten Takt von elf Schritten -11, einen Schritt -12 und sieben Schritte +19 realisiert. KJ 342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Der erste Sonntag nach dem julianischen 21. März FSj = 22 + S mit S = (4∙Jahr + 2∙b + 6) mod 7, wobei b = Jahr mod 4 Jahr b S FSj Jahr b S FSj 342 2 6 28 370 2 6 28 343 3 5 27 371 3 5 27 344 0 3 25 372 0 3 25 345 1 2 24 373 1 2 24 346 2 1 23 374 2 1 23 347 3 0 22 . 348 0 5 27 . 349 1 4 26 350 2 3 25 351 3 2 24 . Periode: 28 Jahre KJ 342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Der erste Vollmond im julianischen Frühling OGj = 21 + d mit d = (19∙a + 15) mod 30, wobei a = Jahr mod 19 Jahr a d OGj Jahr a d OGj 342 0 15 36 361 0 15 36 343 1 4 25 362 1 4 25 344 2 23 44 363 2 23 44 345 3 11 33 . 346 4 1 22 . 347 5 20 41 . 348 6 9 30 349 7 28 49 350 8 17 38 351 9 6 27 . Periode: 19 Jahre KJ342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik Aus Ostergrenze und den Sonntagsdaten berechnet man das julianische Ostern: JOsternj = OGj + 1 + (S – d) mod 7 Jahr OGj S d (S - d) mod 7 JOsternj 342 36 6 15 5 42 343 25 5 4 1 27 344 44 3 23 1 46 345 33 2 12 4 38 346 22 1 1 0 23 347 41 0 20 1 43 Periode: 19 ∙ 28 = 532 Jahre KJ342 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik Aber … das Jahr hat in Wirklichkeit nicht 365.25, sondern 365.24219… Tage, und 235 synodische Monate sind 2:05 Stunden mehr als 19 Jahre Das verursacht in 128 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Sonnenlauf, in 218 Jahren einen Fehler von 1 Tag im Mondlauf relativ zur Sonne. In 1700 Jahren sind das etwa 13.3 Tage Fehler bei der Sonne und 7.8 Tage Fehler beim Mond. Es reicht offenbar, dies nur an Jahrhundertgrenzen zu korrigieren. Das ist der Grundgedanke des gregorianischen Kalenders von 1582. JK1987 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Die gregorianische Korrektur … … verbessert die Sonnenperiode um einen Faktor 30, indem in 400 Jahren 3 Schalttage ausfallen, nämlich bei solchen Jahrhunderten, die nicht durch 400 teilbar sind. Sei J ein gegebenes Jahr und k = int(J/100) das zugehörige Jahrhundert, dann ist die Zahl der seit k = 0 ausgefallenen Schalttage Sk = int ((3k + 3) / 4) = 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, … . … verbessert die Anpassung des Mondlaufs an das Sonnenjahr, indem in 2500 Jahren netto 8 Schaltungen des Mondalters vorgenommen werden, und zwar in dem Takt Mk = int ((8k + 13) / 25) = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, … . Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Carl Friedrich Gauß fand 1800/1816, dass der gregorianische erste Frühlingssonntag FS gegeben ist durch FS = 22 + S mit S = (4∙Jahr + 2∙b + 4 + Sk) mod 7. Für k = 2 stimmt das mit dem julianischen Kalender überein, denn S2 = 2 und daher 4 + S2 = 6. dass der gregorianische Ostervollmond gegeben ist durch OG = 21 + d mit d = (19∙a + 15 + Sk – Mk ) mod 30. Das stimmt mit dem julianischen Kalender überein, wenn (Sk – Mk) mod 30 = 0. Das wird zuerst für k = 67 der Fall sein, mit Sk = 51, Mk = 21, Sk – 2 = 49, also 7 Wochen Differenz der Kalender. Im Übrigen gilt weiter Ostern = OG + 1 + (S – d) mod 7. GK Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Was steckte noch dahinter? Gauß wollte den Tag seiner Geburt wissen, von dem seine Mutter nur sagen konnte, dass es der Mittwoch vor Rogate 1777 war, also 31 Tage nach Ostern (Brendel, Maennchen). Für J = 1777 gilt k = int (J/100) = 17 Sk = int ((3k + 3) / 4) = 13 Mk = int ((8k + 13) / 25) = 5 4 + Sk = 17 15 + Sk – Mk = 23 b = J mod 4 = 1 S = (4J + 2b + 4 + Sk) mod 7 = 1 → FS = 22 + S = 23 a = J mod 19 = 10 d = (19a + 15 + Sk – Mk ) mod 7 = 3 → OG = 21 + d = 24 → Ostern = OG + 1 + (S – d) mod 7 = 30. März Sein Geburtstag war deshalb der 30. April 1777. In folgenden Jahrhunderten stimmen die Daten von julianischem und gregorianischem Kalender überein: k = 67 Sk = 51 Mk = 21 Differenz in Wochen (Sk-2)/7 = 7 207 156 66 22 347 261 111 37 348 261 111 37 487 366 156 52 488 366 156 52 627 471 201 67 628 471 201 67 768 576 246 82 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Was steckte nicht dahinter? Gauß, der mehrfach auf das Kalenderthema zurückkam (1802: Passah, 1807, 1814, 1816, Nachlass), hat – als Astronom! – keine Veranlassung gesehen, die gregorianische Korrektur zu verbessern. Dabei hatte bereits 1786 Barnaba Oriani aufgrund verbesserter Daten für die Länge des Sonnenjahres vorgeschlagen, deren Kettenbruchentwicklung zu nutzen, um noch bessere Übereinstimmung von Theorie und Realität zu erzielen. Der von Milankovic 1923 in Griechenland eingeführte Kalender geht darauf ein: er lässt in 9 Jahrhunderten 7 Schaltjahre aus, das ist besser als 3 in 4. Hinsichtlich des Mondes ist weniger Handlungsbedarf. Die optimale Korrektur gegenüber 235/19 würde netto 46 statt 43 Mond-Resets in 10000 Jahren erfordern, aber das kümmert kaum jemanden, zumal das Mondlicht für unsere Feste an Bedeutung verliert … Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik Aus Ostergrenze und den Sonntagsdaten berechnet man das julianische Ostern: Julianisch: JOsternj = OGj + 1 + (S – d) mod 7 Gregorianisch: JOsterng = Osternj + 13 Jahr OGj S d (S - d) mod 7 JOsternj JOsterng 1987 35 1 14 1 37 50 1988 24 6 3 3 28 41 1989 43 5 22 4 48 61 1990 32 4 11 0 33 46 1991 21 3 0 3 25 38 1992 40 1 19 3 44 57 Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Der Begriff der Epakte Ep Es handelt sich um das Alter des Mondes an Neujahr. Dieses ist äquivalent der Kenntnis der Ostergrenze. Wenn die gregorianische Ostergrenze OG = 21 + (19 a + M) mod 30 ist, dann ist die Epakte EP = (11 a + 53 – M) mod 30. Es gilt also EP + OG = 44 oder 74, je nachdem, ob OG kleiner ist als 44 oder nicht. Dabei ist a = Jahr mod 19. Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Der Irrtum in der Arbeit von 1800 Damals hatte Gauß für Mk statt int((13 + 8k)/25) angegeben den Wert M = int(k/3), das heißt, er hatte Mondschaltungen gegen den Metonzyklus alle 300 Jahre vorgenommen. Das wären 8 Schaltungen in 2400 Jahren statt in 2500 Jahren. Es war aber im gregorianischen Kalender immer so, dass auf 7 Schaltungen nach je 300 Jahren die nächste erst nach 400 Jahren erfolgt. Mit der neuen Formel, die Gauß anscheinend von Tittel 1816 übernahm, fand er die volle Übereinstimmung. Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik Der jüdische Kalender Eingeführt von Hillel II um 360 AD. Im Prinzip das Spiegelbild des julianischen Kalenders, insofern zwischen Sonnen- und Mondlauf der Metonzyklus als exakt postuliert wird, aber statt der Sonne setzt hier der Mond mit einer Monatslänge von 29.530594 den Rhythmus, und die Sonne wird angepasst. Das verursacht in 218 Jahren eine Drift um 1 Tag gegenüber dem wahren Sonnenkalender. Gauß hat auch für diesen Kalender Algorithmen angegeben, einen für den 15. Nissan (Frühlingsvollmond, Pessach) und einen für den 1. Tishri (Neujahr, Beginn des 7. Monats). Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik