§14 Basis und Dimension 03.12.01 (14.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum. Eine Menge B von Vektoren aus V heißt Basis von V, wenn B ist Erzeugendensystem von V , und B ist linear unabhängig. (14.2) Beispiele: 1o {e1, e2, ... , en} aus Kn ist Basis von Kn: Nach 12.3.9o Erzeugendensystem, nach 13.2.1o linear unabhängig. 2o Auch {e1+e2, e1-e2, e3 ... , en} ist eine Basis von Kn, wenn in K die Gleichung 2x = 0 nur die Lösung x = 0 hat, z.B. K aus {R,C,Q} . 3o Aber für x aus Kn ist {x, e1, e2, ... , en} keine Basis von Kn, vgl. 13.2.2o. 4o Die Menge ist Basis von K(M). 5o Ebenso: {Tk : k aus N} ist Basis von K[T] . 6o Die leere Menge ist Basis von {0} .

Kapitel III, §14 (14.3) Lemma: B sei ein Erzeugendensystem des K-Vektorraums V. Die folgenden Aussagen sind dann äquivalent: 1o B ist Basis von V. 2o Jeder Vektor x aus K hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination (bis auf die Reihenfolge der Summation) x = s1b1 + s2b2 + ... + smbm . mit bk aus B und sk aus K\{0} . 3o B ist minimales Erzeugendensystem, d.h. B erzeugt V und für jede echte Teilmenge A von B ist A nicht Erzeugendensystem von V. Die grundlegenden Fragestellungen zum Basisbegriff: 1o Hat jeder K-Vektorraum eine Basis? 2o Steht die Anzahl der Basiselemente (im Falle der Existenz) fest?

Kapitel III, §14 3o Wie kann die Gesamtheit der Basen (im Falle der Existenz) beschrieben werden?  28.11.01 Zur Frage 2o : (14.4) Satz: V sei ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Dann: Je zwei Basen haben gleichviel Elemente. Zur Frage 1o : (14.5) Basissatz (für endlich erzeugte Vektorräume): V sei ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit einem Erzeugendensystem E. Dann gilt: 1o V besitzt eine endliche Basis. 2o {b1, b2, ... br} aus V sei linear unabhängig. Dann ist {b1, b2, ... br} eine Basis von V, oder man findet br+1, br+2, ... , bn in E, so dass {b1, b2, ... br, br+1, ... , bn} eine Basis von V ist.

Kapitel III, §14 3o Die Basis B nach 1o kann als Teilmenge von E gewählt werden. (14.6) Definition: Die nach 14.4 eindeutig bestimmte und nach 14.5 existierende Zahl n aus N eines endlich erzeugten Vektorraumes V heißt die Dimension von V. Notation: dim V = n . Notation, wenn klargestellt werden soll, dass die Dimension sich auf den Körper K bezieht: dimK V = n . (14.7) Beispiele: 1o dim Kn = n , auch für n = 0 . 2o dim {(x,y,0)T aus K3 : x,y aus K} = 2 . 3o dim {(x+y,0,x-y)T aus R3 : x,y aus R} = 2 . 4o dimC C = 1, aber dimR C = 2. 5o V sei endlich erzeugt. Dann gilt: dim V = min{n aus N : je n+1 Elemente aus V sind linear abhängig}

Kapitel III, §14 Die letzte Formel hat ihre Gültigkeit insbesondere auch für V = 0. Sie gibt auch Sinn für Vektorräume, die nicht endlich erzeugt sind: (14.8) Definition: Die Dimension eines nicht endlich erzeugten Vektorraumes wird als unendlich definiert: Zusammenfassend haben wir damit den: (14.9) Dimensionssatz: Für einen K-Vektorraum V gilt 1o entweder hat V die endliche Dimension n aus N ; und das bedeutet: V besitzt n linear unabhängige Vektoren und je n+1 sind linear unabhängig. 2o oder V ist unendlichdimensional; und das bedeutet, dass es zu jedem n aus N mindestens n linear unabhängige Vektoren gibt. (14.10) Beispiele: 1o Jeder Untervektorraum U eines endlichdimensionalen Vektorraumes V ist endlichdimensional.

Kapitel III, §14 2o K[T] ist unendlichdimensional, ebenso KM und K(M) für unendliche Mengen M. 3o Auch die Folgenräume in 10.6 sind unendlichdimensional. 4o Ohne Beweis zitieren wir: (14.11) Satz: Auch jeder unendlichdimensionale Vektorraum hat eine Basis. Das ist für K[T] und K(M) evident, weil wir eine Basis direkt angeben können. Im allgemeinen beruht der Satz auf dem „Wohlordnungsaxiom“ ,bzw. dem „Lemma von Zorn“ ; der Beweis ist nicht konstruktiv! Beispiel: Für R als Vektorraum über Q ist keine Basis bekannt.