Mathematik in der Oberstufe des G8 - Abitur Abitur: www.isb.bayern.de  Fach Mathematik / Gymnasium  Materialien

LP Jahrgangsstufe 10 – Einführungsphase der Oberstufe M 10.1 Kreiszahl p M 10.1.1 Kreis (ca. 8 Std.) M 10.1.2 Kugel (ca. 8 Std.) M 10.2 Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie (ca. 14 Std.) M 10.3 Exponentielles Wachstum und Logarithmen (ca. 18 Std.) M 10.4 Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente (ca. 10 Std.) M 10.5 Ausbau der Funktionenlehre M 10.5.1 Graphen ganzrationaler Funktionen (ca. 7 Std.) M 10.5.2 Vertiefen der Funktionenlehre (ca. 19 Std.) 3 WS, Gelenkfunktion: letztes Jahr der Mittelstufe, aber auch Einführungsphase zur Oberstufe bekannte Inhalte und neue Inhalte; aber auch: vertraute Inhalte fehlen, z. B. wird das „Rechnen mit Potenzen“ nicht mehr explizit ausgewiesen Beispiele für Streichungen im Vergleich zu G9 alt: senkrechte Projektion, Polarkoordinaten, tan-Funktion, Additionstheoreme, geometrische Folge, Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion, logarithmische Gleichungen Beispiel M 10.3: früher 17 Std., jetzt 18 Std. Umkehrfunktion wird spätestens in 11 behandelt im Zusammenhang mit der Wurzelfunktion; Aufgaben wie ln(x+1) = 0 müssen bei „Kurvendiskussionen“ nach wie vor möglich sein Abiturrelevante Inhalte: Sinus- und Kosinusfunktion, bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel oder Baumdiagramm, Ausbau der Funktionenlehre, insbesondere Grenzwert für x   

Münchner Merkur, 18.02.2008 Warum kann man bisherige gk-Abiturerfahrung nicht auf das G8-Abitur übertragen? M ist verpflichtendes Abiturfach für alle, dies ist den Schülern von Anfang an bekannt; M in der Oberstufe vierstündig; auch gute Schüler (ehemals LK) als Zugpferde im Kursverband M-Konzept für die Oberstufe ist „kein LK-Konzept“, ist vernünftig, machbar und ausgewogen!

Rahmenbedingungen in den Jgst Rahmenbedingungen in den Jgst. 11/12 – Qualifikationsphase der Oberstufe Grund-/Leistungskursstruktur entfällt 4 Wochenstunden verpflichtend für alle Schüler schriftliche Abiturprüfung für alle verpflichtend 11/1-12/2: - je mind. zwei kleine Leistungsnachweise (davon mind. ein mündlicher) - je eine Schulaufgabe - Halbjahresleistung ist gerundeter Durchschnitt aus Punktezahl Schulaufgabe und Durchschnitt der kleinen Leistungsnachweise Lehrplan hat Schwerpunkt in der Analysis (ca. 116 Std.) Stochastik (ca. 36 Std.) Geometrie (ca. 44 Std.) Lehrplan unterstützt veränderte Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur konsequent; Abstimmung mit EPA und Standards Erster Schmuckpunkt sollte bekannt sein Zweiter Schmuckpunkt: Neuerung; Schulaufgabe in allen vier Ausbildungsabschnitten, … LP-Schwerpunkt liegt auf Analysis, Theorieanteile/Formalanteile gekürzt (z. B. Stetigkeit, Zusammenhang Stetigkeit und Differenzierbarkeit, stetige Fortsetzbarkeit, allgemeine Symmetrie, Zwischenwertsatz; Bestimmung schräger Asymptoten, Ableitung allgemeiner Exponentialfunktion, Ableitung Umkehrfunktion,…); Stochastik bereits in der Unter- und Mittelstufe angelegt; mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm sind die wichtigsten Werkzeuge vertraut (Kombinatorik dünner, kein zweiseitiger Signifikanztest, …); in Geometrie wurden Theorieanteile abgespeckt (allgemeiner Vektorbegriff, Vektorraum, Punktraum, Basis und Dimension, Spurpunkt, Spurgeraden, Theorie der Gleichungssysteme, HNF ohne Orientierungsinterpretation, …) bzw. Zielrichtung geändert (z. B. kein Rechenfanatismus mit Parameterformen, sondern schneller Überganz zu Normalenform). Kompetenzorientierung: Argumentieren/Begründen/Beweisen; Kommunizieren; Problemlösen/Modellieren; Darstellungen verwenden; aber auch „Rechnen“, aber ohne Rechenfanatismus

Planung: Struktur des M-Abiturs am G8 Weiterhin: - 2 Aufgabenvorschläge pro Bereich, - Lehrer wählt je einen Vorschlag aus jedem Bereich. Neu: - Arbeitszeit: 240 Minuten - Hilfsmittel: wissenschaftlicher TR, Merkhilfe, Tafelwerk - Verteilung der 120 Bewertungseinheiten (60 – 30 – 30) - Aufteilung der 60 BE in Analysis: Teil 1: ca. 20 BE kürzere, unabhängige Aufgaben Teil 2: ca. 40 BE wie bisher - Jahrgangsstufe 10 (G8) wie früher Jgst. 11 (G9) Verlängerte Arbeitszeit nicht als Erschwernis sehen; Abitur wird nicht anders, nur Struktur ändert sich leicht. CAS-Angebot ab dem 3. G8-Abiturjahrgang bisherige Formelsammlung in Leistungserhebungennicht mehr zugelassen, stattdessen vom ISB konzipierte Merkhilfe, zugelassen ab Jahrgangsstufe 10, Lehrer entscheidet über Einsatz in Jgst. 10, 4 Seiten Kopiervorlage im Internet, knappere Formulierungen erfordern andere Herangehensweise, letztlich aber eher einfacher für Schüler Einzelne, aus der bisherigen Formelsammlung gewohnte Inhalte wurde nicht aufgenommen, weil sie entweder zum elementaren Grundwissen gehören (Rechteck) oder eigenständig hergeleitet werden können (Parallelogramm); zusätzlich: Verwendung von Kompendien im Unterricht, in der Vor- und Nachbereitung, in den Seminaren der Oberstufe 20-BE-Teil besteht aus kürzeren, unabhängigen Aufgaben. Da Schüler „immer den Schalter umlegen muss“ wurde das Zeitpolster dafür großzügig ausgestaltet, daher 60 min mehr als bisher im gk-Abitur Handreichung

Handreichung zum M-Abitur am G8 „Angesichts der Tatsache, dass in den Aufgabenbeispielen dieser Handreichung naturgemäß verstärkt auf neue Tendenzen eingegangen wird, um die gewünschte Ausrichtung für die Zukunft aufzuzeigen, wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass nicht all diese Tendenzen zugleich in voller Tiefe in der ersten Abiturprüfung des achtjährigen Gymnasiums realisiert werden.“ Hinsichtlich der auftretenden Aufgabentypen wird sich am achtjährigen Gymnasium die Tendenz der letzten Jahre fortsetzen. Wie bereits erläutert ist hier nicht mit einer sprunghaften Veränderung zu rechnen. Die bereits seit Jahren propagierte neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur erhielt durch die Diskussion zu den Bildungsstandards und den dort „eingeführten“ allgemeinen mathematischen Kompetenzen zusätzliche Impulse. Keine reine Aufgabensammlung, Begleittexte und Kommentare zu Aufgaben lesen

Handreichung zum M-Abitur am G8 „Der Schwerpunkt der Darstellung liegt bei neuartigen, unge-wohnten Themen oder Aufgabestellungen und bei Themen, bei denen aufgrund von Lehrplanumstellungen im Vergleich zum neunjährigen Gymnasium unklar sein könnte, in welcher Tiefe oder Breite sie behandelt werden sollen. Angesichts dieser Schwerpunktsetzung darf nicht übersehen werden, dass die Abiturprüfung am achtjährigen Gymnasium selbstverständlich in ausreichendem Maße auf vertraute Themen und Aufgabentypen zurückgreifen wird, die ja auch weiterhin das ihnen zustehende Gewicht im Lehrplan und in den Schulbüchern haben.“ Insbesondere Kollegen ohne Unterrichtserfahrung in der Kollegstufe des neunjährigen Gymnasiums müssen darauf achten, dass sie durch die Schwerpunktsetzung der vorliegenden Handreichung nicht dazu verleitet werden, zentrale Standardthemen wie die e- und ln-Funktion oder gebrochen-rationale Funktionen zu vernachlässigen. Die Abituraufgaben der letzten Jahre stellen hier (wie beispielsweise im Kapitel 1.3 an zahlreichen Beispielen ausgewiesen) zusätzliches Übungsmaterial bereit. HR ist mit diesen Zusicherungen zu lesen.

Aufbau der Handreichung LP wird kapitelweise vorgestellt, auf Neuerungen wird hingewiesen Beispielaufgaben zu LP-Neuerungen und zu Abiturneuerungen in der HR  Problematik der Aufgabengewichtung für Leser Verweis auf weitere Beispiele oder „Gegenbeispiele“ aus früheren Abituraufgaben (gk und LK) vollständiges Musterabitur mir kommentierten Lösungen Bezug zu Bildungsstandards und EPA Z. B. Änderung: schräge Asymptoten, nur wenn offensichtlich; Differentialquotient: Deutung als Änderungsrate; Aufgabe zum Newtonverfahren; keine allg. Log- und Exp-Fkt., Parameter in elementarer Form, Flächeninhalt repräsentiert Größen, Erwartungswert und Standardabweichung, Aussage zur Kombinatorik Neuer Schwerpunkt in Geo: Verstärkter Anwendungsbezug, Aufgaben mit innermathematischen Leitideen, Verbalisieren und Begründen Aufgaben direkt im Text grundsätzliche Problematik der Gewichtung der Ausführungen, gerade für Referendare oder Kollegen mit wenig Unterrichtserfahrung in der bisherigen Oberstufe Übungsmaterial: bisherige Abituraufgaben, (gk i. d. R. alles sowie angemessene Anteile aus ehemaligen LK-Abituraufgaben EPA und Standards werden erläutert; Umarbeitung, aber wahrscheinlich/hoffentlich nicht so groß

Beispielabschnitt zum LP M 11.1.4 Anwendungen der ersten Ableitung „Neu im Lehrplan ist das Newtonverfahren, das in Abstimmung mit der EPA als Beispiel für ein numerisches Verfahren aufgenommen wurde. Aufgabenbeispiele finden sich in Kapitel 2.3 und 3. Das nachfolgende Beispiel geht über die reine Anwendung eines Verfahrens hinaus und prüft Verständnis für das Vorgehen …“ Typische Erläuterung zum Lehrplan 11.4 mit ca. 11 WS vorgesehen. Hauptthema „Monotonie und Extrema“, Newton nur am Rande Newton aber ausbaufähig, Fehlerabschätzungen, Anwendbarkeit, … HR zeigt hier die Grenzen auf Arbeit mit Graphen rückt generell stärker in den Vordergrund Argumentieren/Kommunizieren rückt in den Vordergrund Natürlich auch „Rechnen“

Beispiel zu möglichen Abituraufgaben In Beruf und Studium ist es eine übliche Herausforderung, sich aufbauend auf den erworbenen Kenntnissen auch in unbekannte, nicht vertraute Sachverhalte einzuarbeiten. Mit dieser Situation müssen Abiturienten daher umgehen können. Nun ist gerade in der Mathematik ein wirklich freies Arbeiten in unbekannten Themen ausgesprochen schwer, in einer Prüfungssituation unter Zeitdruck kann es nicht erwartet werden. Gleichwohl ist es möglich und sinnvoll, die „Bewegung in unbekanntem Terrain“ als wichtigen Aspekt mathematischen Arbeitens zumindest ansatzweise mit einzubeziehen. Letztlich finden sich Ansätze sogar recht häufig auch in den Schulbüchern und bisherigen Abituraufgaben: Dem Schüler nicht vertraute Anwendungssituationen, das geführte Herleiten und Begründen nicht bekannter Zusammenhänge. Bisher z. B. schon öfters hyperbolische Funktionen aufgetaucht ohne dies zu thematisieren. Aufgabe 3.2.3.A behandelt die Symmetrie eines Graphen bezüglich eines Punktes, die in allgemeiner Form nicht Teil des Lehrplans am achtjährigen Gymnasium ist. Es genügt grundsätzlich, wenn die Schüler anhand des Terms Funktionsgraphen auf Symmetrie zur y-Achse oder zum Koordinatenursprung untersuchen können. Gleichwohl kann die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt Thema einer geführten Aufgabe wie in folgendem Beispiel sein. Das Beispiel zeigt zugleich, dass es nicht sinnvoll ist, wenn Schüler auf Verdacht zusätzliche Formeln auswendig lernen. Die allgemeine Beziehung für die Punktsymmetrie eines Graphen ist hier weder gefragt noch hilfreich (der Versuch, sie zu nutzen, wäre wohl sogar eher hinderlich). Vielmehr ist die Fähigkeit wichtig, einer geführten Aufgabenstellung schrittweise zu folgen, und dabei seine lehrplanmäßig erworbenen Kenntnisse flexibel einzusetzen.

„Evolution“ der Abiturprüfung kompetenzorientierte Aufgabenstellung: Argumentieren, Kommunizieren, Arbeiten mit Darstellungen, Modellieren, …) breiteres Funktionenspektrum: rationale Funktion, e- und ln-Funktion, Sinus- und Kosinusfunktion, Betragsfunktion, Wurzelfunktion Verzicht auf Formulierungsfanatismus: Kein Nachweis erforderlich! Runde auf sinnvolle Genauigkeit! Zeichne im Bereich von …! Gruppierung nach Bedeutsamkeit: 1 (ganz- und gebrochen-rational, e- und ln-Fkt), 2 (Sinus- und Kosinus in elementarer Form, spezifische Eigenschaft Periodizität; nicht a*sin(bx + c)), 3 (Betrag- und Wurzelfunktion in elementarer Form, Knick bzw. senkrechte Tangente im Ursprung) Bei Aussagesätzen muss dem Schüler klar sein, dass er die Aussage nicht nachweisen muss. Bei Sachaufgaben gehört das sinnvolle Runden zur Lösung. Zeichnungen müssen die für die Aufgabe relevanten Graphenmerkmale herausstellen (z. B. Scheitel bei Parabel)

Planung: Abitur Mathematik am G 8 LP-Bereiche: Analysis (ca. 116 Std.) Stochastik (ca. 36 Std.) Analytische Geometrie (ca. 44 Std.)

Planung: Abitur Mathematik am G 8 LP-Bereiche: Analysis (ca. 116 Std.) Stochastik (ca. 36 Std.) Analytische Geometrie (ca. 44 Std.) Planungen zum Abitur Mathematik am G8: Analysis Stochastik Geometrie ca. 20 BE ca. 20 BE 30 BE 30 BE ca. 40 BE ca. 40 BE

Planung: Merkhilfe Mathematik Bisherige Formelsammlung in Leistungserhebungen nicht mehr zugelassen; stattdessen vom ISB konzipierte Merkhilfe ab Jahrgangsstufe 10. Lehrer entscheidet über Einsatz der Merkhilfe bei Leistungs-erhebungen. 4 Seiten Kopiervorlage im Internet Knappere Formulierungen erfordern andere Herangehens-weise. Zusätzlich: Verwendung von Kompendien im Unterricht, in der Vor- und Nachbereitung oder in den Seminaren

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