Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 3 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2004/05

Gleichungen und Ungleichungen

Problem „Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.

Skizze Gleichung a am = M2 a = M+m (M+m)•m = M2 (M/m)2 - M/m - 1 = 0 m F=am m M Lösung F=M2 M/m = (1±5)/2

http://www.kmk.org/aktuell/home1.htm

Lehrplan Realschule

Lehrplan Realschule

Lehrplan für die Klasse 7 (G8)

Lehrplanentwurf für die Klassen 8 und 9 (Gymnasium)

Lehrplanentwurf für die Klasse10 (Gymnasium)

Gleichung zentraler Begriff in der Mathematik bis zu Beginn des 20. Jahrhunderts bedeutende Rolle in der Algebra Mathematik als Theorie der Gleichungen

Viele bedeutende Sätze in der Mathematik können dem Lösen bzw. der Gültigkeit von Gleichungen zugeordnet werden. Beispiele: Satz von Fermat-Wiles Chinesischer Restsatz Fundamentalsatz der Algebra

Satz von Fermat-Wiles Die Gleichung xn+yn=zn hat für die ganzen Zahlen x,y,z und eine natürliche Zahl n≥3 nur triviale Lösungen.

Die große Bedeutung von Gleichungen als Ausdrucksmittel in der Mathematik wird deutlich, wenn man die Verwendung von Gleichungen in verschiedenen Teilgebieten betrachtet. Beispiele sind: Zahlen Terme Funktionen

Zahlen Für den Bereich der Zahlen gilt, dass grund-legende Eigenschaften der Zahlbereiche formal durch Gleichungen beschrieben werden (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz ...). Auch Beziehungen zwischen Rechenoperationen werden durch Gleichung ausgedrückt: a + b = c  a = b - c.

Terme Termumformungen basieren auf Gleichungen. Hier handelt es sich um allgemeingültige Gleichungen, bei denen beide Seiten Terme sind. Terme ergeben sich häufig als Rechenschemata, die durch Umformungen zu Formeln werden. Formeln sind wiederum ein anderer Typ von Gleichungen.

Funktionen Eigenschaften von Funktionen werden ebenfalls häufig durch Gleichungen ausgedrückt, so z.B. die Symmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x). Aber auch die Verwendung von Funktionen liefert Gleichungen (z.B. bei der Nullstellenberechnung).

Aspekte zum Umgang mit Gleichungen im Unterricht sind Lernen von Algorithmen für Gleichungen, Umformen von Gleichungen, Lösen von Sachaufgaben.

Bei den Algorithmen für Gleichungen geht es vor allem um Algorithmen zum Gleichungslösen. Ein schnelles und sicheres Lösen von Gleichungen beruht auf einer algorithmischen Lösungsstrategie.

Das sichere Beherrschen eines Algorithmus setzt verschiedene, hierarchisch geordnete Fähigkeiten voraus. Beim Lösen von linearen Gleichungen beispielsweise sind dies Kenntnisse über globale Vereinfachungsstrategien für lineare Gleichungen, Äquivalenzumformungen für Gleichungen, Termumformungen, Grundrechenarten.

Das Entwickeln von Algorithmen zur Lösung von Klassen bestimmter Aufgaben ist eine mathematisch kreative Leistung. Die Fähigkeit zur Algorithmisierung ist von großer Bedeutung und ist Ziel des Mathematikunterrichts.

Demgegenüber ist eine Überbetonung des algorithmischen Arbeitens zu vermeiden, da dadurch Problemlösefähigkeiten nicht gefördert werden. Algorithmisches Arbeiten dient vor allem dazu, bei Problemlöseaufgaben Teile des Problems ohne großen Aufwand zu bearbeiten und somit den Kern des Problems im Auge zu behalten.

Umformen von Gleichungen Termumformungen, bei denen beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander und Äquivalenzumformungen von Gleichungen, bei denen beide Seiten abhängig voneinander umgeformt werden.

Äquivalenzumformung: Waagemodell Nach dem Waagemodell kann man auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche tun, so wie man bei einer (Balken-)Waage im Gleichgewicht auf beiden Waagschalen gleiche Gewichts-veränderungen vornehmen kann, ohne dass die Waage aus dem Gleichgewicht gerät. Nachteil: z.B. die Multiplikation einer Gleichung mit negativen Zahlen kann nicht erklärt werden.

Äquivalenzumformung: Elementarumformungsregeln Bei Elementarumformungsregeln handelt es sich um zwei grundlegende Regeln: additiv: A + B = C  A = C - B, multiplikativ: A · B = C  A = C : B (B  0).

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Real-schulen 7 Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Real-schulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7 Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Anwendungsaufgaben Frau Schön ist dreimal so alt wie ihre Tochter Steffi. In 4 Jahren wird sie achtmal so alt sein, wie ihre Tochter vor 7 Jahren war. Wie alt sind beide jetzt? Mischt man 5 Liter Obstsaft mit 61% Fruchtgehalt mit 9 Litern Obstsaft, der einen anderen Fruchtgehalt hat, so erhält man Obstsaft mit einem Fruchtgehalt von 70%. Welchen Fruchtgehalt hat die zweite Sorte Obstsaft? Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Lösen von Sachaufgaben Sachaufgaben/Textaufgaben sind i.a. bei Schülern besonders unbeliebt. Das Hauptproblem besteht dabei in der Erfassung der relevanten Informationen und dem Aufstellen einer Gleichung. Das Lösen der Gleichung dagegen bereitet dann weniger Probleme.

Viele Sachaufgaben, die im Mathematikunterricht behandelt werden, sind sog. „eingekleidete Aufgaben“, deren Inhalt in der Regel keinen Sinn gibt. Dennoch haben einige dieser Aufgaben einen Knobelcharakter, der durchaus motivierend wirken kann.

Beispiel: Eine fünfköpfige Familie ist zusammen 142 Jahre alt. Die Tochter ist halb so alt wie die Mutter, die um vier Jahre jünger ist als der Vater. Der Sohn ist um vier Jahre jünger als seine Schwester und um ein Jahr älter als sein Bruder. Wie alt sind die einzelnen Personen?

Forderungen Sachaufgaben sollen: echte Umweltprobleme der Schüler ansprechen; einfach und klar in den Formulierungen sein, so dass Angaben und Problem unmittelbar zu erkennen sind; Mathematisierungsprozesse einleiten können, die ohne mathematische Hilfsmittel nicht oder nur schwer lösbar sind.

Notwendige Fähigkeiten zur Bearbeitung von Textaufgaben: nach Vollrath, 1994

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7 Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Bei den Schülern zeigen sich im wesentlichen zwei verschiedene Strategien beim Bearbeiten von Textaufgaben. Dabei liegt der Fokus - auf der gesuchten Größe, - auf Beziehungen zwischen Größen.

Fokus auf der gesuchten Größe: Ein Schüler - ermittelt und benennt die gesuchte Größe, - setzt damit Terme zusammen, - setzt die Terme in Relation.

Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet: Zwei Zahlen unterscheiden sich um 2. Vermehrt man jede der beiden Zahlen um 3, so nimmt ihr Produkt um 45 zu. Wie heißen die beiden Zahlen?

Fokus auf Beziehungen zwischen Größen: Ein Schüler - erkennt eine Relation, die der Aufgabe zugrunde liegt, - setzt Terme in Relation zueinander, - drückt die Relation durch Terme aus.

Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 15 cm. Jeder Schenkel ist doppelt so lang wie die Grundlinie. Wie lang sind die Seiten?

Zum Teil sind die Aufgabentexte übersetzungs-freundlich: Die Zahl der Studenten ist sechsmal so groß wie die Zahl der Professoren. Zum Teil sind sie aber auch tückisch: Auf einen Professor kommen sechs Studenten.

Den Übersetzungsvorgang beschreibt Malle (1993) in drei Schritten: 1. Vom Text zur konkret-anschaulichen Wissensstruktur, 2. Von der konkret-anschaulichen Wissensstruktur zur abstrakt-formalen Wissensstruktur, 3. Von der abstrakt-formalen Wissensstruktur zur Formel. Jeder Schritt ist dabei fehleranfällig.

Nach der (mathematischen) Bestimmung einer Lösung zu einer Textaufgabe, ist es zweckmäßig eine Probe durchzuführen. Dabei wird geprüft, ob der Text mit der gefundenen Größe stimmig ist.

Erweiterungen (in Anlehnung an die Lehrpläne der Klassenstufen 7 bis 10)

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7 Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8 Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9 Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9. Hannover: Schroedel.

Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9 Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9. Hannover: Schroedel.

Griesel, H. & Postel, H. (2000). Elemente der Mathematik 10 Griesel, H. & Postel, H. (2000). Elemente der Mathematik 10. Hannover: Schroedel.

Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.

Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.

Mathegeschichten (Klasse 8) Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.