Addierwerke

Wie rechnen Computer? Computer benutzen zum Rechnen nicht wie wir das 10er-System, sondern das 2er-System Dort gibt es nur die Ziffern 0 und 1, die als andere Repräsentationen der Wahrheitswerte WAHR und FALSCH angesehen werden können. Technisch werden die beiden Möglichkeiten durch Strom/kein Strom realisiert. Da das 2er-System im G8 nichtmehr besprochen wird, ist eventuell eine kurze Einführung nötig.

1-Bit-Addierwerk Ein 1-Bit-Addierwerk muss aus zwei einstelligen Eingaben S1 und S2 den Summenwert S und einen eventuellen Übertrag C (engl. Carry) berechnen können. Im 10er-System entspricht das der Addition zweier einstelliger Zahlen, der Summenwert ist die Einerziffer des Ergebnisses, der Übertrag die Zehnerziffer. Es gilt: 0 + 0 = 00 ⇒ S=0 C=0 0 + 1 = 01 ⇒ S=1 C=0 1 + 0 = 01 ⇒ S=1 C=0 1 + 1 = 10 ⇒ S=0 C=1 Fällt den Schülern z.T. schwer, daher anhand von Beispielen verdeutlichen.

1-Bit-Addierwerk Damit ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: Die Summe ergibt dann WAHR, wenn genau ein Eingang WAHR ist, das nennt man eine Exclusiv- Oder-Funktion. Der Übertrag ist genau dann WAHR, wenn beide Eingänge WAHR sind, das ist eine UND-Funktion. S1 S2 Summe Übertrag FALSCH WAHR Kann zusammen mit den Schülern erarbeitet werden.

Entwurf Entwerfe je ein Datenflussdiagramm zur Berechnung von S und C Lösung: S1 NICHT S2 UND ODER S S1 S2 UND C Datenflussdiagramm für S ist für die Schüler eventuell zu schwer, daher zusammen erarbeiten lassen. Hinweis: S ist eine Exclusiv-Oder-Funktion.

Reales Modell Setze die beiden Diagramme in je ein reales Modell um. Überzeuge dich davon, dass es richtig arbeitet indem du alle möglichen Kombinationen der Eingangswerte einstellst. Kopiere das Ergebnis in eine zweite Tabelle und arbeite sie mit Hilfe der WENN-Funktion so um, dass statt WAHR und FALSCH nun an den Eingängen 0 und 1 eingegeben werden können. Lösung: 1. und 2. Tabelle in Addierwerke.xls Die Schüler sollten erkennen: UND entspricht einer Multiplikation, so dass hier auf WENN verzichtet werden kann.

Reales Modell Überlege dir für S (Eingabewerte 0 und 1) einen möglichst kurzen Gesamtterm und ordne die Zellen in einer neuen Tabelle so an, wie sie unten zu sehen sind. S1 S2 1 C   S Lösung ist Teil der Tabelle Serienaddierwerk in Addierwerke.xls

Der Volladdierer Den bisherigen Entwurf nennt man in der Computertechnik einen Halbaddierer. Es kann nur für die letzte Ziffer von mehrstelligen Zahlen benutzt werden. Für alle höherwertigen Stellen muss auch noch der Übertrag der Stelle vorher als Eingang verarbeitet werden können. Eine solche Vorrichtung nennt man einen Volladdierer.

Wertetabelle Ein Volladdierer hat folgende Wertetabelle (Cn-1 bezeichnet den Übertrag der Stelle vorher): S1 S2 Cn-1 S C 1 Können die Schüler selbst erarbeiten. Hilfestellung: Summe bilden und im 2er-System schreiben

Funktionsterme Das Ergebnis lässt sich so formulieren: S ist genau dann 1, wenn die Summe der drei Eingaben 1 oder 3 ergibt, sonst 0. C ist genau dann 1, wenn die Summe der drei Eingaben 2 oder 3 ergibt, sonst 0. Schreibe in die Zeilen für C und S entsprechende Funktionsterme, so dass insgesamt mehrstellige Zahlen addiert werden können.

Hinweise Das Ergebnis sollte in etwa so aussehen: In die grau hinterlegten Zellen neben S1 und S2 darf nichts eingegeben werden, da das Ergebnis eine Stelle mehr haben kann als die beiden Summanden. In der grau hinterlegten Zelle rechts unten braucht keine Formel eingegeben zu werden, da in der letzten Stelle kein Übertrag vorhanden ist. S1   1 S2 C S

Hinweise Ein solches Addierwerk heißt n-Bit- Addierwerk mit durchlaufendem Übertrag. Vorteile: übersichtlicher Aufbau Nachteile: für n Stellen sind n Volladdierer nötig n Takte bei der Berechnung nötig Andere Lösungen (z.B. Serienaddierwerke, Carry-Save-Addierwerke) benötigen weniger Hardware und/oder weniger Takte. Kurz auf den Taktbegriff eingehen, die funktionale Modellierung kennt diesen Begriff nicht, alles geschieht „gleichzeitig“.

An die KollegenInnen: Bitte beachten: Diese Sequenz (inklusive der Tabellenblätter) darf für den Unterricht frei verwendet werden. Verbesserungsvorschläge, Fehler usw. bitte an: info@DieterBergmann.de