Phasenraum Zustandsvektor des Systems: 3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos 3.1. Dynamische Systeme Literatur: z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994) Zustandsvektor des Systems: Phasenraum Beispiele: Hamiltonsche Systeme: Temperatur, Druck, Strom, Spannung,  Bevölkerungszahlen Aktiennotierungen Herz- und Atemfrequenz, Hirnströme

Kontrollparameter des Systems:  Parameter zur Steuerung der Systemdynamik Beispiele: Massen, Federkonstanten, Reibungskoeffizienten Sensitivität auf Nahrungsangebot, Wetterschwankungen, ... Sensitivität auf Ölpreise, politische Krisen, ... Stärke der äußeren Nervenreize, ... Stochastische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t  0 folgt die Wahrscheinlichkeits-verteilung des Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:

Deterministische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t  0 folgt der Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0: Störung durch Rauschen: streng deterministisch: Das System ist unempfindlich auf Rauschen: schwach deterministisch (potentiell chaotisch): andernfalls Beispiel: x x      > 0   0

Kontinuierliche Systeme: „Zeit”-Variable t ℝ kontinuierlich Wichtigste Klasse: i.a. nicht-linear Autonome Systeme: Dynamik ohne explizite Zeitabhängigkeit z.B. Diskrete Systeme: „Zeit”-Variable t  k ℕ0 diskret (Zählindex) Wichtigste Klasse:

Diskretisierung kontinuierlicher Systeme System hat „natürliche” Periode T (z.B. Periode einer äußeren Anregung) Sukzessive Durchstoßpunkte durch (n1)-dimensionale Hyperebene im Phasenraum  Poincaré-Schnitt z.B.: tk sukzessive Zeitpunkte mit Poincaré-Abbildung:

Beispiel 1: Harmonischer Oszillator Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Der harmonische Oszillator ist als zweidimensionales kontinuierliches, lineares und autonomes System darstellbar

Beispiel 2: Getriebenes dissipatives Pendel Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Das getriebene dissipative Pendel ist als zweidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und nicht-autonomes System darstellbar

Beispiel 3: Getriebenes dissipatives Pendel (Alternative) Kontrollparameter: Zustandsvektor: Systemgleichung: Das getriebene dissipative Pendel ist als dreidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und autonomes System darstellbar

Beispiel 4: Populationsdynamik Zustandsvektor (1-dim):  Populationszahl einer biologischen Spezies in der k-ten Generation ( k  0 , 1 ,  ) Kontrollparameter: Vermehrungsfaktor Dämpfungsparameter für Futtermangel Systemgleichung: Umbenennung: Logistische Gleichung (Verhulst-Gleichung) Die logistische Gleichung beschreibt ein eindimensionales diskretes, nicht-lineares System

3.2. Spezielle Phasenraumgebiete Fixpunkte: Ein Zustandsvektor heißt Fixpunkt wenn gilt: kontinuierliches System: bzw. äquivalent: diskretes System: bzw. äquivalent:

Attraktoren  stabile Fixpunkte oszillatorisches Verhalten ii) „Schwingfall” Fixpunkt exponentielles Verhalten i) „Kriechfall” Repulsoren  instabile Fixpunkte ii) „Schwingfall” Fixpunkt i) „Kriechfall” oszillatorisches Verhalten exponentielles Verhalten

Sattelpunkte  semistabile Fixpunkte Grenzzyklen / Grenztori (bei nicht-linearen Systemen) Grenzzyklus 2-dim. Phasenraum instabilerFixpunkt (n  1)-dimensionaler Grenztorus n-dimensionaler Phasenraum Poincaré-Schnitte:

Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.) Seltsame Attraktoren: stabile aber irreguläre (chaotische) Bewegung im Attraktionsgebiet. Poincaré-Schnitte sind verschlungene selbstähnliche Figuren nicht-ganzzahliger Dimension (Fraktale). Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.) 2-dimensionale Projektionen Experimentelle Realisierung dieses Systems  Abschnitt 3.3.6.

Poincaré-Schnitte seltsamer Attraktoren Ikeda-System Getriebenes Pendel mit Dämpfung

Selbstähnlichkeit des Poincaré-Schnitts des Henon-Attraktors

 ⅓ Einschub: Fraktale und gebrochene Dimensionen 1 Beispiel: Koch-Kurven: Ersetze durch ad Infinitum Koch-Schneeflocke  C1 C2 C3 C4 C5 1 Dimension: Überdeckung von Ck mit Nk Kästchen 1-dimensionale Figur: 2-dimensionale Figur: d-dimensionale Figur: Koch-Kurven:

3.3. Stabilität von Fixpunkten Diskrete Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Eigenwerte von A: 1 , 2 ,  , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , n o.B.d.A.: i  0 ( i  0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern ) Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls i  1, und instabil, falls i  1. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung: Im i  0  exponentielles Verhalten Im i  0  oszillatorisches Verhalten Beweis:  Tafel

Kontinuierliche Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Eigenwerte von A: 1 , 2 ,  , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , n o.B.d.A.: i  0 ( i  0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern ) Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls Re i  0, und instabil, falls Re i  0. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung: Im i  0  exponentielles Verhalten Im i  0  oszillatorisches Verhalten Beweis:  Tafel

3.4. Chaotische Trajektorien Betrachte Trajektorien, beschränkt auf endliche Bereiche (um Fixpkte.) chaotisch nicht chaotisch  Grenztorus / Fixpunkt Eigenwerte: Lyapunov-Exponent (diskreter Fall) Lyapunov-Exponent (kontinuierl. Fall) Die Trajektorie ist chaotisch, wenn der maximale, entlang der Trajektorie gemittelte, Lyapunov-Exponent  0 Begründung:  Tafel Nachbartrajektorie noch nicht ,,zurückgefaltet”  ,,klein”

 Praktische Berechnung des maximalen mittleren Lyapunov-Exponenten: und möglichst kleinen Abstand d0 im Phasenraum. Wähle möglichst kleines „Zeit“-Intervall diskret kontinuierlich Hardware: Rauscheinfluss noch klein Software: Rundungsfehler noch klein t0  2 d2 Referenz-Trajektorie t0 d0 Anfangsauslenkung nicht entlang einer Hauptachse t0  3 d3 t0   d1  d0 d0 d0

Fixpunkt ist stabil (Attraktor) 3.5. Die Logistische Gleichung Anschauliches Beispiel (1): Identität f(x)x x1  F(x0) in Einheiten von a x1 x0 Fixpunkt x Fixpunkt ist stabil (Attraktor)

x Anschauliches Beispiel (2): Identität f(x)x Fixpunkt Attraktor in Einheiten von a Fixpunkt x0 x Repulsor

x Anschauliches Beispiel (3): Attraktor Identität f(x)x in Einheiten von a x0 Repulsor x

x Anschauliches Beispiel (4): Repulsor Identität f(x)x Grenzzyklus Periode 2 in Einheiten von a x0 Repulsor x

x Anschauliches Beispiel (5): Repulsor Identität f(x)x Grenzzyklus Periode 4 in Einheiten von a Repulsor x

x Anschauliches Beispiel (6): Repulsor Identität f(x)x in Einheiten von a Chaotische Trajektorie (Seltsamer Attraktor) Repulsor x

x Anschauliches Beispiel (7): Repulsor Identität f(x)x Grenzzyklus Periode 5 in Einheiten von a Repulsor x

neuer stabiler Fixpunkt Zusammenfassung der experimentellen Resultate: Feigenbaum-Diagramm 0.5 1.0 xk a 1 2 3 4 Fixpunkt 0 stabil Fixpunkt 0 instabil neuer stabiler Fixpunkt a1 a2 a3 Hopf-Bifurkation Periode 2 Bifurkation Periode 4 Chaos stabile Inseln

Feigenbaumkonstante Eigenschaften: Feigenbaumdiagramme  Fraktale Definition: Feigenbaumkonstante Theorem (Universalität des Chaos): Für glatte Systemfunktionen ist  unabhängig vom System und von der Wahl des variierten Kontroll-parameters. Die Feigenbaumkonstante ist transzendent und hat den Wert: Dies gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Systeme.

Formale Untersuchung der logistischen Gleichung: Fixpunkte: ex. nur für a  1 Stabilität: 0  a  1 stabil -------- 1  a  3 instabil stabil 3  a  4 instabil instabil

2 neue stabile Fixpunkte Bifurkationspunkt a  3  Betrachte iterierte Systemfkt. F∘F: Fixpunkt x Bifurkationspunkt: F(x)  1 Wendepunkt in iterierter Systemfkt. 2 neue stabile Fixpunkte in F∘F mit gleicher Steigung in F∘F entstehen. F bildet diese aufeinander ab  Periode 2 Nachrechnen! y  x F∘F stabil a  2,8 x 2 neue stabile Fixpunkte x F∘F a  3,0 x F∘F a  3,2 y  x y  x labil instabil Wendepunkt

4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F∘F∘F∘F  Periode 4 Zweite Bifurkation: 4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F∘F∘F∘F  Periode 4 Wendepunkte y  x F∘F∘F∘F instabil labil labil x  Beispiel für einen Weg ins Chaos über eine unendliche Bifurkationsfolge. Es gibt noch viele andere Wege!  etc.

nicht-linearer Schwingkreis Bifurkationsweg ins Chaos: Eine experimentelle Realisierung (Chaos-Generator)  Kontrollparameter x2   v L Rm Cm C R U0 U Um nicht-linearer Schwingkreis Übungsaufgabe: Zeige

Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System x2   v L Rm Cm C R U0 U Um Umformulierung auf Systemgleichung:  Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System

hohe Messgenauigkeit ,,hohe” Bifurkationsordnung Labormessungen (T.L. 1998) n 3 2 1 4 5 6 7  n-te Bifurkation hohe Messgenauigkeit ,,hohe” Bifurkationsordnung

3.6. Der Lorenz-Attraktor T T   T       T     T1 > T2 Flüssigkeit Konvektionszellen X  Strömungsgeschwindigkeit Y Z t  Zeit Ra  Rayleigh Zahl X , Y , Z , t Zahlen T T   T       T     Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung (nach Lorenz)  Typische Werte der Kontrollparameter: ,,Rayleigh-Zahl” ,,Prandtl-Zahl” Standard

Einzugsbereiche der stabilen Fixpunkte schrunpfen Fixpunkte und Stabilitätsanalyse (Nachrechnen!) Voraussetzung: p > b  1 Kritische Rayleigh-Zahl: XF  YF r stabil instabil 1 rk Wärmeleitung Konvektion Turbulenz Chaos Einzugsbereiche der stabilen Fixpunkte schrunpfen Grenzzyklen, Periodenverdopplung mit sinkendem r bei großen r ≫ rk

: Zeitkonstante s1, s2: Skalierungsfaktoren Elektronische Realisierung des Lorenz-Systems (Analoge Rechenschaltung mit Operationsverstärkern) Umrechnung auf physikalische Größen Mathematik Standardwerte Physik : Zeitkonstante (  R C von Integratoren ) s1, s2: Skalierungsfaktoren

Standardwerte Uy 1 10  0,1 Ux(0) Uy(0) Uz(0) 0,267 Ux Uz

3.7. Anhang: Über Operationsverstärker ( OpAmp ) 3.7.1. Der ideale Operationsverstärker   Ua U U I I U , U , Ua gemessen gegen Erde U , U , Ua   U0 , U0  U0  Versorgungsspannung, typisch 15 V Unendliche Verstärkung: mit d.h. Ua endlich (nicht gesättigt)  Leistungsfreiheit:

 3.7.2. Gegenkopplung   Ua I  0 I  0 ZP Z1 Z2 Zn I1 I2 In IP  Frequenzraum (Wechselstrom): Zeit-Darstellung:

 a) Addierer   Ua I  0 I  0 RP R1 R2 Rn I1 I2 In U  0 U1 U2 Un IP a) Addierer  Ua U1 U2 Un c1 c2 cn Schaltsymbol

 b) Integrierer   Ua I  0 I  0 C R1 R2 Rn I1 I2 In U  0 U1 U2 Un IP b) Integrierer   Zeitkonstante (beliebig) Ua U1 U2 Un Schaltsymbol r1 r2 rn 

für Initialisierungszeiten   Ua I  0 I  0 C R1 R2 Rn I1 I2 In U  0 U1 U2 Un IP Ua(0) R t ≫ RC  stationär,   0  symmetrischer Addierer für Initialisierungszeiten Ua U1 U2 Un r1 r2 rn  Ua(0) Physikalisch: Initialisierung bedeutet Aufladung des Kondensators mit Q  C Ua(0)

c c) Spannungsfolger   Ua U  0 Ui Anwendung: Koeffizientengeber (belastungsunabhängiger Spannungteiler) R Ui   Ua Rx R  Rx c Schaltzeichen Ui Ua

Belasteter Koeffizientengeber: Ui   Ua Rx R  Rx RL UL unabhängig von RL Schaltung ohne Spannungsfolger: abhängig von RL ( lastabhängig) R Ui Rx R  Rx RL UL

k 3.7.3. Nichtlineare Bauelemente basierend auf OpAmps Kombiniere OP-Verstärker mit Dioden, Transistoren, ... ( nicht-lineare Strom-Spannungs-Kennlinie)  unbeschränkte Möglichkeiten Beispiel 1: Vier-Quadranten-Multiplizierer Ua U1 U2 k oft: Aus Multiplizierern ableitbar: Quadrierer, Dividierer, Radizierer Beispiel 2: Funktionsgeber Ua Ue f Typische Spezialbausteine: f  abs, sign, sin, cos, tan, log, exp, ...

U, U, U  Dimension einer Spannung 3.7.4. Rechenschaltung für gedämpfte Schwingungen Problem: Gegeben: Wahl der Zeitkonstante: Zeit in Einheiten von :  Einsetzen  Zahl ohne Einheiten U, U, U  Dimension einer Spannung

Realisierung als Rechenschaltung:  1 U0  1 10

  Die elektronische Differentialgleichung: U 1 U 1 1 10 U  1 U 1 darstellbar mit dieser Schaltung Schwingfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall