2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik kartesische Koordinaten Kinematik: Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik: Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) Bahnkurve x y z O Bezugssystem (zeitlich fest oder variabel) kartesische Koordinaten bewegter (Massen-)Punkt Ortsvektor

 Geschwindigkeit Beispiele: a) Geradlinige, gleichförmige Bewegung in der (x,y)-Ebene y oder äquivalent  O x Geschwindigkeit

  Winkelgeschwindigkeit r b) Gleichförmige Kreisbewegung in der (x,y)-Ebene   Winkelgeschwindigkeit r y r t O x

Def.: Momentangeschwindigkeit Tangente 2.1.1. Geschwindigkeit Def.: Momentangeschwindigkeit O Def.: Mittlere Geschwindigkeit: Es gilt: Beweis:  Tafel

2.1.2. Addition von Geschwindigkeiten Komponentenzerlegung: x y O Addition komponentenweise: x y O v  v

Def.: Momentanbeschleunigung Def.: Mittlere Beschleunigung: Addition wie bei Geschwindigkeit (wie bei allen Vektoren)

z 2.1.4. Einfache Bewegungsabläufe a) Freier Fall: h Erdoberfläche z h Massenanziehung  Erdbeschleunigung g Tafelrechnung  Fallzeit T:  Methode zur Messung von g

 b) Schiefe Ebene: Tangetialbeschleunigung: Lösung wie im freien Fall Gerutschte Strecke s(t): Laufzeit:

y  x O c) Wurfparabel: H L  komponentenweise konstante Beschleunigung  wie freier Fall x(t)  v0x t unabhängig von v0y x(t)  t , y(t)  t2  y(x) ist Parabel Tafelrechnung  Wurfhöhe Wurfweite H  max bei   90

2.2. Dynamik von Massenpunkten 2.2.1. Trägheit Trägheitsprinzip (Galilei): Ohne äußere Einflussnahme bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. 1. Newtonsches Axiom: Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. Voraussetzung: Koordinatensystem bewegt sich unbeschleunigt  Inertialsystem unbeschleunigt gegen was? Ruhesystem des Weltalls    der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

2.2.2. Kräfte und Massen 2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Wirkt auf einen Massenpunkt der (trägen) Masse m eine Kraft , so erfährt er eine Beschleunigung mit Bewegungsgleichung: Definition der Massen-Einheit: [m]  1 kg (Kilogramm) 1 kg ist definiert durch Normal (hier: Platin-Iridium-Zylinder, gelagert in Paris) Definition der Kraft-Einheit: [F]  1 kg m s2  1 N (Newton) 1 N ist die Kraft, die das Massen-Normal mit 1 m s2 beschleunigt

(Eine) Messvorschrift für Kräfte und Massen: x  x0 entspannt belastet x0 x Federwaage Kleine Auslenkung  Hookesches Gesetz D  Federkonstante Eichmessung mit Massen-Normal: Kraftmessung Massenmessung

Bemerkungen: Dichte: Ausgedehnte homogene Körper: Volumen V  Masse m Definition: Dichte: Beispiel: (H2O, 4C, 1 bar)  1000 kg m3  1 kg  ℓ 1 ℓ  1 Liter  1 dm3

Schwere Masse: Quelle des Gravitationsfeldes z.B. freier Fall Schwere Masse der Erde const. Trägheitskraft Träge Masse Gravitationskraft Schwere Masse Erdradius Experiment  ist unabhängig von mT (auf 1010) Folgerung: mS  mT  Festlegung:  Gravitationskonstante Äquivalenzprinzip (allgemeine Relativitätstheorie): Trägheitskräfte und Gravitationskräfte sind in der Umgebung einer Testmasse prinzipiell ununterscheidbar

2. Newtonsches Axiom (allgemein für m  const.): Impuls: 2. Newtonsches Axiom (allgemein für m  const.): (relevant bei Systemen von Massenpunkten) Addition von Kräften: Kraft ist Vektor  übliche Vektoraddition

3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip): Unterliegen zwei Massenpunkte keinen äußeren Kräften, so wird jede Kraftwirkung des einen Punktes auf den anderen durch eine gleichgroße Gegenkraft kompensiert. Actio Reactio

Kraft  Feldlinien-Dichte 2.2.3. Kraftfelder Zeitabhängige Kraft, die auf einen Massenpunkt mit einer bestimmten Geschwindigkeit irgendwo im Raum wirkt Kraftfeld: Statisches Kraftfeld: Häufig: Beispiele: a) Zentralkraftfeld Kraftfeld Gravitationsfeld m Probemasse M Quell-Masse z.B. Erde Kraft  Feldlinien-Dichte Analog: Elektrisches Feld Q: Quellladung q: Probeladung

  q b) Homogenes Kraftfeld c) Wirbelfeld Plattenkondensator ElektrischerStrom I Magnetisches Wirbelfeld Draht q Magnetisches Feld Kraftfeld

d) Komplizierterer Fall: Magnetisches Wechselfeld  Kraftfeld für Testladung q mit Geschwindigkeit am Ort

Fundamentale Kraftfelder: Gravitation Elektromagnetisch Stark (Kernkraft) Schwach (Radioaktivität)

2.2.4. Arbeit und Energie B A Kraftfeld Kraftfeld Def.: Bei Verschiebung verrichtete Arbeit  Vom Kraftfeld verrichtete Arbeit: Def.: Bei Verschiebung aufgebrachte Leistung

B A Arbeit  Bewegung Kraftfeld Kraftfeld z.B. freie Bewegung im Kraftfeld: (Beweis: → Tafelrechnung)  Definition der kinetische Energie T eines Massepunktes (manchmal alternative Benennung T  Ekin)

B A Kraftfeld Def.: Kraftfeld konservativ  es gibt Stammfunktion V: Kraftfeld Def.: Kraftfeld konservativ  es gibt Stammfunktion V: V heißt Potential des Feldes Es gilt (vgl. Theorie-VL):  Potential V  WA→B ist wegunabhängig  Potential V  ( “” gilt nur für hinreichend glatte Felder in einfach zusammenhängenden Gebieten)

Def. : Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl Def.: Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl. ) im konservativen Kraftfeld: skalares Feld  Def.: Äquipotentialflächen  Flächen mit V  const. für Folgerung: in Äquipotentialfläche  V  const.  V  0  Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen Bewegung in Äquipotentialflächen  W  0 Verschiedene Äquipotentialflächen sind diskunkt

Wirbelfeld hat kein Potential Beispiele: Radialfeld • Dipolfeld • Wirbelfeld hat kein Potential Äquipotentialfläche 2 V2 = V1 - Δs·F • Beweis: 2 Äquipotentialflächen (V1V2) berühren sich nicht ! Δs·F • Äquipotentialfläche 1 Potential V1

Beispiele für potentielle Energie: a) Heben von Lasten:  Tafelrechnung m Heben z h

D x b) Potentielle Energie der Feder: D  Federkonstante Hookesches Gesetz D  Federkonstante D x entspannt belastet Tafelrechnung 

Maximalhöhe ( Umkehrpunkt ) Experiment: m Maximalhöhe ( Umkehrpunkt ) Umwandlung der potentiellen Energie der Feder in die einer Masse im Schwerefeld h m D gestaucht D entspannt x

a) Impulserhaltungssatz 2.2.5. Erhaltungsgrößen a) Impulserhaltungssatz 3. Axiom 2. Axiom mP mQ P Q Verallgemeinerung: Wirken in einem System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte (abgeschlossenes System), gilt Impulserhaltung: Bemerkung: Es ist irrelevant, ob die inneren Kräfte konservativ sind oder nicht!

Definition: Schwerpunkt  Gesamtmasse Folgerung: Schwerpunktimpuls Schwerpunktsatz: Für ein abgeschlossenes System ist der Schwerpunktimpuls konstant.

Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder) Demo-Versuch: Luftkissenbahn Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder) v - v m Faden  der Schwerpunkt bleibt in Ruhe!

Gedankenexperiment zum Schwerpunktsatz: Wie weit kann man mit diesem Rückstoßantrieb fahren? Sand (masselos) Munition, M   1 Kugel: dM v1 . v2 m  0 m  0 m  0 M Sand + Munition Massenschwerpunkt (zeitlich konstant)

b) Energieerhaltungssatz Voraussetzung: konservatives Kraftfeld Tafelrechnung  für Massenpunkt Energiesatz der Mechanik: Bewegt sich ein Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld, ist die Energie (d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie) zeitlich konstant. Verallgemeinerung: System von Massenpunkten → Verallgemeinerung: Nicht-konservative (dissipative) Kräfte (z.B. Reibung) führen zur Wärmebewegung (Energie Q) der Umgebung

z m m mg h Demo-Versuch: Looping y x R R Idealisierende Anahmen: Keine Reibung (dissipative Kraft) Kugel rutscht (kein Rollen, keine Rollenergie) x y R m z h R m mg

Zentripetal-beschleunigung Winkelgeschwindigkeit: Zentripetal-beschleunigung Tafelrechnung  mit

 z m mg h Bedingung für Looping-Bewegung (oberster Punkt der Bahn): R Schwerkraft  Zentripetal-kraft  Tafelrechnung

Wechsel-wirkungs-gebiet 2.2.5. Stoßgesetze m1 m2 Wechsel-wirkungs-gebiet θ1 θ2 Streuwinkel Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmen Billiard: Direkter Stoß des Laien  ziemlich elastisch Profistoß mit Drall  superelastisch

e+ e- e+ e- Beispiel: θ Elastische Streuung von Elementarteilchen Detektor e+ e- θ e+ e- 100 GeV 100 GeV  100 GigaVolt Beschleunigungsspannung Experimentelle Charakterisierung der Kraft beim Stoß:

Beispiel: e e

e+ e- e+ γ e- Beispiel: Unelastische Streuung von Elementarteilchen Detektor e+ e- γ Lichtquant (Photon) Gammastrahlung e+ e- 100 GeV Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen Teilchenenergie  sichtbares Licht  Photosensor

Beispiel:  e e

m1 m2 m1  m2 Impulserhaltung: Beispiel: total unelastischer Stoß m1 (Stets gültig! Egal ob elastisch oder nicht) Beispiel: total unelastischer Stoß m1 m2 m1  m2 Verformungsenergie Q ↗

Beispiel: Ballistisches Pendel m2 L Schwerpunktsbewegung: L Umkehr-punkt d h Aufheizung, Wärmeenergie Q m1 v v' Messe d Tafelrechnung

2-dimensionale Lösungsschar z.B. Parameter: 1 , 2 Elastischer Stoß: Q  0 θ1 θ2 Streuwinkel Impulserhaltung... ...und zusätzlich Energieerhaltung  6 Unbekannte Impulserhaltung  3 Gleichungen Energieerhaltung  1 Gleichung 2-dimensionale Lösungsschar z.B. Parameter: 1 , 2

  Spezialfall: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem Impulserhaltung im Schwerpunktsystem: Streuebene  Energieerhaltung  Impulsübertrag:

oft ruhend im Labor  Laborsystem Spezialfall: Elastischer Stoß im Targetsystem oft ruhend im Labor  Laborsystem Schwerpunktgeschwindigkeit: Streuebene  Folgerung: falls m1  m2 Anwendung: Neutronen-Abbremsung durch Moderator in Kernkraftwerken  m1  m2

entartete Streukreise Spezialfall: Targetsystem, m1  m2 Streuebene entartete Streukreise 50 %

Streuung in alle Richtungen Spezialfall: Targetsystem, m2   Streuebene Streuung in alle Richtungen 100 %

Spezialfall: Targetsystem, m1   Streuebene Vorwärtsstreuung 100 %

  Elastischer Stoß gegen eine ruhende ebene Wand: keine Kräfte parallel zur Wand Folgerung: Reflexionsgesetz Einfallswinkel   Ausfallswinkel   

2.2.6. Bewegung mit Reibung Reibungsarten: Haft-, Gleit-, Rollreibung Mikroskopische Theorie: Oberflächen-Beschaffenheit (sehr kompliziert) Kleine Körper in Flüssigkeiten und Gasen: Stokes-Reibung Stokes-Reibung: (empirischer Befund)   Reibungskoeffizient:

m v0 x α x0 Δx a) Freie Bewegung t x x0 + Δx x0 Eindringtiefe: Geschoss x0 Eindringtiefe Δx a) Freie Bewegung t x x0 + Δx x0 Eindringtiefe:

z m b) Freier Fall Bewegungsgleichung: Lösung: Beweis: Prüfe für dieses v(t) v(0)  v0 (Anfangsbedingung) v(t) erfüllt die Bewegungsgleichung Asymptotisches Verhalten: