nicht-ferromagnetische Stoffe:    Geometrische Optik 1. Grundlagen Licht  elektromagnetische Welle (  Elektrodynamik ) Elektrisches Feld Magnetisches Feld Gegenseitige periodische Anregung Def.: Polarisationsrichtung Ausbreitungsrichtung im Vakuum: Vakuum-Dispersionsrelation: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit: Im isotropen Medium: Brechungsindex nicht-ferromagnetische Stoffe:   

Näherung ( geometrische Optik )  Lichtstrahlen Wellenlänge   Objektgrößen ( Blenden, Löcher, Aperturgrenzen, ... ) Wellennatur unerheblich ( Beugung, Interferenz unwichtig ) nur Ausbreitungsrichtung und ggf. Polarisation relevant Def.: Lichtstrahl  Ausbreitungsrichtung Isotrope Medien  Normale auf Wellenfront Strahlen Phasenflächen Def.: Strahlenbündel  durch Blenden (Aperturen) berandete Lichtwelle Annahme: keine Absorption  lineare Superposition von Strahlen

erstes Beugungs-Minimum Beispiel: Beugung einer ebenen Lichtwelle am Spalt L >> x Ebene Welle k x  erstes Beugungs-Minimum Blende  paralleles Strahlenbündel  Beugungseffekte klein  jedoch für :  Kugelwelle Fresnel-Zahl !

Lichtstrahlen in isotropen, inhomogenen Medien Fermatsches Prinzip: Lichtstrahlen zwischen zwei Punkten A und B durchlaufen Wege kürzester Zeit ( bzgl. benachbarter Wege ) A B Wmin Wmin  W optische Weglänge bzw. Eikonal L Fermatsches Prinzip  Folgerung: Lichtwege sind umkehrbar.

n·Weglänge Spezialfall: Ausbreitung im homogenen Medium, n  const. minimal  kürzeste Verbindung von A und B Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig aus Anwendungen: Fata Morgana heiße Straße n Gradientenlichtleiter n Isochronen

   2. Reflexion und Brechung 2.1. Reflexion n1 n2 y z A ( x1 , 0 , z1 ) ( x0 , y0 , 0 ) ( x2 , 0 , z2 ) B Grenzfläche zwischen zwei Medien n1 n2 2.1. Reflexion Strahlebene  Grenzfläche  Reflexionsgesetz   ( Einfallswinkel  Ausfallswinkel ) Tafelrechnung  z x y  0 x0 x1 x2 A B 1 2 n1 n2

Anwendungen: Lichtumlenkung durch Winkelspiegel (Umlenkwinkel unabhängig von Orientierung der Spiegelsysteme) • Umkehr Parallelverschiebung 45 90-Ablenkung • Passive Lichtumkehr ( 3-D ) Katzenauge ( Verkehrsschilder,... ) Laserreflexion von Mondoberfläche ...

Brechungsgesetz ( Snellius ) n1 sin  n2 sin  x y  0 x0 x1 x2 A B 1 2 n1 n2 (  n1 ) reflektierter Teilstrahl analog zur Reflexion  Strahlebene  Grenzfläche  Brechungsgesetz ( Snellius ) n1 sin  n2 sin  Tafelrechnung 

n1 sin  n2 sin  Anwendung: Totalreflexion ( beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium ) z x y  0 1´ 2 n1 • 2G n2 (  n1 ) reflektierter Strahl n1 sin  n2 sin  Grenzwinkel 2  G bei sin  Einfallswinkel G  Totalreflexion Beispiel: Luft  n1  1 Wasser  n2  1,33 G

ideale, d.h. scharfe Abbildung 3. Die optische Abbildung optisches System Reflexionen Brechungen Blenden ( Apertur ) A Objektpunkt B Bildpunkt ideale, d.h. scharfe Abbildung Fermat  a) alle Strahlen (A  B) haben gleiche Laufzeit  sind isochron b) Objekt- und Bildpunkt sind austauschbar (Lichtweg umkehrbar) BF Brennpunkt ( focal point ) Spezialfall: A  parallele Strahlen optisches System Reflexionen Brechungen Blenden ( Apertur )

Fallunterscheidung: A B reelles Bild virtuelles Bild A B darstellbar auf Bildschirm virtuelles Bild A B nur darstellbar mit zweitem abbildenden System ( z.B. Auge )

Beispiele: Ebener Spiegel: A A virtuelles Bild aufrecht Abbildungs-Maßstab 1  1 Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.

Elliptischer Spiegel: Brennpunkt Brennpunkt Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte ) ineinander ab. Spezialfall: Kugelspiegel  Selbstabbildung des Mittelpunkts

Lochkamera: P Näherungsabbildung, Unschärfe d invertiertes Bild Schirm / Film Näherungsabbildung, Unschärfe d invertiertes Bild Abbildungsmaßstab b  a große Schärfe Loch d klein  große Tiefenschärfe kleine Lichtstärke d P Bildfleck: Beugungsfleck: Grenze der geometrischen Optik Optimum: abhängig von Wellenlänge!

Berechnung von Oberfächenformen ( Linsen ): Zielsystem: F x y Realisierung: F x y n L  const. ( x , y ) ( 2 ) ( 1 ) D f x y xM a ( Hyperbel ) Übung

Gute Abbildung für dünne Linsen und achsnahe Strahlen x y n x y xM a D f Bemerkung: x(y) nur für diesen einen Strahlengang (achsparallele Strahlen) korrekt  sonst Abbildungsfehler Vereinfachte Herstellung: sphärischer Schliff  gute Näherung für Wölbungsdicke ≪ f Gute Abbildung für dünne Linsen und achsnahe Strahlen

4. Elementare optische Bausteine 4.1. Hohlspiegel y x f s1 s2 ( x , y ) 4. Elementare optische Bausteine 4.1. Hohlspiegel Achsparallele Srahlen: Fermat  Parabolspiegel z.B. für Astronomie, Autoscheinwerfer etc. Bemerkung: x(y) nur für diesen einen (achsparallelen) Strahlengang korrekt  sonst Abbildungsfehler Vereinfachte Herstellung: sphärische Hohlspiegel  gute Näherung für achsnahe Strahlen

Brennweite des Hohlspiegels Sphärische Hohlspiegel: f M F R h   achsnahe Strahlen: Brennweite des Hohlspiegels R / 2 .  achsferne Strahlen:  sphärische Aberration Grenzfall:

gilt auch für Punkte jenseits (aber nahe) der optischen Achse Punkt-zu-Punkt-Abbildung achsnaher Strahlen: S   Außenwinkel ASM       R B     Außenwinkel MSB       h    M A Rechnung bis O(h): b g Abbildungsgleichung: g: Gegenstandsweite b: Bildweite f: Brennweite 0 vor dem Spiegel  0 hinter dem Spiegel gilt auch für Punkte jenseits (aber nahe) der optischen Achse

Abbildung eines Gegenstandes: geometrische Konstruktion: R  b b Parallelstrahl  Brennpunkt G Mittelpunktstrahl  Selbstreflexion B Brennpunktstrahl  Parallelstrahl F M g  R Strahlensatz  g Abbildungsmaßstab:

Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen): g  R  2f : B M G F Bild  reell ( f  b  R  2f ) invertiert ( BG  0 ) verkleinert ( BG  1 )

Strahlengang von Fall 1) invertiert Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen): B M F G R  g  f : Strahlengang von Fall 1) invertiert Bild  reell ( b  R  2f ) invertiert ( BG  0 ) vergrößert ( BG  1 )

Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen): M F G f  g  0 : Bild  virtuell ( b  0 ) aufrecht ( BG  0 ) vergrößert ( BG  1 )

universell mit obiger Vorzeichenkonvention Umkehrung des Strahlengangs in 3)  Konkavspiegel F hinter Spiegel  f  0 B hinter Spiegel  b  0 G vor Spiegel  g  0 g  0 : G B F M Bild  virtuell ( f  b  0 ) aufrecht ( BG  0 ) verkleinert ( BG  1 ) universell mit obiger Vorzeichenkonvention

4.2. Prismen   2 1 2 1 n C Strahlablenkung Farbaufspaltung durch Dispersion ( Spektrographie )  Ablenkwinkel : A,B,C: Bemerkung: Bemerkung: Umkehrbarkeit des Lichtweges

Spezialfall: symmetrischer Strahlengang  n    Snellius Bemerkung: Symmetrie    Extremum ( genauer: Minimum ) Beweis: Symmetrie Messung von   min  

Farbaufspaltung (bei minimaler Ablenkung): aus mikroskopischen Modellen (klassisch bzw. quantenmechanisch)  n    weiß rot grün blau Normale Dispersion: (durchsichtige Medien, fern von Absorption) (sonst: anomale Dispersion) also: 

4.3. Linsen 4.3.1. Brechung an sphärischen Flächen sphärische Fläche  Grundelement der sphärischen Linse Vorzeichenkonvention: Licht R  f  b  f  b  Licht R  f  b  f  b 

(Analog: n2n1  divergierende Strahlen  virtuelles Bild) Abbildungsgleichung für achsnahe Strahlen: n1 n2  n1 M R A g B b P (Analog: n2n1  divergierende Strahlen  virtuelles Bild) Rechnung bis Oh: Außenwinkel APM Außenwinkel BPM Snellius

Brennweiten:  äquivalente Formulierungen der Abbildungsgleichung: f2b b f1g  äquivalente Formulierungen der Abbildungsgleichung:

4.3.2. Dünne Linsen n1 n2 M1 A g B b M2 Abbildungsgleichung Dünne Linse  2 sphärische Grenzflächen; Dicke D ≪ Brennweiten  R2 n1 n2 M1  R1 A g B b M2 D0 nach à A ( g )  linke Fläche ( R1 )  à ( ): à ( )  rechte Fläche ( R2 )  B ( b ): Abbildungsgleichung

Abbildungsgleichung Interpretation von f: f  (beidseitige) Brennweite Linsenumkehr Lichtumkehr  f  Linsen-Eigenschaft f invariant Definition: Die Größe 1/f heißt Brechkraft. Beispiel: n1 n2,5 R1  m R2  m  f  m R1  0 R2  0 1/f  0 Sammellinse R1  0 R2  0 1/f  0 Zerstreuungslinse

Typen von Grenzflächen: Licht konvex R  konkav R  plan R  Linsentypen: Licht bikonvex R1  R2  1 2 plankonvex R1  konkavkonvex R1  konvex f  0 Bi-Linsen Plan-Linsen Menisken-L. Licht bikonkav R1  R2  1 2 plankonkav R1  konvexkonkav R1  konkav f  0

Parallelversetzung  0 für D  0 4.3.3. Abbildung durch dünne Linsen D Parallelversetzung  0 für D  0 Sammellinse Parallelstrahl Brennpunktstrahl Mittelpunktstrahl G b F F B g f f reelles Bild

Parallelstrahl Zerstreuungslinse Brennpunktstrahl Mittelpunktstrahl G B F F b g f f Verwende rückwärtige Brennpunkte  virtuelles Bild

Strahlensatz  Abbildungsmaßstab Sammellinse Parallelstrahl Brennpunktstrahl Mittelpunktstrahl G b x x F F B g f f Strahlensatz  Abbildungsmaßstab  Newtonsche Abbildungsgleichung

b B Sammellinse G F g f Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl x x x  x  f   BG    eins-zu-eins-Abbildung Abstand Quelle-Schirm  g  b fest, verschiebe Linse  2 Stellungen mit scharfem Bild: x, x  x, x  Brennweitenmessung ohne absolute Linsenposition

b B Sammellinse G F g f Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl x x

aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild 0  b  f Zerstreuungslinse G F g f Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild 0  b  f

5. Matrixmethoden der geometrischen Optik 5.1. Definitionen Hier: Betrachte nur eine transversale Projektion y. Annahme: x und y Lichtaus-breitung sind voneinanander unabhängig (entkoppelt). x, y  transversale Abweichungen eines Lichtstrahls vom Referenzstrahl s y  Tangente s0 s  Entfernung entlang Referenzstrahl Referenzstrahl  Sollbahn  optische Achse Vollständige Beschreibung des Strahls: Zustandsvektor s0 beliebig Transferabbildung:

Definition des Referenzstrahls Transferabbildung eines optischen Systems: y sa se s : ℝ Definition des Referenzstrahls 

linearisierte Transfergleichung Taylorentwicklung für achsnahe Strahlen: a11 a12 a21 a22 linearisierte Transfergleichung Transfermatrix i.a. eine Transfermatrix pro transversale Projektion falls x, y nicht entkoppelt  Formalismus mit 44-Transfermatrizen und 4-komponentigen Zustandsvektoren ( x, x, y, y )

5.2. Spezielle Transfermatrizen Lichtausbreitung im homogenen, isotropen Medium (Driftstrecke): s y se sa ye ya  d

Durchgang durch brechende Ebene: s y e ye ya se sa Snellius 

Durchgang durch sphärische Grenzfläche: y s se sa 4.3.1.

Matrixmultiplikation 5.3. Folge optischer Systeme s y s0 s1 s2 System 1 System 2 M1 M2 Mtot Matrixmultiplikation Allgemein:

Beispiele: s y R2 R1 n1 n2 Dünne Linse: 1 / f

Dünne Linse  Driftstrecke: y f se sa d Dünne Linse  Driftstrecke: Folgerung: d  rechtsseitige Brennweite falls gilt: für alle ye d.h. gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

Driftstrecke  dünne Linse: y f sa se d Driftstrecke  dünne Linse: Folgerung: d  linksseitige Brennweite falls gilt: für alle d.h. gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

parallelverschobener Mittelpunktstrahl y f sa se d Bemerkung: s y f F für alle Beliebig orientierte parallele Strahlen werden in die Brennebene abgebildet (Punkt-Winkel-Abbildung) Folgerung: Strahlengang-Konstruktion für beliebige Strahlen F Brennebene parallelverschobener Mittelpunktstrahl

Abbildung durch dünne Linsen: y f F G B g b MbMf Mg Scharfe Abbildung  ya  f ye unabhängig von  a12  0  (Abbildungsgleichung) Dann folgt:

5.4. Phasenraum einer Strahlenmenge Alternative Definition: Zustandsvektor Transfer Folge: Driftstrecken, brechende Flächen, Linsen erfüllen alle Folge: Wegen det AB  det A  det B gilt dies auch für beliebige Kombinationen Vorsicht: Werden Spiegelungen auch zugelassen, gilt nur Optisches System ne na Optisches System n

Funktional-Determinante so what? Theorem von Liouville: Die Strahlenmenge nimmt in der ( y , n y )-Ebene, dem sogenannten Phasenraum, für alle s die gleiche Fläche ein: Beweis: Funktional-Determinante

s2 max max  0 maximal negativ korreliert s3 min max 0 unkorreliert Beispiel: s2 y y Scherung Scherung s3 Fast paralleles Strahlenbündel f F n  1 s3 s1 s2 Ellipsenfläche konstant s1 Varianzen und Kovarianzen: s s1 max min 0 unkorreliert s2 max max  0 maximal negativ korreliert s3 min max 0 unkorreliert

Kein Strahlenbündel ist perfekt parallel  kein Brennpunkt ist perfekt Konsequenzen: Kein Strahlenbündel ist perfekt parallel  kein Brennpunkt ist perfekt f Strahleinhüllende F s Strahltaille vor dem Brennpunkt Stochastische Prozesse (diffuse Streuung,...) vergrößern d2 d2-Verkleinerung erfordert Einspeisung von Information Beispiel: Stochastische Kühlung von Antiprotonstrahlen (S. van der Meer, Nobelpreis 1983)

Mittelung über alle Strahlen des Bündels Strahlform: i.a. gaußförmig, z.B. Gauß-Verteilung bleibt bei linearer Transferfunktion gaußförmig beschreibbar durch Breiten, d.h. (Ko-)Varianzen -Matrix: Mittelung über alle Strahlen des Bündels räumliche Breite Winkeldivergenz Korrelationsgrad

Emittanz  Phasenraumvolumen Gauß-Verteilung Transfer ( na  ne ): gaußsche Fehlerfortpflanzung Folge ( na  ne ): 1 Emittanz  Phasenraumvolumen

6. Dicke Linsen, Linsensysteme, Hauptebenen 6.1. Das Hauptebenenkonzept Idee: Ersetze optisches System durch ein anderes (einfache Brechung ( f ) an zwei Hauptebenen (H1, H2)) mit gleicher Transfermatrix (aber i.a. unterschiedlichem Strahlengang innerhalb des Systems) H1 H2 f  Systembrennweite FA FB s f f h1 h2 Konstruktionsvorschrift: Driftstrecke bis H1 Strahlübertragung nach H2 Brechung an dünner Linse Driftstrecke bis Systemende

h2 s FB f FA h1 H2 H1 Eindeutige Lösung:

6.2. System aus zwei Linsen d s f1 f2 Nahe Linsen (d  0):  wie Einzellinse  Additionstheorem für n nahe Linsen:

6.3. Dicke Linsen H1 H2 R1 R2 n1 G FB FA n2 f d s B f n1 h1 h2

s H1 H2 Vereinbarung: Messe g, b von H1, H2 aus R1 R2 G FB FA n2 n1 f d B f n1 g b h1 h2 Korrektur zur dünnen Linse Vereinbarung + Konstruktion 

7.1. Chromatischer Aberration 7. Linsenfehler achsferne Strahlen Strahlbündel asymmetrisch zur Achse nicht-monochromatischer Strahl kein perfekter Brennpunkt  chromatische Aberration f 7.1. Chromatischer Aberration blau rot n  n: Glas hat normale Dispersion, d.h.   n  f  Linse: Achromat: Linsensystem mit df /d   bei einer mittleren Wellenlänge. Erfordert Kombination von mehreren Linsen unterschiedlichen Materials.

1 2 Konstruktion eines zweilinsigen Achromats: f1 f2 n1 n2 geklebt Zielbrennweite f vorgegeben  bestimme f1 und f2 aus und . 1 2

7.2. Sphärische Aberration Bildform Sphärische Oberflächen  kein perfekter Brennpunkt, nicht einmal für achsparallele Strahlen  sphärische Aberration f Abhilfen: Blenden gegen achsferne Strahlen  Verringerung der Lichtstärke  besser als ; generell ex. optimale sphärische Form Kombinationen Sammel- / Streulinsen  sphärische Korrektur nicht-sphärische Linsen aus gepresstem Kunststoff ( Acrylglas ) monochromatisch Koma Sphärische Aberration bei schrägem Einfall: Koma Bildform

7.3. Astigmatismus  unterschiedliche Brechkraft in x- und y-Richtg. Extremfall: Zylinderlinse (  Korrekturlinse für astigmatische Systeme ) A s B Abbildung durch astigmatische Linse: s x y Bildlinie Bemerkung: Stark unterschiedliche Einfallswinkel in x und y  Astigmatismus durch sphärische Aberration auch bei perfekter (sphärischer) Linse

7.4. Bildfeldwölbung und Verzeichnung Sphärische Aberration  Ebenen werden in gewölbte Flächen abgebildet B Bildfeldwölbung G Abblenden Verzeichnung tonnenförmige kissenförmige s Bild in Brennebene Randunschärfe

Entstehung der Verzeichnung: Ideale Bildebene für achsnahe Strahlen Blende s Verzeichnung mit Kissenform

Entstehung der Verzeichnung: Ideale Bildebene für achsnahe Strahlen Blende s Verzeichnung mit Tonnenform

8. Optische Instrumente Aufgaben: Bilderzeugung: Kamera, Diaprojektor, … Vergrößerter Sehwinkel: Lupe, Mikroskop, Fernrohr, ... Sehwinkel mit Instrument Definition: Winkelvergrößerung Sehwinkel mit bloßem Auge (ermüdungsfreie Akkomo-dation des Auges) Definition: Deutliche Sehweite Auflösung des Auges bei s0: Kleinste sichtbare Objektgröße bei s0: Wirkung eines Instruments:

8.1. Die Lupe s Lupe ( f ) aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild  akkomodiertes Auge  G F F g  f s relles Bild auf Netzhaut b entspanntes Auge: s0-akkomodiert:

8.2. Das Mikroskop G  Linse  vergrößertes Zwischenbild  Lupe  Auge entspanntes Auge Tubuslänge Okular g  f1 f2 f1 F1 F2 F2 G F1 G s Objektiv virtuelles Bild in 

8.3. Das Fernrohr 2 Linsen im Abstand d  f1  f2 Parallelstrahlen  teleskopisches System Astronomisches ( Keplersches ) Fernrohr: f1, f2  0 Okular ( f2  foku ) Objektiv ( f1  fobj ) s entspanntes Auge Aperturblende  Lichtstärke Gesichtsfeldblende  scharfe Bildfeldbegrenzung  Zwischen- bild h  Bild invertiert  Umkehrprisma für terrestrischen Einsatz Tubuslänge  fobj ist i.a. sehr groß

Holländisches ( Galileisches ) Fernrohr: f1  0, f2  0 Objektiv ( f1  fobj ) Okular ( f2  foku ) entspanntes Auge s aufrechtes Bild kompaktere Bauweise Weiter Systeme Spiegelteleskope Feldstecher ... sehr kompakt

8.4. Der Diaprojektor gleichmäßige Ausleuchtung scharfes Bild der Glühwendel Bildbühne mit Diapositiv Halogenlampe scharfes, invertiertes Bild des Diapositivs Hohlspiegel Objektiv Kondensor Durchmesser groß Brennweite klein Projektions-Leinwand

8.5. Lichtstärke optischer Instrumente Bild der Blende  Austrittspupille Beispiel: Abbildung durch Linse (Kamera) Abstand  0 Durchmesser d  Bild (Größe B) Objekt Blende  Eintrittspupille Linse ( f ) Filmebene Einfallende Lichtmenge    d2  Lichtmenge pro Filmfläche  B  f  Licht pro Film  Def.: Blendenzahl  Folge: Belichtungszeit  2  Blendenzahl Blende 1 1,4 2 2,8 4 5,6 8 11 16 22 32 45 64 1000 500 250 125 60 30 15 8 4 2 1 0,5 0,25 z. B.

9. Der Regenbogen Regentropfen, n  1,33   z   x R  parallele Lichtstrahlen von der Sonne   Beobachtungsebene Sonne-Tropfen-Auge Ablenkwinkel

z R  0 10 20 30 40  0 10 20 30 40 divergierende Lichtstrahldichte Kaustik  Regenbogen bei   42 Sonnenstrahlen (gleichverteilt in z) const.

Regenbogen unter   42  Sonne im Rücken Höhe des Regenbogens hängt vom Sonnenstand ab normale Dispersion (Wasser)  Rot außen, Blau innen im Prinzip beliebig viele weitere Kaustiken bei 2, 3, 4,... Reflexionen einzig sichtbare weitere Kaustik: 2 Reflexionen  Nebenregenbogen bei   51, umgekehrte Farbfolge zwischen Haupt- und Nebenregenbogen: Dunkelzone Licht vom Regenbogen ist charakteristisch polarisiert ( beim Fotografieren: Effektverstärkung mit Polarisationsfiltern)

Wiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B. 106 ) Strahlen Monte-Carlo-Simulation des Regenbogens auf dem Computer: Würfle mit Zufallszahlengenerator gleichverteilt gleichverteilte Zufallszahl  Würfle mit Zufallszahlengenerator Polarisation des Lichtstrahls  zerlege das unpolarisierte Licht von der Sonne in linear polarisierte Strahlen, 50% parallel, 50% senkrecht zur Beobachtungsebene (  Physik 3 ) gleichverteilte Zufallszahl  Berechne die Winkel  und  und mit Fresnel-Formeln (  Physik 3 ) die transmittierte und die reflektierte Strahlintensität. Fülle Histogramme für alle möglichen Strahlwege, jeweils gewichtet mit der Strahlintensität, bis die Gewichte sicher zu vernachlässigen sind ( d.h. Strahlintensität   ) Wiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B. 106 ) Strahlen

Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen ) Hauptregenbogen Nebenregenbogen Dunkelzone Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen )