E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de Zusatzthemen Funktionsscharen Ortskurven Extremwertaufgaben Bedienung des GTR E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de

Funktionsscharen Eine Funktion, die neben dem üblichen Parameter 𝑥 noch einen zweiten Parameter besitzt, bezeichnet man als eine Funktionsschar. Der zweite Parameter wird zumeist mit 𝑡 oder 𝑛 bezeichnet. Beispiele: 𝑓 𝑡 𝑥 = 𝑒 𝑡𝑥 ; 𝑡>0 𝑔 𝑛 𝑥 =𝑛⋅sin 𝑥 ; 𝑛∈ℝ

Funktionsscharen Einzelne Funktionen einer Schar bekommt man durch Einsetzen eines konkreten Werts für den zweiten Parameter. Beispiel: 𝑓 𝑡 𝑥 =𝑡𝑥⋅ 𝑒 𝑥 𝑡 , 𝑡>0 Für Funktionsscharen stellen sich dieselben Fragen wie bei einfachen Funktionen: Ableitungen Hoch-, Tief- und Wendepunkte Nullstellen ... 𝑦 𝑓 𝑡 𝑥 =𝑡𝑥⋅ 𝑒 𝑥 𝑡 𝑓 1 𝑥 𝑥 𝑓 2 𝑥 𝑓 3 𝑥 𝑓 4 𝑥 𝑔 𝑥

Berechnungen mit Funktionsscharen Bei Rechenoperationen, wie z.B. beim Ableiten wird der Para- meter wie ein konkreter Zahlenwert behandelt! Beispiele: 𝑓 𝑡 𝑥 = 𝑡𝑥 2 ⇒𝑓 ′ 𝑡 𝑥 =2𝑡𝑥 𝑔 𝑛 𝑥 =sin 𝑛𝑥 ⇒𝑔 ′ 𝑛 𝑥 =𝑛cos 𝑛𝑥 Aufgaben: Bilden Sie die Ableitung der beiden folgenden Funktionsscharen und bestimmen Sie die Extrempunkte. 𝑓 𝑡 𝑥 = 𝑥+𝑡 3 +2t 𝑓 𝑡 𝑥 =𝑡𝑥⋅ 𝑒 𝑥 𝑡

Ortskurven Wenn man charakteristische Punkte, etwa Hoch- oder Tief- punkte zu jeder einzelnen Funktion der Schar einzeichnet und diese verbindet so erhält man eine neue Kurve, die Ortskurve der Hoch- oder Tiefpunkte. Zuweilen wird in den Abi-Aufgaben gefordert, einen Funktionsterm für die Ortskurve der Hoch- oder Tief- punkte zu finden. 𝑦 𝑓 𝑡 𝑥 =𝑡𝑥⋅ 𝑒 𝑥 𝑡 𝑓 1 𝑥 𝑥 𝑓 2 𝑥 𝑓 3 𝑥 𝑓 4 𝑥 𝑔 𝑥

Rechenbeispiel Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar 𝑓 𝑡 𝑥 =𝑡𝑥⋅ 𝑒 𝑥 𝑡 . Lösung: Bestimme zunächst die ersten beiden Ableitungen 𝑓 ′ 𝑡 𝑥 =𝑡⋅ 𝑒 𝑥 𝑡 +𝑡𝑥⋅ 𝑒 𝑥 𝑡 ⋅ 1 𝑡 = 𝑒 𝑥 𝑡 𝑡+𝑥 𝑓 𝑡 ′′ 𝑥 = 1 𝑡 𝑒 𝑥 𝑡 𝑡+𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑥 𝑡 1 𝑡 𝑡+𝑥 +1 Setze wie üblich 𝑓 ′ 𝑡 𝑥 =0, um die Kandidaten für die Tiefpunkte zu finden.

𝑓 ′ 𝑡 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑡 𝑡+𝑥 𝑓 𝑡 ′′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑡 1 𝑡 𝑡+𝑥 +1 Rechenbeispiel 𝑓 ′ 𝑡 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑡 𝑡+𝑥 =0 folgt 𝑥=−𝑡 Eingesetzt in 𝑓 𝑡 ′′ 𝑥 folgt: 𝑓 𝑡 ′′ −𝑡 = 𝑒 −1 >0 ⇒ Tiefpunkt. Eingesetzt in 𝑓 𝑡 𝑥 folgt: 𝑓 𝑡 −𝑡 =− 𝑡 2 𝑒 −1 =− 𝑡 2 𝑒 . Damit ergibt sich die Menge der Tiefpunkte zu 𝑇𝑃 𝑡 −𝑡 − 𝑡 2 𝑒 . 𝑥=−𝑡 löst man nun nach 𝑡 auf und erhält 𝑡=−𝑥. Den Parameter setzt man in die 𝑦-Koordinate und erhält die Ortskurve: 𝑦=− −𝑥 2 𝑒 =− 𝑥 2 𝑒 . Ergbnis: Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet 𝑔(𝑥)=− 𝑥 2 𝑒 .

Bestimmung von Ortskurven Die 𝑦-Koordinate der Extrem- oder Wendepunkte ist nicht der Funktionsterm der Ortskurve, denn die 𝑦-Koordinate hängt in der Regel noch vom Parameter 𝑡 ab. Der Funktionsterm der Ortskurve muss aber von 𝑥 abhängen! Löse hierzu die 𝑥-Koordinate nach dem Parameter 𝑡 auf und erhalte so einen Ausdruck für 𝑡 in Abhängigkeit von 𝑥. Setze diesen Ausdruck nun in der 𝑦-Koordinate ein und erhalte den Funktionsterm der Ortskurve in Abhängigkeit von 𝑥.

Aufgaben Es sei 𝑓 𝑛 𝑥 =10 𝑥−𝑛 𝑒 −𝑥 , 𝑛∈ ℕ 0 Gesucht ist der Funktionsterm derjenigen Kurve auf der alle Hochpunkte von 𝑓 𝑛 𝑥 liegen. Lösung: 𝑓 𝑛 ′ 𝑥 =10 𝑒 −𝑥 1+𝑛−𝑥 𝑓 𝑛 ′′ 𝑥 =−10 𝑒 −𝑥 2+𝑛−𝑥 𝐻𝑃 𝑛 1+𝑛∣10 𝑒 −1−𝑛 𝑔 𝑥 =10 𝑒 −𝑥 ist die Ortskurve der Hochpunkte von 𝑓 𝑛 𝑥 .

Extremwertaufgaben In einer Extremwertaufgabe geht es darum, eine Funktion zu minimieren bzw. zu maximieren. Die Schwierigkeit besteht vor allem darin, aus den Angaben in der Aufgabenstellung den Funktionsterm zu finden. Zumeist ist der Funktionsterm abhängig von mehreren Größen, so dass das zweite Problem darin besteht, den Funktionsterm so umzuwandeln, dass dieser nur noch von einer Größe abhängt.

Rechenbeispiel 1 Aus einem rechteckigen Stück Blech soll ein oben offener Behälter hergestellt werden. Das Blech ist 60cm lang und 48cm breit. An den vier Ecken werden Quadrate ausgeschnitten. Die Quadrate sollen so ausgeschnitten werden, dass das Fassungsvermögen des Behälters möglichst groß wird. Klebeflächen werden dabei nicht berücksichtigt. Bestimmen Sie die Abmessungen des Behälters und dessen Volumen.

Lösung Skizze anfertigen! Volumenformel aufstellen: 𝑉=(𝑎−2𝑥)·(𝑏−2𝑥)·𝑥 Dafür sorgen, dass 𝑉 nur noch von einer Größe abhängt: 𝑉 𝑥 = 60−2x · 48−2x ·𝑥= 4x 3 – 216x 2 +2880x Maximum mit Ableitung finden: 𝑉′ 𝑥 = 12x 2 –432x+2880=0⇒ 𝑥 1 =25,17; 𝑥 2 =8,83 Es folgt: 𝑎′=42,34cm;𝑏′=30,34cm;𝑉 8,83 = 11343cm 3 𝑏′ 𝑎′

Lösungsschema Funktion mit Hilfe der Angaben in der Aufgabe erstellen. Dafür sorgen, dass der Funktionsterm nur noch von einer Größe abhängt. Ableitung bilden um Minimum oder Maximum zu finden. Damit lassen sich dann die gesuchten Größen ermitteln.

Rechenbeispiel 2 Gegeben ist eine Rolle mit 50m Zaun. Damit soll nun ein rechteckiges Stück Land so umzäunt werden, dass die Landfläche möglichst groß wird. Wie lauten dann die Abmessungen des Rechtecks und wie groß ist dessen Fläche? Lösung: 𝐴=𝑎⋅𝑏. Mit 𝑈=2𝑎+2𝑏=50 folgt 𝑏=25−𝑎. Eingesetzt in 𝐴 folgt 𝐴 𝑎 =𝑎⋅ 25−𝑎 =− 𝑎 2 +25𝑎. Maximum mit Ableitung finden: 𝐴‘ 𝑎 =−2𝑎+25=0 ⇒ 𝑎=12,5 ⇒ 𝑏=25−𝑎=12,5 𝐴‘‘(𝑎)=−2<0, also liegt bei 𝑎=12,5 ein HP. Es folgt 𝐴=𝑎⋅b= 12,5 2 =156,25 m 2 .

Aufgabe 1 Die Parabel 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +6x−5 schließt oberhalb der 𝑥-Achse zwischen den beiden Nullstellen eine Fläche ein. Berechnen Sie diese Fläche. Ein Rechteck ist symmetrisch einbeschrieben und liegt mit der Unterkante auf der 𝑥-Achse. Wie müssen die Abmessungen des Rechtecks lauten, damit dessen Flächeninhalt maximal wird?

Lösung Nullstellen mit GTR oder p-q-Formel: 𝑥 1 =1; 𝑥 2 =5; 𝑥 𝑀𝑖𝑡𝑡𝑒 =3 Fläche zwischen den NST mit GTR: 𝐴= 1 5 − 𝑥 2 +6𝑥−5 𝑑𝑥≈10,67 m 2 Flächengrößtes Rechteck: 𝐴 =𝑙⋅𝑏=𝑓 𝑥 0 ⋅2⋅ 3− 𝑥 0 Maximum mit dem GTR: 𝑥 0 ≈1,845 und damit 𝐴 ≈6,16. 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +6𝑥−5 𝐴 𝑓(𝑥 0 ) 𝐴 1 𝑥 0 3− 𝑥 0 3 5 𝑙=2⋅ 3− 𝑥 0

Wahlteil 2006 Ana I 2, Aufgabe 2.1 Gegeben ist die Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥)=4 sin 𝜋 12 𝑥 für 0≤𝑥 ≤12. Ihr Schaubild sei 𝐾. b) Bestimmen Sie die Seitenlänge des flächengrößten Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der 𝑥-Achse und die beiden anderen Ecken auf 𝐾 liegen.

Bedienung des GTR Zeichnen einer Kurve Minimum, Maximum, Schnittpunkte Nullstellen Flächen berechnen Lineare Gleichungssysteme

Zeichnen einer Kurve Mit Y= in den Y-Editor wechseln und dort den oder die Funktionsterme eingeben. Über WINDOW Achsenskalierung des Koordinatensystems eingeben. Mit GRAPH die Funktion(en) zeichnen lassen. Mit den Pfeiltasten kann man im Y-Editor ein Gleichheitszeichen anfahren und mit ENTER markieren bzw. demarkieren. Gezeichnet werden nur Funktionen mit markiertem Gleichheitszeichen.

Funktionswerte, Minimum, Maximum Mit TRACE kann man dem Kurvenverlauf folgen. Die Koordinaten werden dann am unteren Rand im Display angezeigt. Über 2ND CALC min bzw. 2ND CALC max kann man Minima bzw. Maxima einer Funktion bestimmen. Man gibt dabei zuerst die linke, dann die rechte Intervallgrenze an (mit den Pfeil- tasten oder durch Eingabe der x-Werte von Hand). Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

Schnittpunkte Über 2ND CALC intersect kann man den Schnittpunkt zweier Kurven bestimmen. Man wählt mit den Pfeiltasten zuerst die eine, dann die andere Kurve. Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

Nullstellen Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen. Über 2ND CALC zero kann man die Nullstelle in einem Intervall bestimmen. Auswahl der Intervallgrenzen wie üblich. ENTER startet die Berechnung.

Nullstellen mit dem Gleichungslöser Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln. Über MATH solver wird der Gleichungslöser aufgerufen, siehe Abb., ggf. ↑ tippen. Funktionsterm oder Y-Variable eingeben (Y-Variablen sind über VARS Y-VARS ENTER erreichbar). Bei der Anzeige X= Startwert eingeben ohne ENTER. ALPHA SOLVE tippen, dann steht bei X= das Ergebnis.

Flächen berechnen – Methode 1 Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen. Über 2ND CALC ∫f(x)dx wählen. Intervallgrenzen wie üblich eingeben und ENTER tippen. Die entsprechende Fläche wird eingezeichnet und der Wert des Integrals wird am unteren Rand angezeigt. Der Wert des Integrals entspricht nicht zwangsläufig der Größe der Fläche!!! Um die Fläche zu berechnen sind ggf. Einzelberechnungen nötig!

Flächen berechnen – Methode 2 Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor. Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln. Wert des Integrals über MATH fnInt( berechnen. Bsp.: fnInt(Y1,X,0,2) Parameter 1: Y-Variable oder Funktionsterm Parameter 2: Integrationsvariable. Eigentlich immer X. Parameter 3 und 4: Linke und Rechte Intervall-grenze. Y-Variablen wählt man über VARS Y-VARS ENTER.

Lösen linearer Gleichungssysteme Eingabe der Matrix über 2ND MATRIX und Auswahl der Matrixbezeichnung (A). Über EDIT werden zunächst die Anzahl der Zeilen und Spalten eingegeben. Mit  gelangt man ins Eingabefeld. Zeilenweise Koeffizienten eintippen, hier 2 ENTER, -3 ENTER, 1 ENTER, -1 ENTER usw. Mit 2ND QUIT zurück in den Anzeigemodus. Mit 2ND MATRIX rref(A) ENTER wird das Gleichungssystem gelöst. Den Matrixbezeichner A bekommen Sie ebenfalls über 2ND MATRIX. I. 2x -3y + z = -1 II. x - y + 2z = 5 III. 3x +2y - z = 4 2 -3 1 -1 1 -1 2 5 3 2 -1 4 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 x=1, y=2, z=3